Grundlagen der theoretischen Informatik

Prof. Dr. Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau Fachbereich 4: Informatik

M.Ed. Dennis Peuter 12. Juli 2018

Übung zur Vorlesung

Grundlagen der theoretischen Informatik

Aufgabenblatt 13 Lösungen

Aufgabe 13.1

Beweisen oder widerlegen Sie, dass folgende Sprache kontextfrei ist:

L₁={aⁱb^j |i, j∈N, j =i²}

Lösung:

Angenommen L₁ sei kontextfrei. Dann müssten die Bedingungen des Pumping-Lemmas erfüllt sein. Sei also ndie Konstante aus dem Pumping-Lemma. Wir wählen das Wortz=aⁿbⁿ² aus L₁ mit|z|> n. Dann muss es eine Zerlegung z=uvwxy mit|vx| ≥1und |vwx|< ngeben für die gilt: uvⁱwxⁱy∈L₁ für allei∈N.

Sei z=uvwxy diese Zerlegung, dann gilt:

(1) v, x∈a^∗oderv, x∈b^∗. Aufpumpen verändert nur die Anzahl eines der beiden Buchstaben, womit das entstandene Wort nicht mehr inL1 liegt.

(2) v ∈ a⁺b⁺ oder x ∈a⁺b⁺. Nach dem Aufpumpen enthält das Wort Teilwörter der Form baund liegt somit nicht mehr in L1.

(3) v ∈ a⁺ und x ∈ b⁺. Sei z⁰ = uv²wx²y = a^n+|v|b^n2+|x|. Angenommen es gilt z⁰ ∈ L1. Dann ist n² +|x| = (n+|v|)² = n²+ 2n|v|+|v|², also |x| = 2n|v|+|v|². Sei nun z⁰⁰=uv³wx³y=a^n+2|v|b^n2+2|x|. Dann gilt n²+ 2|x|= (n+ 2|v|)² =n²+ 4n|v|+ 4|v|² und damit |x| = 2n|v|+ 2|v|². Gleichsetzen der Formeln für |x|ergibt |v|² = 2|v|² und somit |v|= 0. Das ist ein Widerspruch zuv∈a⁺.

Eine solche Zerlegung kann also nicht existieren. Daher istL1 nicht kontextfrei.

Grundlagen der theoretischen Informatik SS2018 Blatt 13 Lösungen

Aufgabe 13.2

Konstruieren Sie einen PDA, der die folgende Sprache (entweder über leeren Keller oder nalen Zustand) erkennt:

L={w∈ {a, b}^∗|#a(w) = #_b(w)}

Lösung:

s₀

s₁

a, Z0|AZ0

b, Z₀ |BZ₀ a, A|AA b, A|ε a, B|ε b, B|BB ε, Z0|ε

oderM= (K,Σ,Γ,∆, s₀, Z₀, F)mit K ={s₀, s₁}

Σ ={a, b}

Γ ={Z₀, A, B}

F ={s₁}

Γ ={((s₀, a, Z₀),(s₀, AZ₀)), ((s₀, b, Z₀),(s₀, BZ₀)), ((s0, a, A),(s0, AA)), ((s0, b, A),(s0, ε)), ((s0, a, B),(s0, ε)), ((s₀, b, B),(s₀, BB)), ((s₀, ε, Z₀),(s₁, ε))}

Beide Automaten akzeptieren Lsowohl über leeren Keller als auch über nalen Zustand.

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Aufgabe 13.3

Konstruieren Sie eine Turingmaschine (Variante Ihrer Wahl, Flussdiagrammschreibweise), die die SpracheL={|ⁿ|n ist prim}akzeptiert. Sie dürfenL⁽ⁱ⁾_#,R⁽ⁱ⁾_# aus der Vorlesung verwenden und darüber hinaus eigene Abkürzungen einführen.

Lösung:

Die folgende DTM2⁽ⁱ⁾ schreibt#||#auf dasi-te Band.

R⁽ⁱ⁾|⁽ⁱ⁾R⁽ⁱ⁾|⁽ⁱ⁾R⁽ⁱ⁾

>

Die folgende DTMD⁽ⁱ⁾ löscht das i-te Band.

L⁽ⁱ⁾

> #⁽ⁱ⁾

#⁽ⁱ⁾

σ⁽ⁱ⁾6= #

#⁽ⁱ⁾

Die folgende DTMM ult^(i)(j)(k) schreibt das Produkt der Zahlen auf den Bändernj und k auf das i-te Band.

R⁽ⁱ⁾L^(j)

> L^(k) |⁽ⁱ⁾R⁽ⁱ⁾

R^(k)_#

R^(j)_#

|^(j) |^(k)

#^(k)

#^(j)

Die folgende DTMComp^(i)(j)(k) schreibt

ˆ Gauf Bandi, falls der Inhalt von Band j gröÿer ist, als der von Bandk.

ˆ E auf Band i, falls der Inhalt von Band j gleich dem Inhalt von Bandk ist.

ˆ S auf Band i, sonst.

L^(j)

> L^(k) G⁽ⁱ⁾

E⁽ⁱ⁾

S⁽ⁱ⁾

#^(j)#^(k)

#^(j)|^(k)

|^(j)|^k

|^(j)#^(k)

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Die folgende DTMInc⁽ⁱ⁾ inkrementiert den Wert auf Band ium 1.

|⁽ⁱ⁾R⁽ⁱ⁾

>

Die folgende 5-Band DTM akzeptiert genau L. L⁽¹⁾L⁽¹⁾L⁽¹⁾R⁽¹⁾R⁽¹⁾R⁽¹⁾

2⁽²⁾2⁽³⁾

>

M ult^(4)(2)(3)

Comp^(5)(4)(1) Comp^(5)(3)(1) Comp^(5)(2)(1)

#⁽⁵⁾

Inc⁽³⁾ D⁽⁴⁾

Inc⁽²⁾D⁽³⁾2⁽³⁾

#⁽⁵⁾D⁽⁴⁾D⁽³⁾D⁽²⁾ E⁽⁵⁾

G⁽⁵⁾, S⁽⁵⁾ E⁽⁵⁾

S⁽⁵⁾ S⁽⁵⁾

E⁽⁵⁾

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