Speicherallokation und Solveralgorithmen im Rahmen der Finite-Elemente-Analyse FEA) - mit Praxisvorführung (Z88V13 Forschungsversion)

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17.09.2008 1

10. Bayreuther 3D-Konstrukteurstag am 24. September 2008

Speicherallokation und

Solveralgorithmen im Rahmen der Finite-Elemente-Analyse (FEA)

- mit Praxisvorführung

(Z88V13-Forschungsversion) -

Dipl.-Ing. Bernd Roith

Dipl.-Ing. Martin Zimmermann

Prof. Dr.-Ing. Frank Rieg

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Dipl.-Ing. Bernd Roith, Dipl.-Ing. Martin Zimmermann

17.09.2008 2

1. Grundlagen der Finiten Elemente Analyse

1.1 Aufgabenstellung

1.2 Finite Elemente Theorie

1.3 Was heißt das für die Softwarelösung ?

2. Finite Elemente Programm Z88

2.1 Aufbau und Module 2.2 Funktionsumfang 2.3 Praxisbeispiel

3. Sparsebuilder

3.1 Theorie und Implementierung in Z88 3.2 Praxistests

3.3 Praxisbeispiel

4. Finite Elemente Solver

4.1 Theorie und Implementierung in Z88 4.2 Praxistests

4.3 Praxisbeispiel

4.4 Einfluss der Diskretisierung bei Finite Element Modellen

5. Zusammenfassung

Gliederung

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17.09.2008 3

Aufgabenstellung

Moderner Entwicklungsprozess Verbesserungen an der Simulation

Methoden- entwicklung

Grundlagen- entwicklung

Prozesssimulation

Geschwindigkeit (Performance)

Andere Methodenansätze

Verbesserung der Algorithmen

Verlässlichkeit (Kontrolle)

FEA-Methoden

Numerische Methoden

Residuum 1E-9

Residuum 1E-9 Residuum 1E-10Residuum 1E-10

Numerische Methoden

Aus BMBF-Projekt INSOFT

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17.09.2008 4

Grundlagen der Finiten Elemente Analyse

Finite Elemente Theorie

1. physikalisches Problem

Kraft F

2. Diskretisierung der Geometrie

Vernetzung der Geometrie:

Kontinuumselement Hexaeder

linear, h-Methode

8 Knoten je 3 Freiheiten

quadratisch, h-Methode Kontinuumselement Tetraeder

Balken

Angabe von Geometriewerten nötig (z.B. Randfaserabstand,…)

2. Diskretisierung der Geometrie 3. Einzelelementbeschreibung

F u

K

Hooksches Gesetz

r Kraftvekto F

ngsvektor Verschiebu

u

trix figkeitsma Gesamtstei

K

F u

dV B C B

E V

T

E

t r s

J t

r s C B t r s

B

ⁱ ^j ^k ⁱ ^j ^k ⁱ ^j ^k

i j

T k

k j i

n n nr s k

, , det

, , ,

,

1 1 1

r s

t

Integrationsordnung 2 Anzahl Gaußpkt: 2³

2. Diskretisierung der Geometrie 3. Einzelelementbeschreibung 4. Gesamtsteifigkeitsmatrix

F u

K

Hooksches Gesetz

r Kraftvekto F

ngsvektor Verschiebu

u

trix figkeitsma Gesamtstei

K

F u

dV B C B

E V

T

E

2. Diskretisierung der Geometrie 3. Einzelelementbeschreibung 4. Gesamtsteifigkeitsmatrix 5. Randbedingungen

F u

K

Hooksches Gesetz

Kraft F



Kraft F = 100 N

1 5 7

y x z

F_{Knoten 1z} = -25 F_{Knoten 5z} = -50 F_{Knoten 7z} = -25

n n

F F

F

1 2 1

0 

2

24

uKnoten 2x = 0 u_{Knoten 2y} = 0 u_{Knoten 2z} = 0

Spalte KKnoten 2x,y,z = 0 Zeile KKnoten 2x,y,z = 0 Diagonale KKnoten 2x,y,z = 1

6. mathematischer Gleichungslöser

F u

K

Hooksches Gesetz



y x z



b x A

Direkter Solver

Iterativer Solver



u B C

u

Spannungen



Verschiebungen

6. mathematischer Gleichungslöser 7. Ergebnisse

y x z

Undeformiertes Ausgangsmodel

deformiertes Model

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17.09.2008 5

Ansatz für die Softwarelösung

Prozessablauf der Softwarelösung

Erstellung des phys. Modells

mathematisches Problem

ASCII-Darstellung Z88-Darstellung

Memory-Darstellung

physikalisch/optische Darstellung

Quelle: Dissertation Martin Zimmermann, Universität Bayreuth, 2008

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17.09.2008 6

Finite Elemente Programm Z88

Aufbau und Module

 Schnittstellenkonverter:

- Cosmos

- Nastran (bdf) - Abaqus (inp)

 Sparsebuilder (für „Nicht-Null-Speicherung“ der Matrix K)

 Finite Element Analyse Solver (rot: Iterativ, blau: direkt)

 Spannungs- und Knotenkraftprozessor

 Grafische Darstellung/Auswertung (opengl)

 Steuerdatei (Speicherverwaltung für die einzelnen Module) Verfügbarkeit (32-64-Bit)

Win32 Win64 LINUX 32

LINUX 64

SGI64, SUN64

Pointer 4 8 4 8 8

FR_XINT 4 4 4 4 8

FR_XLONG 4 4 4 8 8

FR_XLOLO 4 8 8 8 8

FR_XDOUB 8 8 8 8 8

FR_XQUAD 8 8 / 16 12 / 16 12 / 16 16

(7)

17.09.2008 7

Finite Elemente Programm Z88

Funktionsumfang

Schnittstellenkonverter: MSC.Patran, MSC.Mentat, UGS NX 4.0, PTC Pro/ENGINEER Wildfire, Simufact, Abaqus CAE 6.3

Mapped Mesher mit Hilfe von Superelementen

Sparse-Solver sowohl Direkt als auch Iterative (CG mit SOR- Präkonditionierung und CG mit unvollständiger Choleskyzerlegung)

- Elementtypen: Stäbe, Balken, Kontinuumselemente (Tetraeder, Hexaeder (linear & quadratisch)), Platten, Schalen

- Randbedingungen: Kräfte, Verschiebungen, homogene

Randbedingungen, Drücke, plastische und elastische Initaldehnungen Spannungsprozessor (Gestaltänderungsenergiehypothese,

Schubspannungshypothese, Normalspannungshypothese) Knotenkraftprozessor

Opengl Darstellungsmodul: verformt, unverformt, FE-Netz, Verschiebungen, Spannungen (Gauß-Punkten), Randbedingungen

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17.09.2008 8

Finite Elemente Programm Z88

Praxisbeispiel

Z88V13

Einführung und Gesamtpräsentation

Lagerung (Fixierung)

Kraft in Z-Richtung aus Pro/ENGINEER Wildfire 3.0 NASTRAN-Format

Randbedingungen

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17.09.2008 9

Sparsebuilder 1

-Theorie 1-

- symmetrisch - dünn besetzt - Problem:

- Feststellung der Stellen der dünnen Besetzung, - Abspeicherungsverfahren

der besetzten Stellen

F u

K

F u

dV B C B

E V

T

E

Symbolisches Abbild einer Steifigkeitsmatrix (Nicht-Null-Elemente gekennzeichnet)

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17.09.2008 10

Sparsebuilder 1

-Theorie 2-

- 1. Variante: symbolische Kompilation (elementweises Vorgehen) - 2. Variante: NCP-Verfahren (Node-Cross-Prinzip)

((4,4) (4,5) (4,6) (1234,128) …)

(…(125,126) (125,125) (123,258) (123,258) (125,125) …)

((4,4) (4,5) (4,6) … (123,258) (123,258) (125,125) (125,125) (125,126) … (1234,128) …) ...

((4,4) (4,5) (4,6) … (123,258) (125,125) (125,126) (1234,128) …)

(11)

17.09.2008 11

Sparsebuilder 1

-Theorie 3-

- 1. Variante: symbolische Kompilation (elementweises Vorgehen)

- 2. Variante: NCP-Verfahren (Node-Cross-Prinzip) (zeilenweises Vorgehen) - Nachteil der symbolischen Kompilation ist das Ausführen der

Sortieroperationen über große Felder und das Ausführen des gesamten Kompilationsalgorithmus

- Speicher- und zeitintensiv NCP:

-zeilenweise (Freiheitsgradweise) Erzeugung der Besetzungspositionen der Matrix

-> 1-dimensionaler Charakter des Algorithmus - Sortieroperationen auf kleine Felder

1 X

2

Zeile 5 Freiheitsgrad 5

Knoten 17 Element 1

Spalte 1..17, 38..56

Freiheitsgrad 1..17, 38..56 Knoten 17…20,100…103 Element 1,2

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17.09.2008 12

Sparsebuilder 2

-Praxistests-

9 11 13 15 17 19 21

1,0E+03 1,0E+04 1,0E+05 1,0E+06 1,0E+07

Anzahl Freiheitgrade Zeit des Sparse-Builder Prinzip 2 in % zu Prinzip 1

1,0E+02 1,0E+03 1,0E+04 1,0E+05 1,0E+06 1,0E+07

linear-grob quadratisch- grob

linear-auto quadratisch- auto

linear-fein quadratisch- fein Vernetzungsgrad

Knoten

Luefterrad Kurbelwelle Kolben

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Finite Elemente Programm Z88

Praxisbeispiel

Vergleich Sparsebuilder Z88V12 zu Z88V13

Z88V12 Z88V13

FE-Netz

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17.09.2008 14

SORCG

Finite Elemente Solver 1

- Theorie und Implementierung in Z88 -

F u

K

Direkte Lösung

z.B. Solver PARDISO

Iterative Lösung z.B. SOLVER CG

F E D K

R U L Q P

K P

^T

P

T

K P

Permutationsmatrix:

- speicher- und algorithmen-

optimiertes Zeilen-/ Spaltentauschen

Relaxationsfaktor zur

Konvergenzbeschleunigung

pivotisierende Matrizen linke und rechte Dreiecksmatrix

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17.09.2008 15

Finite Elemente Solver 2

- Praxistest Beispiele -

(16)

17.09.2008 16

Finite Elemente Solver 3

- Praxistest Auswertung -

0 20 40 60 80 100 120 140 160

Kolben linear-grob

Kolben linear-auto

Kolben linear-fein

Kolben quadratisch-

grob

Kolben quadratisch-

auto

Kolben quadratisch-

fein Zeit des FE-Kernels in % zu Zeit des FE-Kernels mit SOR

SIC

Pardiso mit 1 Prozessor Pardiso mit 4 Prozessoren

- iterative Solver: SOR-, SIC-Verfahren und direkte Solver (Single- und Multiprozessor im Vergleich)

- Mit Parallelisierung lässt sich auf dem FE-Sektor ein Rechenvorgang beschleunigen - das Verhältnis des

Zeitbedarfs von

Iterationssolvern und direkten Solvern ist Problemabhängig

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17.09.2008 17

Finite Elemente Solver 3

- Einfluss der Diskretisierung bei FE-Modellen -

0 20 40 60 80 100 120

0,1 1 10 100

relative Elementdichte [%,log]

relative Verschiebungs-/Spannungsantwort [%]

Welle (linear), Spannungen Welle (linear), Verschiebungen Luefter (linear), Spannungen Luefter (linear), Verschiebungen Welle (quadratisch), Spannungen Welle (quadratisch), Verschiebungen Luefter (quadratisch), Spannungen Luefter (quadratisch), Verschiebungen

- Diskretisierung beeinflusst maßgeblich den Raum der zur Verfügung stehenden Lösungen

- zentrales Problem in der Praxis:

1. Meist wird nur mit einer Diskretisierung gerechnet.

2. Man weiß erst mit mehreren Lösungen unterschiedlicher Diskretisierungen, wie

vertrauenswürdig ein Ergebnis ist.

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17.09.2008 18

Finite Elemente Programm Z88

Praxisbeispiel

Finite Elemente Solver Z88V13 - Direkt (Pardiso) Z88V13

Spannungen Verschiebungen x

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17.09.2008 19

Zusammenfassung

- Speicherverwaltung und Lösung großer linearer Gl.-Systeme -

- Eine effiziente Speicherverwaltung spielt für die Berechnung großer Strukturen eine entscheidende Rolle. Durch die Untersuchung und Verbesserung der damit verbundenen Algorithmen kann Zeit und Rechenspeicher gespart werden.

Simulationen als Teil des Produktentwicklungsprozesses werden damit effizienter durchführbar.

- Für große Strukturen ist die Sparse-Speichertechnik zur Realisierung entscheidend.

- Sparse-Solver ermöglichen die Berechnung der großen Gleichungssysteme. Es ist vorab nicht abzuschätzen mit welcher Solvervariante man schneller und

effektiver zum Ziel kommt.

- Sowohl iterative, als auch direkte Sparse-Solver besitzen daher eine Daseinsberechtigung.