PD Dr. T. Timmermann timmermt@uni-muenster.de
Grundlagen der Analysis, Topologie und Geometrie Ubungsblatt 6¨
Musterl¨osung der Zusatzaufgabe
Zusatzaufgabe 5. (Fortsetzungssatz von Tietze)
Sei X normal und Y ⊆ X abgeschlossen. Zeigen Sie mit Hilfe des Urysohnschen Lemmas:
(a) Istf1:Y →[−1,1] stetig, so existiert einF1:X →[−1/3,1/3] mit F1|f−1([−1,−1/3])≡ −1/3 und F1|f−1([1/3,1])≡1/3, und f2 :=f1−F1|Y erf¨ullt dann −2/3≤f2(y)≤2/3 f¨ur alle y∈Y.
(b) F¨ur jedesn∈Ngibt es stetige FunktionenFn:X →[−2n−1/3n,2n−1/3n] so, dass
−2n/3n≤f1(y)−F1(y)− · · · −Fn(y)≤2n/3n f¨ur alle y∈Y.
(c) Die Funktion F:X → R, definiert durch x 7→ P
nFn(x), ist stetig und setzt f fort, d.h. F|Y =f.
L¨osung: (a) Die MengenA:=f1−1([−1,−1/3]) undB :=f1−1([1/3,1]) sind abgeschlossen und disjunkt. Nach dem Lemma von Urysohn finden wir ein stetigesg:X →[0,1] mit g|A = 0 und g|B = 1. Setze nun F1 := (2g−1)/3. Dann ist F1|A = −1/3 und F1|B = 1/3. Seiy ∈Y undf2 =f1−F1|Y. Dann k¨onnen wir drei F¨alle unterscheiden:
• f1(y)∈[−1,−1/3]⇒y∈A⇒F1(y) =−1/3⇒ |f2(y)| ≤1−1/3 = 2/3;
• f1(y)∈[1/3,1]⇒y∈B ⇒F1(y) = 1/3⇒ |f2(y)| ≤1−1/3 = 2/3;
• f1(y)∈[−1/3,1/3]⇒ |f2(y)| ≤1/3−(−1/3) = 2/3.
(b) W¨ahle f¨ur n= 1,2, . . .jeweilsGn+1 zufn+1= (f1−F1|Y − · · · − · · ·Fn|Y)3n/2nwie in (a) und setzeFn+1=Gn+12n/3n.
(c) Die Partialsummen der Fn konvergieren gleichm¨aßig, weil P
n2n−1/3n < ∞, und nach demselben Beweis wie in der Analysis 2(?) ist dann F stetig. Die Gleichung F|Y =f folgt sofort aus der Ungleichung in (b).
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