simulierte Wahrsch.

(1)

403

7.4

D ie M a x im u m -L ik e lih o o d -M e th o d e

aGeometrischeVerteilung.Versuchwirdwiederholt,biserschliesslichgelingt.

X:AnzahlderMisserfolge

PhX=xi=(1−π)π x=:pπhxi

x=3.Wiegrosssollmanπsch¨atzen?

pπhxi:FunktionvonzweiArgumenten.Wennpπhxihochist,passenDatenundParameterwertgutzusammen−→” Likelihood”

(2)

404

- -

0.3 0.85

- - - - - - - - - - - 1

+++010 + + + + + +

0 1 pπhxi

π

x

x=3 0.3 0.85 1

(3)

405 Likelihoodpπhxif¨urgegebenesxmaximieren

¨uberπ!

xπ x−1−(x+1)π x=0=⇒bπ= x

x+1

bMehrereBeobachtungen:pπhx1i·pπhx2i·...maximieren!Allgemein:

PhX1=x1,X2=x2,...,Xn=xni= nY

i=1 pθ hxiioder

” Log-Likelihood”-Funktion

Lhx1,...,xn;θi=log DPhX1=x1,X2=x2,...,Xn=xni E

= Xn

i=1 log pθhxii

¨uberθmaximieren!

(4)

4067.4 c∂L

∂θ hx1,...,xn;θi= Xni=1 ψhxi;θi

ψhx;θi:= ∂

∂θ log pθhxi

Xn

i=1 ψhxi; bθi=0

Maximum-Likelihood-Sch

Aufl ¨atzungerh¨altmandurch

¨osendieser(impliziten)Gleichungnachθ.

Verteilungvon bθn¨aherungsweise(asymptotisch)

∼Nhθ,σ 2∞ i.Kannallgemeinberechnetwerden!

(5)

4077.4

dGeometrischeVerteilungf¨urmehrereBeobachtungen:

pπhxii=(1−π)π xi

Lhx1,...,xn;πi= Xn

i=1 (lnh1−πi+xilnhπi) ψhx;πi=− 1

1−π + x

πXn

i=1 ψhxi;bπi=− n1−bπ + Xni=1 xibπ =0

bπ= Pni=1 xiPni=1 xi+n = x

x+1

(6)

408

9.5

B o o ts tr a p

cF

M if¨urgegebeneVerteilung(-s-Funktion)FderBeob.X. 1n¨urStatistikbrauchenwirdieVert.einerFunktionT=ghX,...,Xi

¨oglichstwenigeAnnahmen

¨uberF!

dIdeedesBootstrap:FausdenDatensch¨atzen,durchempirischekum.Vt.-Fn. bF.

eTheoretischeBerechnungderVert.vonT,wennXi∼ bFgilt,istfastimmerzuschwierig.−→Simulation!

[x ∗1 ,x ∗2 ,...,x ∗n ]ziehengem

¨assF,Tberechnen! b

(7)

409

012345 0 1- - ✻ zi

x,x ∗i ✲

❄ ✲ ✲

❄ ✲

❄ ✲ ✲

✲❄ ✲ ✲

✲❄

−→[x ∗1 ,x ∗2 ,...,x ∗n ]:Ziehenderbeob.DatenmitZur

¨ucklegen!

(8)

410

0.51.01.52.02.53.03.5

simulierte Wahrsch.

0 0.2 0.4

X0.2

Simuliertegesch¨atzte(Bootstrap-)Verteilungdes20%-gestutztenMittelsf¨urdieSchlafdaten

(9)

411

MerkpunkteMaximumLikelihood,Bootstrap

DerWerkzeugkastenderStatistikenth

¨alt

1.AllgemeinesPrinzipzurSch

MaximumLikelihood ¨atzungvonParametern:

2.WiegenauisteineausDatenabgeleiteteGr¨osse?

•Simulation,Bootstrap,

•Fehler-Fortpflanzung,

•AsymptotischeVerteilung