Charakterisieren Sie die zusammenhängenden Graphen G, für die es einen DFS- Baum T gibt, der kein gerichteter Weg ist (d.h. ein DFS-Baum T , welcher mindes- tens zwei Blätter enthält).

2. Übungsblatt

Algorithmische Graphentheorie

Jens M. Schmidt

Aufgabe 1: DFS-Wege

Charakterisieren Sie die zusammenhängenden Graphen G, für die es einen DFS- Baum T gibt, der kein gerichteter Weg ist (d.h. ein DFS-Baum T , welcher mindes- tens zwei Blätter enthält).

Aufgabe 2: Block-Cut Tree

Sei eine chain decomposition C = {C

, C

, . . . , C

} eines schlichten zusam- menhängenden Graphen G gegeben. Beschreiben Sie einen möglichst effizienten Algorithmus, der den block-cut tree von G ausgibt.

Sie dürfen das Resultat der Vorlesung benutzen, dass die Menge S der cut-vertices von G in Zeit O(n + m) berechenbar ist.

Aufgabe 3: Kontrahierbare Kanten I

Sei G 6= K

ein schlichter 2-zusammenhängender Graph.

i) Zeigen Sie, dass jede Kante von G kontrahierbar (d.h., G/e ist 2-zusammen- hängend) oder löschbar (d.h., G − e ist 2-zusammenhängend) ist.

Benutzen Sie dabei, dass eine Kante vw von G genau dann kontrahierbar ist, wenn {v, w} ein 2-Separator von G ist.

ii) Zeigen Sie, dass jeder Knoten von G zu einer kontrahierbaren Kante inzident ist.

Aufgabe 4: Kontrahierbare Kanten II

(ein eigenständiges Lösen dieser Aufgabe entbindet von allen Weiteren)

Sei G ein schlichter 2-zusammenhängender Graph. Eine Kante e in G heißt kontra- hierbar, wenn ihre Kontraktion einen 2-zusammenhängenden Graphen G/e ergibt.

Finden Sie einen Linearzeit-Algorithmus, der alle kontrahierbaren Kanten in G be-

rechnet.