Musterlösung Herbst 2000
Aufgabe 1 7 Punkte
a)
2 Punkte) 1.0
(M R M dt k
dM
r =
−
= J1=QCin
QC1
Massenbilanz:
1 1
1 1
1
1 J QC k M QC QC k M
dt dM
r in
r = − −
−
−
= 1.0
Daraus folgt für die Konzentration:
1 1 1
1
1 C k C k C k C k C
V C Q V Q dt dC
r w in w r
in − − = − −
=
b)
1.5 PunkteBerechnung von kw 1
a-
1 . 1 =0
=
w
kw
τ 0.5
Im Stationärzustand gilt:
∞
∞ = −
+
−
= 1
) 1
(
0 kwCin kw kr C kwCin ktotC Totale Rate ktot:
1
a-
mg/L 1 0.1
mg/L 1 a 1 . 0 -1
1
⋅ =
=
= ∞
C C
ktot kw in 0.5
Reaktionsrate kr:
kr = ktot - kw = 0.9 a-1 0.5
c)
0.5 PunkteVerbindung 2 wird nicht abgebaut, da Cin =Cout =C2∞ und ktot = kw
d)
1 PunktAnpassungszeit für Verbindung 1:
a 3 3
%
5 = =
ktot
τ 0.5
Anpassungszeit für Verbindung 2:
a 3 30
%
5 = =
kw
τ
0.5e)
2 PunkteInputkonzentration von Verbindung 1 und 2 nach 10 Jahren:
t
e-
) 0 ( )
( in β
in t C
C = mit β = 0.1 a-1
t = 10 a
Cin(0) = 1 mg/L mg/L
37 . 0 e mg/L 1 ) a 10
( = ⋅ -1 =
Cin 0.5
Konzentration von Verbindung 1 nach 10 Jahren:
ktot = 1 a-1 >> β = 0.1 a-1 ⇒ adiabatisches Verhalten Es gilt:
tot in
k t t j ( )
)
1( ≈
C 0.5
Berechnung von jin(0) und jin(10a):
a L 1 mg . 0 a 0.1 mg/L 1 )
0 ) (
0 ) (
0
( -1
= ⋅
⋅
=
⋅
⋅ =
= in in w
in C k
V Q
j C 0.5
a 037mg/L . 0 a e
1mg/L . 0 e ) 0 ( a) 10
( = in -βt = ⋅ -1 =
in j
j
Damit folgt für die Konzentration:
mg/L 037 . a 0
1
a mg/L 0.037 a)
10
( -1 -1
1 = ⋅ =
C
Konzentration von Verbindung 2 nach 10 Jahren:
kw = 0.1 a-1 = β ⇒: C t2( )=C(0)e-kwt+t e-kwt (0) 0.74 mg/Ljin = 0.5
Aufgabe 2 6.5 Punkte
a)
2 11 1 1 1 1
1 C C
V C Q V C Q V
Q dt
dC =− − F + F −λ 2 Punkte
2 2 1
2 2
2 C C
V C Q V Q dt
dC =− F + F −λ 1.0
N1 2
1 1
1
* 1 1
)
( C
V C Q V
Q Q dt
dC
k F
k
F + ⋅ +
− +
= λ
N2 1 N2 2
2 ( )
2 2
V C C Q V Q dt dC
k F
k
F − + ⋅
= λ 1.0
b)
Zerfallskonstante λ: 1.5 Punkte1 - 4 1
- 1
- 0.058a 1.6 10 d
12 a 7 . 0 a 12
2
ln ≈ = ≈ ⋅ −
λ = 0.5
Wassertransportraten:
1 - 3 3
4 3
1
1 6 10 d
m 10
d / m
60 = ⋅ −
=
= V k QF
1 - 1
*
1 = + ≈1d
V Q
k Q F
1 - 2 3
3
2
2 2 10 d
m 3000
d / m
60 = ⋅ −
=
= V k QF
Der Tritiumzerfall ist vernachlässigbar, da λ << Wassertransportraten ! 1.0
c) 1.5 Punkte
Die Matrix P des Gleichungssystem lautet unter Vernachlässigung des radioaktiven Zerfalls:
−
= −
2 2
1
* 1
k k
k P k
Kleinstes Matrixelement k1 = 0:
−
= −
2 2
*
1 0
k k
P k 0.5
Berechnung der Eigenwerte λ: 0 0
2 2
*
1 =
−
−
−
−
λ λ
k k
k
0 ) )(
(−k1* −λ −k2 −λ =
1 - 2
2
-1
* 1 1
d 02 . 0
d 1
−
=
−
=
−
=
−
= k k λ
λ 1.0
d)
1.5 PunktDie Lösung des Gleichungssystems lautet also:
System Zeit einiger nach bestimmt
-k 2 System
anfangs bestimmt
-k 1 2
/
1 2
*1 e
e )
(t A t A t
V = +
da k1* >> k2 !
Daraus folgt, dass die Konzentration im Ablauf nach einigen Monaten mit der Rate k2 fällt !
Aufgabe 3 6.5 Punkte
a)
1-dimensionale Transportgleichung: 1 PunktC z k
D C t C
r
w −
∂
= ∂
∂
∂
2 2
b)
1.5 PunkteMit dem Henrykoeffizienten folgt für die Konzentration in der überstehenden Luft:
0.5
3
3 2mg/m
mg/m 10 2 .
0 ⋅ =
Luft = C
Konzentrationsprofil bei verschlossenem Brunnen:
CLuft = 2 mg/m3
1.0
CWasser = 10 mg/m3
c)
Gleichgewichtsprofil bei geöffnetem Brunnen: 1.5 Punkte CLuft = 0 mg/m31.0
Da lineares Profil im Wasser: C(1m) = 2.0 mg/m3 0.5
d)
1 PunktZeit bis zum Erreichen des Gleichgewichtzustandes:
d 10 d 3
m 10 8.64
m
25 5
1 - 2 5 -
2
2 ≈ ⋅
= ⋅
≈ Dw
τ z 1.0
e)
1.5 PunkteKonzentration am oberen und unteren Rand bleibt sich gleich. Das Profil wird aber exponentiell (gekrümmt):
Begründung entweder intuitiv:
Da Abbau nach 1.Ordnung, wird das Profil am unteren Rand, wo die
Benzenkonzentration höher ist schneller abgebaut, als am oberen Rand unterhalb der Wasseroberfläche !
oder mathematisch:
Da Gleichgewichtszustand gilt:
=0
∂
∂ t
C also k C
z C
r
w −
∂
∂
2 2
=D 0
⇒ C
D k z
C
w
= r
∂
∂
2 2
Das heisst die Lösung der Differentialgleichung ist eine Funktion, deren 2.Ableitung wieder die Funktion mal einer Konstanten ist. Dies ist die Exponentialfunktion ! Also ist das Konzentrationsprofil C(z) eine e-Funktion !
