Prüfung „Systemanalyse“ Herbst 2000

Prüfung „Systemanalyse“ Herbst 2000

Mathematik I und II 1. Vordiplom

Teil Systemanalyse

für die Departmente ERDW, AGRL, UMNW

Die drei Aufgaben sind auf eine Prüfungszeit von 60 Minuten ausgelegt. Sie tragen zu einem Drittel zur gesamten Punktzahl bei. Die Maximalpunktzahl dieser Teilprüfung ist 20 Punkte.

Beschriften Sie jedes abgegebene Blatt mit Ihrem Namen!

Viel Erfolg !

Zur Prüfung zugelassene Hilfsmittel: Vorlesungsunterlagen, aber keine Taschenrechner, d.h. im Systemanalyseteil: Vorlesungsnotizen, Skript, und die Übungsaufgaben mit Lösungen.

Anmerkung:

Aufgrund einer Beschwerde sind wir darauf aufmerksam gemacht worden, dass gemäss

Prüfungsregelement des Departmentes AGRL die Aufgaben in französische und italienische Sprache übersetzt werden müssen Wir möchten Sie allerdings bei der allfälligen Benützung der nachstehenden Übersetzungen ausdrücklich darauf hinweisen, dass wir bei der Übersetzung von Fachausdrücken keine Garantie übernehmen können. Da schon in der deutschen Terminologie unterschiedliche Traditionen existieren und weder der Stoff der Mathematik, noch derjenige der Systemanalyse von den beiden Dozenten je in französischer oder italienischer Sprache vermittelt worden sind, möchten wir an dieser Stelle festhalten, dass im Zweifelsfalle der deutsche Sprachgebrauch massgebend für die Aufgabenstellung ist.

Urs Kirchgraber und Dieter Imboden

Aufgabe 1 7 Punkte

In einen See mit konstantem Zu- und Abfluss werden mit dem Zufluss zwei organische Verbindungen eingeleitet. Die Verbindung 1 ist reaktiv, d.h. sie unterliegt einer

Abbaureaktion. Es ist nicht bekannt, ob die Verbindung 2 reaktiv ist.

Die Konzentration beider Verbindungen im Zufluss sei 1 mg/L. Im Abfluss wird für die Verbindung 1 eine konstante Konzentration von 0.1 mg/L gemessen, für die zweite Verbindung 1 mg/L.

Folgende Daten sind vom See bekannt:

Seevolumen V = 3 km

mittlere Wasseraufenthaltszeit τ

= 10 a

a) Betrachten Sie den See als 1-Box-Modell im Stationärzustand. Zeichnen Sie ein Massenflussschema für die Verbindung 1 und stellen Sie die Massenbilanz auf. Die

Abbaureaktion kann als Reaktion 1. Ordnung beschrieben werden. (2 Punkte)

b) Wie gross ist die totale Rate für die Verbindung 1 ? Was folgt daraus für die Rate der

Abbaureaktion k

? (1.5 Punkte)

c) Wird die Verbindung 2 im See abgebaut ? Begründen Sie Ihre Antwort !

(0.5 Punkte) d) Berechnen Sie die Anpassungszeit τ

für beide Substanzen, für den Fall, dass die

Einleitung beider Substanzen plötzlich gestoppt würde. (1 Punkt)

e) Im Zufluss sinkt die Konzentration beider Substanzen jährlich um 10 %. Schätzen Sie die Inputkonzentration C

und die Konzentrationen im See beider Substanzen C

und

C

nach 10 Jahren ab. (2 Punkte)

Nützlicher Wert: e

= 0.37

Aufgabe 2 6.5 Punkte

Eine Kläranlage kann vereinfachend mit unten stehendem Schema modelliert werden.

Zur Zeit t = 0 gelangt durch einen Unfall eine grössere Menge des radioaktiven Isotops Tritium in das kombinierte Vorklär- / Belüftungs- / Nachklärbecken. Hier wird eine Tritiumaktivität C

(0) = 10

Bq/m

(1 Bq = 1 Bequerel = 1 Zerfall pro Sekunde) gemessen. Nach dem Ereignis beträgt die Tritiumaktivität im Zulauf wieder Null.

Zulauf Vorklärung V

Belüftung C

Nachklärung

Ablauf

Faulturm V

C

Q

Q

Q Q

V

= 10

m

V

= 3000 m

Q = 10

m

/d Q

= 60 m

/d

a) Stellen Sie die Konzentrationsbilanzen für das kombinierte V/B/N-Becken (C

(t)) und

den Faulturm ( C

(t)) für die Zeit nach dem Unfall (t > 0) auf. (2 Punkte)

b) Die Halbwertszeit von Tritium beträgt τ

= 12 a. Vergleichen Sie die

Zerfallskonstante von Tritium mit den verschiedenen Wassertransportraten des Systems. Wie gross ist der Einfluss des radioaktiven Zerfalls auf die Tritiumaktivität

im Ablauf der Kläranlage ? (1.5 Punkte)

c) Schätzen Sie die Eigenwerte des Systems ab. Tipp: Setzen Sie das betragsmässig

kleinste Matrixelement und die Zerfallskonstante gleich Null ! (1.5 Punkte)

d) Mit welcher Rate fällt die Konzentration im Ablauf nach einigen Monaten ?

Begründen Sie Ihre Antwort. (1.5 Punkte)

Aufgabe 3 6.5 Punkte

Der unten skizzierte Grundwasserleiter ist mit der organischen Verbindung Benzen (früher Benzol genannt) verunreinigt. Die Konzentration von Benzen im Grundwasser beträgt C = 10 mg/m

. Von einem Brunnen aus kann das verunreinigte Wasser beprobt werden. Da der Grundwasserleiter unter Druck steht, liegt der Wasserspiegel im Brunnen z = 5m über dem oberen Rand des Grundwasserleiters.

Stoffdaten Benzen:

Diffusionskoeffizient im Wasser D

= 10

cm

s

Abbaurate k

= 5 a

dimensionsloser Henrykoeffizient K

= C

/ C

= 0.2

(Der dimensionslose Henrykoeffizient gibt das Verhältnis der Konzentrationen in der Luft und im Wasser im Gleichgewichtszustand !)

a) Wie lautet die eindimensionale Transportgleichung für Benzen im Brunnenwasser ? Berücksichtigen Sie die Prozesse Diffusion und eine Abbaureaktion 1. Ordnung.

(1 Punkt) b) Der Brunnen sei vorerst luftdicht verschlossen. Skizzieren Sie das Konzentrations-

profil von Benzen im Brunnenwasser und in der überstehenden Luft im

Gleichgewichtszustand, ohne den Abbau zu berücksichtigen. Begründen Sie Ihre

Antwort. (1.5 Punkte)

c) Der Brunnen wird nun zur Probenahme geöffnet. Durch den Luftaustausch wird die Konzentration von Benzen in der überstehenden Luft ungefähr Null. Wie verändert sich das Konzentrationsprofil im Brunnenwasser ? Skizzieren Sie das Konzentrations- profil im Gleichgewichtszustand bei geöffnetem Brunnen, ohne den Abbau zu berücksichtigen. Welche Benzenkonzentration wird nach dem Erreichen des Gleich- gewichts bei der Probenahme im Brunnenwasser 1 m unterhalb der Wasseroberfläche

gemessen werden ? (1.5 Punkte)

d) Wie lange dauert es bis der Gleichgewichtszustand quasi erreicht ist ? (1 Punkt)

e) Wie verändert sich das Konzentrationsprofil in c), wenn auch der Benzenabbau berücksichtigt wird ? Skizzieren Sie das Konzentrationsprofil und begründen Sie Ihre

Antwort ! (1.5 Punkte)

Brunnen

z

C = 10 mg/m