1 1 l l

(1)

Für die Definition der Variablen siehe Skizze in Aufgabenblatt. Durch Vernachlässi- gung der Dicke der Platte wird das Problem quasi-zweidimensional, d.h. wir betrach- ten die Flächen- statt Volumenelemente. Als Massenelement der Kreisplatte wird ein kreisförmiges Element der Breite dx gewählt. Der Beitrag dU zum Potenzial U ist dann

Das Gesamtpotenzial wird durch Integration über die ganze Platte ermittelt:

l

^r ^2m

l

^r ^xdx

U= dU = -GN-

0 r2 0 vx2+a2

2m /". ,,^{] r} ^2m

= -GN VX2 + a2 0 = -GN V r2 + a2 -a )

r2 r2

Für die Feldstärke im Punkt P gilt dann

E

grad U

2m

[

GN~

^11-

_VT2+a2

^a

wobei n den Einheitsvektor auf der Mittelachse von P in Richtung der Kreisplatte bezeichnet.

~~

(a) Die Gravitationskraft außerhalb der Erde ist direkt

--m'mE

F -~G -r>R N -f r2 für -

mit (der Vollständigkeit halber) den Werten mE = 5.974.1024kg, R = 6.378.106m und der Gravitationskonstanten G N = 6.673 .10-11 m3kg-1s-2. Das Gravitati- onspotential U(rm) am Ort rm des Körpers ergibt sich aus dem Wegintegral der gewonnenen (-geleisteten) Arbeit:

U(rm) =

1

^{00 -:} ^~ I' ""'-

Tm

00

-~ ] =

-0

1

^{00 dr}^F(r)df

--GNmmE

Tm

GNmmE ^-G N^m.mE

r2 Tm

wobei wieder gilt: r m ~ R.

Als Zentralkraft ist die Gravitationskraft radial anziehend, d.h. in Kugelkoordinaten ist sie in Richtung -r gerichtet. f ist dabei der Einheitsvektor der Radialkoordinate.

= = n

= n

e

n

2

(2)

(b) Für die Gravitationskraft inn~rhalb der Erde (r < R) gilt unter Benutzung der Massendichte PE = mE/(4/3 "I7rR3)

F=

und entsprechend für das Graritationspotential innerhalb des Erdradius R:

.G

m'mE

l

^R

N+ R _Tm

(~+ [.fw]~m)

U(rm) mE -GNmmE

(c) Man definiere (geschickterwei~e) zur Vereinfachung folgende konstante Größe:

GNomE

9 R2

Dann lässt sich das Gravitati9nspotential wie folgt schreiben:

3R2 -r2

2R

r2

~R-

2R 2

R²_-r ²

U(r) _-mg _-mg = -mgR _mg 2R

An der Erdoberfläche gilt also

f

(R) = -mgR = Uo, in der Nähe der Erdoberfläche gilt dann r ~ R und ~r = R r« R. Damit können wir das Potential wie folgt schreiben:

U(r) -Uo = mgf1r

Setzt man jetzt noch wie üblich für ßr die Höhe h ein, so erhält man die potentielle Energie U(h) = mgh, wobei hfer implizit das Potential Uo = 0 gesetzt wurde.

IFI I

mg!

R ^r

= =

=

)

=

= =

=

(3)

J A J k-ro ,'cl

1058

Estimate how big an asteroid you could escape by jumping.

( Columbia ) Solution:

Generally speaking, before jumping, Olle always bends one's knees to tower the center of gravity of the body by about 50 cm and then jumps up.

You can usually reach a height 60 cm above Jour normal height. In the process, the work düne is (0.5 + 0.6)mg, where m is the mass of Jour body

!l:hd 9 is the acceleration of gravity.

It is reasonable to suppose that when olle jumps on an asteroid of mass M and radius R olle would consume the same energy as on the earth. Then to escape flom the asteroid by jumping we require that

1.lmQ = GMm

-R

If we assume that the density of the asteroid is the same as that of the earth, we obtain

M R3

M _E-W' _E

where ME and RE are respectively the mass and radius of the earth. As 9 = GME/R~, we find

GM R=I:19=

R3 I.IRE or

R = Vi~ = VI.lx 6400 x 103 = 2.7 X 103 m