Aufgabe 1 (schriftlich): Hydrodynamisches Paradoxon In einer kreisf¨ormigen Platte mit Radius R

Physik II – Integrierter Kurs

Ubungsblatt Nr. 3, SoSe 13 ¨

Abgabe am 06.05.2013 in der Vorlesung Besprechung am 08.05.2013 in der ¨ Ubung Prof. L. Schmidt-Mende, Prof. M. Fuchs, Dr. D. Hinzke

Aufgabe 1 (schriftlich): Hydrodynamisches Paradoxon In einer kreisf¨ormigen Platte mit Radius R

be- findet sich im Zentrum ein kreisf¨ormiges Loch mit Radius R

. Senkrecht auf dem Rand der ¨ Offnung ist ein Rohr ebenfalls mit Radius R

gel¨otet. Unter dieser Anordnung befindet sich eine zweite Platte mit Radius R

und Masse M ohne ¨ Offnung hori- zontal und parallel zur ersten Platte (siehe Abbil- dung). Durch das Rohr wird Luft der Dichte ρ

von oben in den Zwischenraum zwischen den Platten geblasen. Sie str¨omt mit der radialen Geschwindig- keit v

bei R

in den Raum zwischen den beiden

R2

R1

Platten. Nehmen Sie an, dass die Luft inkompressibel ist, d. h. ρ

= const. Der Druck der die Anordnung umgebenden Luft sei p

. Wie groß muß v

sein, um die zweite Platte anzuheben? Betrachten Sie f¨ur die L¨osung der Aufgabe nur die Verh¨altnisse im Bereich R

< r < R

zwischen den Platten. (5 Punkte)

Aufgabe 2 (schriftlich): Laminare Str¨omung Bestimmen Sie das Geschwindigkeitsfeld u

(x) ei- ner laminaren Str¨omung in z-Richtung zwischen zwei parallelen W¨anden, d. h. die Geschwindig- keitskomponenten in x- und y-Richtung verschwin- den (u

= 0 und u

= 0). Die W¨ande befinden sich bei x = − d und x = +d (siehe nebenstehende Skizze). Nehmen Sie an, dass der Druck innerhalb einer Ebene z konstant ist, d. h. er ist unabh¨an- gig von x und y. Stellen Sie hierzu zun¨achst die Bewegungsgleichung ausgehenden von der Navier-

Stokes-Gleichung auf ^{−d d}

x y

z

L

ρ ∂

∂t + ~ u · ∇

~

u = −∇ p + η∆~ u,

mit dem Druck p, der konstanten Dichte ρ , Z¨ahigkeit der Fl¨ussigkeit η und der

Geschwindigkeit der Fl¨ussigkeit ~ u. L¨osen Sie die von Ihnen aufgestellte Bewegungs-

gleichung f¨ur die Randbedingung u

(x = d) = 0 und u

(x = − d) = 0. Nehmen Sie an, dass die ¨ Anderung des Drucks konstant ist, d. h.

=

. (5 Punkte)

Aufgabe 3 (m¨undlich): Gradient, Rotation und Divergenz

a) Gegeben sei das Vektorfeld A(~r) = (x, y ~

, z

) und ein Kubus mit den Kan- tenl¨angen a = 1, b = 2 und c = 3. Eine Ecke des Kubus soll mit dem Koordinatenursprung zusammenfallen. Verifizieren Sie den Gaußschen Satz, R d S ~ · A ~ = R

dV div ~ A, indem Sie beide Seiten der Gleichung getrennt berech- nen.

b) Gegeben sind die Vektorfelder B ~ (~r) = x~e

+ y~e

und C(~r) = ~ − y~e

+ x~e

. Skiz- zieren Sie die Vektorfelder und bestimmen Sie deren Rotation und Divergenz.

c) Zeigen Sie, dass gilt:

rot grad φ(~r) = 0

div rot D(~r) = 0 ~

Verwenden Sie kartesische Koordinaten.