Physik 11 - FOS. Technik

Physik 11 - FOS Technik

Andreas Rosenberger

Zuletzt geändert am 9. Dezember 2019

3 Energie und Arbeit

3.1 Arbeit

Merke

AlsArbeit W (engl.work) bezeichnet man in der Physik das Produkt aus der Kraft multipliziert mit der Strecke, entlang derer sie verrichtet wird.

W=#»F ◦Δ#»

#»F und Δ#» sind gerichtete Größen, es handelt sich bei dem Produkt also um ein Skalarprodukt.

Für die Einheit der Arbeit gilt:[W] = N·m= kg· _s^m2 ·m= kg^m_s2² = J (Joule) Anmerkung:

Ist die Kraft, die entlang des Weges wirkt, nicht konstant, so muss zur Berechnung der Kraft integriert werden:

W=

₂

Z

₁

#»F(#»)d#»

Beispiel

Auf einen Wagen wirkt eine Kraft #»F in Bewegungsrichtung.



#»F

Wird der Wagen über die Strecke Δ#» gezogen, wird an ihm die Arbeit W= #»F ◦Δ#»

verrichtet. Da sich der Wagen ausschließlich in -Richtung bewegt, sind alle weiteren Rich- tungskomponenten Null. Daher kann die verrichtete Arbeit durch das Produkt

W=F· berechnet werden.

Beispiel

Auf einen Wagen wirkt eine Kraft #»F unter dem Winkel αzur Bewegungsrichtung.



#»F

#»F_

#»F_y α

Hier gilt wieder:

W= #»F ◦Δ#»

Es verrichtet nur die Komponente der Kraft #»F in Bewegungsrichtung (also in -Richtung) Ar- beit. Für den Betrag von #»F_ gilt:

F_=F·cosα

Damit berechnet sich die verrichtete Arbeit durch W=F_·Δ

=F·Δ·cosα.

Graphische Bestimmung der Arbeit

Die Arbeit kann als Fläche im-F-Diagramm dargestellt werden.

 F

₁ ₂

F_

W

3.1.1 Die Beschleunigungsarbeit

An einem Körper wird Beschleunigungsarbeit verrichtet, wenn seine Geschwindigkeit durch eine Krafteinwirkung verändert wird.

Beispiel

Ein Wagen wird durch eine Kraft in -Richtung auf der Strecke Δ gleichmäßig beschleunigt (vgl. Beispiele oben). Es wird folgende Beschleunigungsarbeit verrichtet:

W_=F_·Δ

=m·_·Δ ^€2··Δ=²−²

0

Š

= 1 2

m·^€²−²

0

Š

Dabei ist₀die Geschwindigkeit zu Beginn des Beschleunigungsvorgangs unddie Geschwin- digkeit am Ende des Vorgangs.

Merke

DieBeschleunigungsarbeitberechnet sich durch W_= 1

2

m^€²−²

0

Š= 1 2

m²− 1 2

m²

0

3.1.2 Die Hubarbeit

Wird ein Körper um die Höhe Δhangehoben, wird Hubarbeit an ihm verrichtet. Soll der Körper nicht beschleunigt werden, so muss die Gewichtskraft des Körpers aufgebracht werden, um ihn anzuheben.

Beispiel

Ein Körper soll vom Punkt A zum Punkt B gehoben werden.

 y

A• h₁

#»F_G

#»F_

•B h₂

#»F_G

#»F_

Δ#»s α

α

Die Arbeit wird entlang des Weges Δ#»s verrichtet, es ist also auch nur die Komponente der Kraft #»F_ in Richtung von Δ#»s ausschlaggebend:

F_,Δ#»s =F_·cosα

⇒W_H=F_·Δs·cosα

Für die Größen Δsund Δh=h₂−h₁ gilt der Zusammenhang cosα= Δh

Δs ⇒Δh=Δs·cosα womit für die Hubarbeit folgt:

W_H=F_·Δh

Da die Kraft F_ den selben Betrag hat wie die Gewichtskraft F_G kann die Formel vereinfacht werden.

W_H=F_G·Δh

=m·g·Δh

Merke

Für die verrichtete Hubarbeit vonh₁ nachh₂ gilt:

W_H=m·g·Δh=m·g·(h₂−h₁) Anmerkung:

Die verrichete Hubarbeit ist nur von der Masse und dem Höhenunterschied abhängig. Dabei ist es egal, auf welchem Weg der Höhenunterschied bewältigt wird.

3.1.3 Die Spannarbeit

Um eine Feder um eine Strecke Δ#» zu strecken wird eine Kraft #»F benötigt. Soll die Feder nun weiter gestreckt werden, so muss eine größere Kraft aufgewandt werden. Die Kraft ist also in diesem Fall nicht konstant, weshalb die Arbeit nicht mit Hilfe des Skalarprodukts berechnet werden kann.

Beispiel

Um die Kraft zu bestimmen, die es braucht um eine Feder um eine bestimmte Strecke zu strecken, kann ein Experiment durchgeführt werden.

#»F₁

#»F₂

 0 ₁ ₂

Ist die Feder voll elastisch, so zeigt sich ein linearer Zusammenhang zwischen der Stre- ckung/Stauchung und der KraftF.

W_Sp

 F

₁ ₂

Die Fläche unter dem Graphen entspricht der verrichteten Spannarbeit. Außerdem gilt nach dem Hooke’schen Gesetz für die Kraft:F=D·(D: Federkonstante).

W_Sp= 1 2

D²

2− 1 2

D²

1

= 1 2

D^€²

2−²

1

Š

Merke

Für die an einer Feder verrichtete Spannarbeit gilt:

W_Sp= 1 2

D^€²

2−²

1

Š

3.1.4 Die Reibungsarbeit

Die Reibungsarbeit ist keine mechanische Arbeit, soll aber der Vollständigkeit halber hier er- wähnt werden.

Wirkt zwischen zwei Oberflächen die Reibungskraft, so ist die Reibungsarbeit W_R= #»F_R◦Δ#»

Wird ein Körper über eine Oberfläche gezogen, so wird also Arbeit vom Betrag W_R=−F_R·Δ

verrichtet. Das Vorzeichen der Reibungsarbeit ist stets negativ.

3.2 Energie

Merke

Als Energie Ebezeichnet man in der Physik die Fähigkeit eines Körpers, Arbeit zu verrichten.

Die Einheit aller Energieformen ist[E] =J(Joule).

Energie kann in verschiedenen Formen auftreten. Im Folgenden werden die Formen derme- chanischen Energiebeschrieben.

3.2.1 Kinetische Energie

Die kinetische Energie besitzt ein Körper auf Grund seines Bewegungszustandes. Ein Körper besitzt also eine kinetische EnergieE_kin=0, wenn er sich in Ruhe befindet.

Merke

Diekinetische Energieeines Körpers berechnet sich durch E_kin= 1

2 m²

3.2.2 Potenzielle Energie

Potenzielle Energie beschreibt grundsätzlich die Energie, die ein Körper besitzt, der aus sei- ner Ruhelage ausgelenkt ist. Man unterscheidet zwei Formen der mechanischen potenziellen Energie.

• Die potenzielle Energie der Erdanziehung (Höhenenergie, Lageenergie)

Wird ein Körper im Schwerefeld der Erde angehoben, so besitzt er Lageenergie. Diese ist abhängig vom Nullniveau des Koordinatensystems.

Merke

DieLageenergieeines Körpers berechnet sich durch E_H=m·g·h.

• Die potenzielle Energie der Elastizität (Spannenergie)

Ein Körper, der an einer um eine Strecke  ausgelenkte Feder hängt besitzt Spannener- gie.

Merke

DieSpannenergieeines Körpers berechnet sich durch E_Sp= 1

2 D²

3.3 Der Zusammenhang zwischen Energie und Arbeit

Um die Energie eines Körpers zu verändern muss an dem Körper Arbeit verrichtet werden. Die Arbeit ist also ein Maß für die Änderung der Energie eines Körpers.

Merke

Wird die Energie eines Körpers um ΔE verändert, benötigt es eine Arbeit W, die am Körper verrichtet wird.

W=ΔE Beispiel

Ein Körper wird von der Geschwindigkeit vom Betrag ₁ auf die Geschwindigkeit vom Betrag

₂ beschleunigt. Zu Beginn besitzt der Körper die kinetische Energie E_kin,1= 1

2m²

1.

Nach dem Beschleunigungsvorgang besitzt er die Energie E_kin,2= 1

2 m²

2

Seine Energie wurde also um ΔE=E₂−E₁= 1

2 m²

2− 1 2

m²

1

geändert. Die entspricht genau der BeschleunigungsarbeitW_, die aufgebracht werden muss, um einen Körper von der Geschwindigkeit₁ auf₂ zu beschleunigen.

Beispiel

Ein Wasserkasten (m = 12 kg) wird vom 1. Stock (h₁ = 3,0 m) in den zweiten Stock 3,0 m darüber getragen. Dabei wird die Hubarbeit

W_H=m·g·Δh

=12 kg·9,81m

s²·3,0 m

=0,35 kJ verrichtet.

Setzt man das Nullniveau in das Erdgeschoss, so besitzt der Kasten nun eine Energie von E_H=0,71 kJ, liegt das Nullniveau jedoch im ersten Stock, so hat der Kasten eine Lageenergie vonE_H=0,35 kJ.

Die Wärmeenergie

Einem Körper wirdinnere Energie Udurch die Reibungsarbeit zugeführt. Diese Energieart zählt nicht zu den mechanischen Energieformen. Die Arbeit, die verrichtet wird, um einem Körper innere Energie zuzuführen, nennt manWärmeenergieoderWärme Q. Es gilt also

ΔU=Q

Geht man davon aus, dass die verrichtete Reibungsarbeit nur zum Erwärmen eines Körpers dient, so giltQ=W_R und damit

ΔU=W_R.

3.4 Der Energieerhaltungssatz

Merke

In einem abgeschlossenen System ist die Gesamtenergie (Summe aller Energien) konstant.

E=

n

X

=1

E_=const Anmerkung:

Dieser Satz widerspricht häufig alltäglichen Erfahrungen und dem nicht-physikalischen Sprach- gebrauch. So ist die Rede von „Energieverlust“, „Energiesparen“, „Energieverbrauch“ oder

„Energieverschwendung“.

Die Verwendung dieser Begriffe ist akzeptabel, da es sich bei der Erde nicht um ein abge- schlossenes System handelt. Außerdem fehlt hier oft die Unterscheidung zwischen einer für die Menschen nutzbare Energieform („Exergie“) und die für den Menschen nicht-nutzbare Energieformen („Anergie“). Ist die Rede von einem „Energieverlust“, so meint man eigentlich die Umwandlung von nutzbarer in nicht-nutzbare Energie.

Beispiel

Ein voll-elastischer Gummiball wird von der Höhe h₀ aus auf eine Stahl- platte fallen gelassen. Im Idealfall (keine Reibungseffekte) erreicht er seine Ausgangshöhe h₀ nach dem Sprung wieder.

Im Punkt A hat der Ball ausschließlich Höhenenergie E_{pot, max} = m·g·h₀. Diese entspricht auch der GesamtenergieE_ges des Systems.

Im Punkt B hat der Ball sowohl Höhenenergie E_pot = m·g·h₁ als auch kinetische EnergieE_kin. Da Energie in einem abgeschlossenen System nicht verloren gehen kann, gilt:

E_ges=E_pot+E_kin

⇒E_kin=E_ges−E_pot

=m·g·h₀−m·g·h₁=m·g·(h₀−h₁)

h

0 h₁

h₀ •A

•B

•C

Im Punkt C hat der Ball seine komplette Höhenenergie in kinetische Energie umgewandelt:

E_ges =E_{kin, max}. Bei bekannter Anfangshöhe kann mit Hilfe dieser Gleichung der maximal er- reichte Geschwindigkeitsbetrag bestimmt werden:

E_ges=E_{kin, max} m·g·h₀= 1

2 ·m·²

max

|_max|=^Æ2·g·h₀ Beispiel

Ein Wagen 1 der Masse m stößt völlig elastisch einen stehenden Wagen der Masse 2m. Es gilt Impulserhaltung sowie Energieerhaltung:

p_vor =p_nach

m·₁=m·₁+2m·₂

₁=₁+2₂ (I)

E_{kin, vor}=E_{kin, nach} 1

2 m²

1= 1 2

m²

1+ 1

2·2m·²

2

²

1=²

1+2² (II) 2

Einsetzen von (I) in (II) liefert:

(₁+2₂)²=²

1+2²

2

²

1+4₁₂+4²

2=²

1+2²

2

4₁₂+2²

2=0

₂(4₁+2₂) =0 ₂6=0 4₁+2₂=0

4₁=−2₂

₁=−1 2

₂

Nach dem Stoß bewegt sich Wagen 1 mit der Hälfte des Betrags der Geschwindigkeit von Wagen 2 in entgegengesetzte Richtung.

Beispiel

Betrachtet wird erneut das Beispiel zum inelastischen Stoß aus Kapitel 2.6.2.

~

₁

~



Da beide Wägen die selbe Masse besitzen, gilt:= ¹₂(bitte selbst prüfen). Für die kinetischen Energien vor und nach dem Stoß gilt:

E_{kin, vor}= 1 2

m²

1

= 1 2

E_{kin, vor}

E_{kin, nach}= 1

2 ·2m·² =m·

 2

‹

= 1 4

m²

= 1 2

E_{kin, vor}

Scheinbar gilt der Energieerhaltungssatz in diesem Fall nicht mehr, da die Gesamtenergie vor- her (E_{kin, vor}) nicht gleich der Gesamtenergie nachher (E_{kin, nach}) zu sein scheint. In Wahrheit geht der „fehlende“ Teil der mechanischen Energie in Verformungsarbeit undWärme über, so dass der Energieerhaltungssatz weiter Gültigkeit behält. Der Energieerhaltungssatz der Mechanikverliert jedoch beim inelastischen Stoß seine Gültigkeit.

Merke Energieerhaltungssatz der Mechanik

In einem abgeschlossenen System, in dem nur konservative Kräfte wirken, ist die Summe aller mechanischen Energien konstant.

E_ges=E_kin+E_pot=const.

Man spricht von einer konservativen Kraft (lat. conservare: ’bewahren, erhalten’), wenn die Ar- beit, die von dieser Kraft verrichtet wird, mechanische ENergie ausschließlich in mechanische Energie (E_kin↔E_pot) umwandelt.