Danach werden die W¨urfel mit der jeweils zweith¨ochsten Augenzahl verglichen, usw

Ubungen zur Theoretischen Physik IV¨ Thermodynamik und Statistik

SS 2005 Prof. F.-G. Mertens

Blatt 2 Abgabe: Montag, 25. April 2005, bis 14 Uhr vor Zi. 01.504

Aufgabe 4: Risiko (2 Punkte)

Im Spiel

”Risiko“ von A. Lamourisse wird als eine der Spielregeln folgende Simulation eines Kampfes benutzt: Der Angreifer A wirftnW¨urfel, der Verteidiger V wirftmW¨urfel, wobeim6n.

Dann werden der A-W¨urfel und der V-W¨urfel mit der jeweils gr¨oßten Augenzahl miteinander verglichen. Der Spieler, dessen W¨urfel die niedrigere Augenzahl zeigt, verliert einen Spielstein.

Bei Gleichheit der Augenzahlen verliert der Angreifer. Danach werden die W¨urfel mit der jeweils zweith¨ochsten Augenzahl verglichen, usw. Insgesamt werden alsom Vergleiche durchgef¨uhrt, und m Steine gehen verloren. Berechnen Sie f¨ur die F¨alle

(a) n= 1 =m, (b) n= 2,m= 1,

die Wahrscheinlichkeit P_mn daf¨ur, dass A verliert, auf folgende zwei Arten:

(i) durch kombinatorische ¨Uberlegungen, d. h. Abz¨ahlen der relevanten Ereignisse.

(ii) durch Zerlegen des Spielvorgangs in einzelne W¨urfe: Berechnen Sie daf¨ur zun¨achst die Wahr- scheinlichkeit, dass V die Zahl i und A eine Zahl (bzw. zwei Zahlen) j 6 i wirft. Daraus folgt dann P₁₁ (bzw. P₂₁).

Aufgabe 5: Binomialverteilung (4 Punkte)

Die Binomialverteilung P_n,p sei definiert als

P_n,p(k) = µn

k

¶

p^k(1−p)^n−k,

wobei p ∈ [0,1], n ∈ N, und k ∈ N0 mit k 6 n. Diese Verteilung beschreibt beispielsweise die Wahrscheinlichkeit, kder insgesamtnTeilchen eines idealen Gases in einem TeilvolumenpV des GesamtvolumensV vorzufinden.

(i) Zeigen Sie, dass die Binomialverteilung eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist.

(ii) Berechnen Sie Erwartungswertµ_X, Varianz σ_X² und Standardabweichungσ_X einer binomi- alverteilten Zufallsvariable X. F¨ur welchen Wert vonp ist die Varianz maximal?

(iii) Zeigen Sie, dass P_n,p(k) im Grenzfall n → ∞ bei konstantem Erwartungswert µ in eine Poisson-Verteilung

P_µ(k) = µ^k k! e^−µ ubergeht.¨

Aufgabe 6: Zufallslauf (random walk) (4 Punkte)

Ein Betrunkener bewege sich l¨angs einer Linie. Die Wahrscheinlichkeit f¨ur einen Schritt der L¨ange ssei gegeben durch

w(s) = 1

√2πσ² exp

½

−(s−l)² 2σ²

¾ . (i) Skizze, Diskussion von w(s).

(ii) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsdichte w_n(x), den Betrunkenen nach dem n-ten Schritt in einer Entfernung x anzutreffen. Wie groß ist seine mittlere Entfernung x vom Ursprung nach demn-ten Schritt? Wie groß ist das mittlere Schwankungsquadrat (x−x)²?