1) Ab welcher Zahl von W¨ urfen zweier regul¨arer Spielw¨ urfel ist es g¨ unstig, auf mindestens eine Doppelsechs zu wetten?

Prof. Dr. Uwe K¨ uchler Sommersemester 2007 Dr. Renate Winkler

Institut f¨ ur Mathematik

Stochastik I

L¨ osungsans¨ atze zur 7. Zusatz¨ ubung

1) Ab welcher Zahl von W¨ urfen zweier regul¨arer Spielw¨ urfel ist es g¨ unstig, auf mindestens eine Doppelsechs zu wetten?

L¨ osung: Wir berechnen die Wahrscheinlichkeit beim n-maligen Wurf zweier W¨ urfel keine Doppelsechs zu werfen. Die Wahrscheinlichkeit beim einmaligen Wurf zweier W¨ urfel keine Doppelsechs zu werfen ist ³⁵ ₃₆ . Da die W¨ urfe unabh¨angig sind, ist die Wahrscheinlichkeit bei n W¨ urfen keine Doppelsechs zu werfen ³⁵ ₃₆ n

. Gesucht ist also das kleinste n mit ³⁵ ₃₆ n

< ¹ ₂ bzw n ln ³⁵ ₃₆

< ln ¹ ₂ bzw n > ln ¹ ₂ / ln ³⁵ ₃₆

≈ 24, 6.

Die gesuchte Anzahl ist 25.

2) Um in der Spielshow ”Randotime”den Hauptpreis zu gewinnen, erh¨alt ein Kandidat zwei Schachteln sowie 100 weiße und 100 schwarze Kugeln. Er darf die Kugeln nach Belieben auf beide Schachteln verteilen, wobei nur keine Schachtel leer bleiben darf.

Danach w¨ahlt er ”blind” eine Schachtel aus und zieht daraus rein zuf¨allig eine Kugel.

Er erh¨alt den Hauptpreis, falls die gezogene Kugel weiß ist. Wie sollte der Kandidat die Verteilung der Kugeln vornehmen, um die Gewinnwahrscheinlichkeiten zu maximieren, und wie groß ist diese dann?

L¨ osung: Nehmen wir an, der Kandidat legt in Schachtel 1 insgesamt c Kugeln, 0 <

c ≤ 100, (f¨ ur gr¨oßeres c tauschen wir die Rolle der zwei Schachteln) von denen w, 0 ≤ w ≤ c, weiß sind. In Schachtel 2 liegen dann 200 − c Kugeln, von denen 100 − w weiß sind. Die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen ergibt sich dann zu

p = 1 2 · w

c + 1

2 · 100 − w

200 − c = (200 − 2c)w + 100c 2c(200 − c) .

F¨ ur festes c ist dies genau f¨ ur maximales w(c) = c maximal. Es bleibt nach dem Maximum von p = ¹ ₂ + ¹ ₂ · ^100−c _200−c zu suchen, was bei kleinstm¨oglichem c = 1 gefunden wird.

Der Kandidat sollte also in eine Schachtel eine weiße Kugel legen und alle anderen Kugeln in die andere Schachtel. Die Wahrscheinlichkeit, eine weiße Kugel zu ziehen, ist dann p = ¹ ₂ + ¹ ₂ · ₁₉₉ ⁹⁹ .

3) Eine M¨ unze mit P (Wappen)= p wird unbegrenzt oft geworfen. Es sei A k das Ereignis, dass k mal hintereinander das Wappen erscheint, und zwar bei den W¨ urfen mit den Nummern 2 ^k , 2 ^k + 1, . . . , 2 ^k+1 − 1.

Man zeige, dass P (A k trifft f¨ ur unendlich viele k ein) = 1 gilt, falls p ≥ ¹ ₂ ist und

P (A k trifft f¨ ur unendlich viel k ein) = 0, falls p < ¹ ₂ .

L¨ osung:

Es bezeichne B k,j das Ereignis, dass bei allen W¨ urfen mit den Nummern j − k+1, . . . , j Wappen erscheint. Es gilt P (B k,j ) = p ^k .

Es gibt 2 ^k W¨ urfe mit den Nummern 2 ^k , 2 ^k + 1, . . . , 2 ^k+1 − 1.

Nun arbeiten wir mit Absch¨atzungen von P(A k ) nach oben und nach unten. Sei zun¨achst p < ¹ ₂ , 2p = α < 1

P (A k ) ≤ P (

2

−1

[

j=2

B k,j ) ≤ 2 ^k · p ^k = α ^k

Damit folgt P ∞

k=1 P(A k ) ≤ P ∞

k=1 α ^k = _1−α ¹ < ∞ und mit dem 1. Lemma von Borel- Cantelli folgt

P(A k trifft f¨ ur unendlich viele k ein) = P (

\ ∞

n=1

[

k≥n

A k ) = 0 .

Sei nun p ≥ ¹ ₂ . Hier wollen wir das 2. Lemma von Borel-Cantelli anwenden und sch¨atzen dazu A k durch eine Menge unabh¨angiger Ereignisse nach unten ab. Wir teilen die Wurfnummern in nicht¨ uberlappende Gruppen zu je k Nummern: 2 ^k +i · k, . . . , 2 ^k + i · k+

(k− 1), f¨ ur i = 0, 1, , . . . [2 ^k /k] −1. Die Ereignisse B _k,2

+ i·k+(k−1) , i = 0, 1, , . . . [2 ^k /k]−1 sind voneinander unabh¨angig, in A k enthalten, jedoch nicht disjunkt.

A k ⊇

[2

/k]−1

[

i=0

B k,2

+ i·k+(k−1)

P (A k ) ≥ P ^[2

k

/k]−1

[

i=0

B _k,2

_{+i·k+(k−1)}

= 1 − P ^[2

k

/k]−1

\

i=0

B _k,2

_{+ i·k +(k−1)}

= 1 − (1 − p ^k )

| {z }

≤e

[2

/k]

≥ 1 − e ^−p

^[2

^/k] ≥ 1 − e ^−p

²

^/k ≥ 1 − e ^−1/k

≥ 1/(k + 1) f¨ ur hinreichend große k.

Damit folgt P ∞

k=0 P (A k ) = ∞ , weiterhin sind die Ereignisse A k voneinander un-

abh¨angig und mit dem 2. Lemma von Borel-Cantelli folgt die Behauptung.