V ektor en

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Kapitel 4

V ektor en

PhysikalischeMessgr

¨oßen

wieKraft,Geschwindigkeit,Beschleunigungbed

¨urfen

derAngabedreierZahlenumihrenWertineinemgegebenenBezugsystemzuspezifizie-ren.Esreichthaltnichtaus,wennmansagt“dasElektronsaustmithundertfuffichKa-em-ha!”.Selbstwennmandasmit“DieSchnelligkeitdesElektronsbetr

¨agt

et-waswenigerals42m·sec −1”ineinewissenschaftlichakzeptableFormgebrachthat,m

¨usste

mannochdieRichtungangeben,inderdasElektronunterwegsist.

“Richtung”isteingeometrischerBegriff:EinPunktQliegtvonPausgeseheninRichtungR,wennP,QundRaufeinerGeraden.[Hier‘‘Richtung’’weiterentwicklenzu‘‘ÄquivalenzklassenparallelerStrecken’’(viaLimesR→∞aufStrahldurchPQ)etc,dann‘‘Vektor’’motivierenalsÄquivalenzklassegerichteterStreckenmit‘parallel’alsÄquivalenzrelationusw]

c#MartinWilkens736.November2013

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74Vekto

4. 1 Defini ti on

WichtigeDingesolltemanaucheinmalanst

¨andig

definieren.Hieralso

Definition:SeiKeinK

¨orp

er.EinK-VektorraumisteineMengeVaufderAbbildungVektoraddition

+:V×V→V(!u,!v)%→!u+!v

undeineAbbildungSkalarmultiplikation

·:K×V→V(λ,!v)%→λ!v

gegebensind,diedenfolgenden8Axiomengen

¨ugen

(dasSymbol·f¨urSkalarmultiplikationlassenwirunterdenTischfallen):

1.(!u+!v)+!w=!u+(!v+!w)f¨uralle!u,!v,!w∈V.

2.!u+!v=!v+!uf¨uralle!u,!v∈V.

3.EsgibteinausgezeichnetesElement!o∈V,genannt“Nullvektor”!v+!o=!vf¨uralle!v∈V.

4.Zujedem!v∈VgibteseinElement−!v∈Vmit!v+(−!v)=!o.

5.λ(µ!v)=(λµ)!vf¨uralleλ,µ∈Kund!v∈V.

6.1!v=!vf¨uralle!v∈V.

7.λ(!v+!u)=λ!v+λ!uf¨uralleλ∈Kund!v,!u∈V.

8.(λ+µ)!v=λ!v+µ!vf¨uralleλ,µ∈Kund!v∈V.

6.November201374c#MartinWilk

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4.1Definition75

Außerdemvereinbarenwir!vλ:=λ!vf¨uralleλ∈Kund!v∈V.

F¨ur

diePhysikvonbesonderemInteressesindreelleundkomplexeVektorr

¨aume,

alsoK=RoderK=C.Dieλ∈KnenntmanauchSkalaredesVektorraums,dieMengeVauchdieGrundmengeunddieAbbildungen+,·Vektoroperationen.PedantischnotiertmaneinenVektorraumalsQuadrupel(V,K,+,·),redetzuweilenvoneinemVektorraum

¨uberK,ruftihnabermeisteinfachbeimNamenderGrundmengeV.

VektoreneinesreellenVektorraumswerdengernedurchPfeileveranschaulicht(da-herunsereNotationeinesVektors,wiebeispielsweise!v,mitdemPfeilaufdemKopf).EinPfeilisteingeometrischesDingderEuklidischenGeometrie,n

¨amlic

heingerichtetesGeradenst

neParallelverschiebungunterscheiden,dengleichenVektorrepr ¨uck.Dabeisollgelten,dasszweiPfeile,diesichnurdurchei-

¨asen

tieren.VektorensindalsoPfeilklassen.Manlerntnieaus...

Abb4.1IllustrationderSkalarmultipli-kationundInversion. DerSkalarmultiplikationentsprichtdieStreckungbzw.StauchungeinesPfeils–vgl.Abb.4.1,derVektoraddionentsprichtdasAneinanderh

¨angen

zweierPfeile–vgl.Abb.4.2.DieAxiomederVektoradditionundSkalarmultiplikationerweisensichnunalselementareS

¨atze

derEuklidischenGeometrie.DasKommutativaxiomderVektor-Addition,beispielsweise,findetdannseinenAusdruckinderParallelo-grammkonstruktion–vgl.Abb.4.2.

GewarntseiallerdingsvorderGleichsetzungvonVektorenmitgerichtetenStrecken.Geometrischsindzweigegen

¨ub

erliegendenSeiteneinesParallelogrammsdurchausverschiedeneStrecken,algebraischwerdensieaberdurchgenaueinenVektorre-pr

¨asen

tiert–vgl.Abb.4.2.AußerdemkenntdieGeometriebeispielsweisedenBegriffdesWinkelsoderderL

¨ange

–inderDefinitiondesVektorraumsistvonentspre-chendenGr

¨oßen

nirgendwodieRede.ZwarkannmanentsprechendeGr

¨oßen

auchf¨ureinenVektorraumvereinbaren–unddasgeschiehtimn

derNormunddesSkalarprodukts–dasistdannabereinbesondererAkt. ¨achstenKapitelimBegriff

Abb4.2AdditionzweierVektorenundIl-lustraiondesKommutativgesetzes.c#MartinWilkens756.November2013

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76Vektoren

HatmaneinSystemvonVektoren!v1,!v2,...,!vk∈VnenntmandieMengeallerLinearkombinationenL(!v1,...,!vn):={λ1!v1+...+λn!vn|λi∈R}dielineareH

¨ulle

desSystems.DieVektorendesSystems!v1,...,!vnheißenlinearunabh

¨angig

,wenninderDarstellungdesNullvektorsλ1!v1+···+λn!vn=!onotwendigalleSkalaregleichNull;andernfallsheißensielinearabh

¨angig

.

EinSystem!b1,...

n1, !bkonstituierteineBasisvonV,notiert(,...!b

Systemlinearunabh n, !b),wenndas

¨angig,

und(2)wennjederVektorvonValsLinearkombinationder!b1,...

1DieDarstellungeinesVektors!vineinerBasis(,...!b BaseneinesVektorraumsdieGleiche,unddefiniertdieDimensiondesVektorraums. n, !bdargestelltwerdenkann.DieZahlderVektorenineinerBasisistf¨uralle

n, !b)notiertman

!v=!b1v 1+!b2v 2+···+!bnv n= !

i !biv i=:!biv i(4.3)

wobeiganzrechtsdieEinsteinscheSummenkonventioneingef

¨uhrt

wurde:“

¨ub

doppeltauftretende,schr

¨ag

gestellteIndiceswirdsummiert.”UnterleichterSpracverdrehungnenntmanv idiei-teKomponentevon!v(obwohlessicheigentlichumeineKoordinatenhandelt).AuchsetztmandenAbz

¨ahlindex

ibeidenKomponentengernenachuntenschreibtalsovistattv i.Dasistinbesonderef¨urNovizenhilfreickommensiedochnichtinVersuchung,diei-teKomponentealsi-tePotenzvon“vau-hoch-iih”,zulesen.WirbleibenhieraberbeiderHochstellung.TiefgestellteIndicesanKoordinatenwerdensp

¨ater

nochgebraucht–StichwortDualraum.

HatmaneineTeilmengeUeinesVektorraumsV,kannmandieElementevonzwaraddierenundmitreellenZahlenmultiplizieren,aberesistnichtgarantiert,dassmit!u,!v∈Uauch!u+!w∈U.Teilmengenf¨urdiedasgarantiertist,verdienenbesondereBeachtung,etwainFormeiner

Definition(Untervektorraum):SeiVeinK-Vektorraum.EineTeilmengeU⊂

(5)

4.2Beispiele77

definierteinenUntervektorraumvonV,wenn(1)U)=∅,und(2)f¨uralle!u,!w∈Uundalleλ∈Kgilt!u+!w∈U,λ!u∈U.

EinUntervektorraumUistalsoselbsteinVektorraum.Insbesonderesind{!o}undVselbstUntervektorr

¨aume

vonV.

EinelineareH

¨ulle L(!v1,...,!vk),beispielsweise,isteinUntervektorraumvonV,undmansagt,dasTupel!v1,...,!vkseieinErzeugendensystemdiesesUntervektorraums.SinddieVektoreneinesErzeugendensystemlinearunabh

¨angig,

konstituierdasSys-temeineBasisderlinearenH

¨ulle.

SindUundWUntervektorr

¨aume

vonV,soistauchderDurchschnittU∩WUn-tervektorraumvonV(wer’snichtglaubt:Beweisals¨Ubungsaufgabe!).DieVereini-gungsmengeU∪WzweierUntervektorr

¨aume

U,Wisti.A.keinUntervektorraum,wohlaberdieSumme

U+W:={!u+!w|!u∈U,!w∈W}⊂V(4.4)

Untervektorr

¨aume

desVektorraumR 3,beispielsweise,kannmansichinFormderGeradenundEbenendurchdenUrsprungveranschaulichen.

4. 2 Bei spi el e

Beispiel1(Zahlenspalten):DerR nistdieMengeallern-TupelreellerZahlen.Soeinn-TupelnotierenwirjetztmalalsSpalte,

x=  x 1x 2...x n  (4.5)

(6)

78Vektoren

wobeimitx idiei-teKomponentedesSpaltentupelsgemeinist,undnichtet“icks-hoch-i”.Jetztvereinbarenwirnoch,wieSpaltenzuaddierensind, x 1...x n +  y 1...y n =  x 1+y 1...x n+y n ,(4.6)

undwiemanSpaltenmiteinerreellenZahlmultipliziert,

λ  x 1...x n =  λx 1...λx n .(4.7)

Rechenoperationenf¨urZahlenspaltensinddamitaufRechenoperationenmitgew

¨ohn-

lichenZahlenzur

¨uckgef

¨uhrt.

Undsieheda–diehiereingef

¨uhrten

Rechenoperationengen

¨ugen

denVektroraumaxiomen!Kurz:ZahlenspaltenbildeneinenVektorraumdenVektorraumR n.

EinebeliebtBasisdesR nbildendieVektoren

 100...0  ,  010...0  ,...  000...1  ,(4.8)

genanntdiekanonischeBasis.DieZahlderBasisvektorenistn–derR nistn-dimensionalerVektorraum.

Beispiel2(Zahlenzeilen):[ImWS11nichtvorgestellt;solltemanaber--dannh¨attemangleichschondenDualraumeingef¨uhrt...]Mankann

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4.2Beispiele79

n-TupeldesZahlenraums(!)R nnat

¨urlic

hauchalsZeilenotieren

x=(x1,x2,...,xn)(4.9)

wobeiwirhierdiei-teKomponentemiteinemnachuntengestelltenIndexbezeich-nen.ZeilenadditionwirdinAnalogiezurSpaltenadditionvereinbart,

(x1,...,xn)+(y1,...,yn)=(x1+y1,...,xn+yn)(4.10)

undauchdieSkalarmultiplikationerfolgtinAnalogiezumSpaltenfall,

λ(x1,...,xn)=(λx1,...,λxn).(4.11)

Diesoeingef

¨uhrten

Operationgen

¨ugen

denAxiomeneinesVektorraums.Wirbe-zeichendiesen“VektorraumderZahlenzeilen”mitdemSymbolR n∗,umihnnichtmitdemVektorraumderZahlenspalten,bezeichnetR n,zuverwechseln.

Beispiel3(Funktionen):EinereellwertigeFunktionaufeinerMengeX,daranseierinnert,istjanichtanderesalseineAbbildungX→R.SeinunFdieMengeallerreellwertigenFunktionenaufdemIntervallX=[−1,1],alsoF={f|f:[−1,1]→R}.MitderVerabredung

(f+g)(x):=f(x)+g(x)(4.12)(λf)(x):=λf(x)(4.13)

f¨urallex∈[−1,1]sindAdditionvonFunktionenundSkalarmultiplikationpunkt-weiseerkl

¨art.

Man

¨ub

erzeugtsich,dassmitf,g∈Fauchf+gundλfElementvonF,d.h.auch{F,R,+,·)istreellerVektorraum.EineendlicheBasisl¨asstsichhiernichtangeben–derFisteinunendlichdimensionalerVektorraum.