n N n n m N = e N N = e ) ( ) ( − − nm nm n nm mn mn nm mn m u ( ν ,T ) B N = R = R =( A + u ( ν ,T ) B ) N mn mn B A mn A nm mn n<m B B nm mn R = R c 3 N ( ν )=8 Vdν πν 2 n/m n/m N mn mn nm mn m R =( A + u ( ν ,T ) B ) N nm nm nm n R = u ( ν ,T ) B N e −

(1)

Heiko Dumlich

14.Mai 2006

1.

EsgeltendiefolgendenFormeln:

u (ν, T ) dν = 8πhν ³ c ³

1 e ( kT ^hν ) − 1 dν

fürdasPlanckscheStrahlungsgesetz,

R nm = u (ν nm , T ) B nm N n

R mn = (A mn + u (ν nm , T ) B mn ) N m

fürdieRaten (Übergänge proZeit),wobei

N n/m

^die Ânzahl^derÂtome îm

jeweiligenNiveau

n/m

beschreibt,

N (ν ) = 8πν ² c ³ V dν

fürdieModenzahlin AbhängigkeitderFrequenz und

R nm = R mn

fürdenGleichgewichtszustand.WirbetrachtendiezweiEnergieniveaus,wo-

bei

n < m

^gelten^soll.^Somit^gilt

B nm

^alsAbsorption,während

B mn

^die^spontane

Emissiondarstellt. DieinduzierteEmission istsomit

A mn

^. ^Wirvergleichendie spontaneEmission

B mn

^mit ^derinduzierten Emission

A mn

^. ^Hierzu^betrachten

wirdie RatenimGleichgewicht:

u (ν nm , T ) B nm N n = R nm = R mn = (A mn + u (ν nm , T ) B mn ) N m

Esgiltnunzudem:

N m = e ( − ^Em−En kT ) N n = e ( − ^νmn kT ) N n

somitfolgtnach kürzendurch

N n

^:

(2)

u (ν nm , T ) B nm = (A mn + u (ν nm , T ) B mn ) e ( − ^νmn kT )

Wirstellenumunderhalten:

u (ν nm , T )

B nm − B mn e ( − ^νmn _kT )

= A mn

nachteilenundeinsetzenderPlanckformelfolgt:

u (ν nm , T ) = 8πhν ³ c ³

1 e ( kT ^hν ) − 1 = A mn

B nm − B mn e ( − ^νmn kT )

Vergleichmit derPlanckformelliefert:

B nm = B mn

Dasonst die Gleichungnichterfüllt werden kann.Zudem ergibtsichsomit

fürdasVerhältnisderspontanenzurindzuziertenEmissiondurchumstellenund

kürzendes

e ( kT ^hν ) ₋ 1 e ( kT ^hν ) ₋ 1

Terms:

C mn = A mn

B mn = 8πhν ³ c ³

Manerkenntsofort dieFrequenzabhängigkeitdesTerms,wobeidiesestark

ist, da sie in der 3. Potenz vorliegt. Wir vergleichen nun das Verhältnis der

induziertenzurspontanenEmission

C mn

^mit^der^mittlerenPhotonenzahl

n ¯

^einer

ModederFrequenz

ν

^.^Für^die^mittlerePhotonenzahl

n ¯

^für^die^Temperatur

T ≈ 10 ² K

^und ^der ^F^requenz

ν ≈ 10 ¹² s ⁻ ¹

^gilt

n ¯ ≈ 1

^. ^Für^dieseRandbedingungen folgtfür unseren Term

C mn = 618.1 · 10 ²⁶ _m ^kg _· _s

^. ^Wir ^betrachten^einen ^zweiten

Term mit vielhöherer Frequenz

ν ≈ 10 ¹⁵

^, ^somit^folgt

T ≈ 10 ⁵ K

ûmâuf êine

mittlere Photonenzahl von

n ¯ ≈ 1

^zu ^kommen. ^Für

C mn

^folgt ^somit

C mn = 618.1 · 10 ³⁵ _m ^kg

· s

^. ^Nun ^betrachten ^wir^noch ^eine^niedrige ^F^requenz

ν ≈ 10 ⁸

^mit

T ≈ 1 K

^,^diesmal^erhalten^wir^ein

n ¯ ≈ 10 ²

^und^für^unser

C mn = 618.1 · 10 ¹⁴ _m ^kg _· _s

^.

Für mich ergibt sich hieraus leider keine klar zu schlussfolgernde Erkenntnis.

Eswärenett,wenn imTutorium hierübernoch ein paarWorte gesagtwerden

könnten,damirderZusammenhangnichtganzklarist.

Als möglichen Grund , warum es den Maser vor dem Laser gab, würde

ichvermuten,dassespurerZufallwar,denn Forschunggehtniemalsstraight-

forwardnacheinemmaster-planvor.EssindoftZufälledieneueErkenntnisse

bringenund ofttreten unerwartete Eekteauf, die dann zu einerneuen Sicht

derDingeführen.DieRealisierunglässtsichevtl.auchmitdendamalsvorhan-

denentechnischenMöglichkeitenbegründen,dadienötigePopulationsinversion

zurErzeugungvonWellenlängenfürdenMikrowellenbereichvermutlichleichter

herzustellenwaren,alsfürsichtbaresLichtderLaser.

(3)

FürdenImpulseinesPhotonsgiltausderRelativitätstheorie

E ² = p ² c ² +(mc) ²

^,

da jedoch die Ruhemasse das Photons

0

^ist, ^folgt:

E = pc ⇒ hν = pc = ^h _λ c

fürein Photon. Für mehrerePhotonen

n

^folgt^nun

E = n ^hc _λ

^. ^Wir ^betrachten

einenLaser mit den Angaben

λ = 32 · 10 ⁻ ⁹ m

ûndêinerÊnergie ^pro^Puls ^von

E pulse = 10 · 10 ⁻ ⁶ J

^,^die^Zeit^für^jeden^Puls^beträgt

t pulse = 40 · 10 ⁻ ¹⁵ s

^und^die

AnzahlderPulseproSekunde beträgt

n pulse = 50

^.

FürdieAnzahlderPhotoneninnerhalbeinesPulsesgiltsomit:

n photoninpulse = λ

hc E = 1.61 · 10 ¹²

FürdieAnzahlderPhotoneninnerhalbeinerSekundefolgt,miteinerAnzahl

von

n pulse = 50

^:

n photonins = 8.05 · 10 ¹³

WürdenwireinendurchgehendenStrahlbesitzen,hättenwir

n photoninpulse = 1.61 · 10 ¹²

ⁱⁿ

t pulse = 40 · 10 ⁻ ¹⁵ s

^, ^wobei ^wir^dann

40 · 10 ¹ ^s − 15 s = 2.5 · 10 ¹³

^Pulse

proSekunde besitzenwürden, alsowürdeinsgesamteineAnzahlvon:

n strahlins = 4.03 · 10 ²⁵

Photonen folgen.FürdieLeistungsdichte

σ P

^folgt,^wenn^wir^den^Strahl^auf

eineKreisäche mitDurchmesser

d = 20 · 10 ⁻ ⁴ cm

fokussieren:

σ P = P A = 4P

πd ²

Für die Leistung folgt nun

P = ^W _t = ^E _t ^pulse

pulse = 2.5 · 10 ⁸ W

^, ^also ^für ^die

Leistungsdichte:

σ P = 7.96 · 10 ¹³ W cm ²

DiedurchschnittlicheabgestrahlteLeistungerhaltenwirausderAnzahlder

PulseinderSekundemultipliziertmit derLeistungproPuls:

P ¯ = P · n pulse = 1.25 · 10 ¹⁰ W

ZumVergleich betrachtenwireinkommerziellerhältlichesLasersystemmit

λ = 800 · 10 ⁻ ⁹ m

^,

E pulse = 2.5 · 10 ⁻ ³ J

^,

t pulse = 100 · 10 ⁻ ¹⁵ s

^,

n pulse = 30

^pro

Sekunde und einer Spitzenleistung(sdichte) von

σ P,max = 5.2 · 10 ¹⁵ _cm ^W ²

^. ^Für

diesesLasersystemfolgtfürdieAnzahlderPhotonenin einemPuls:

n photoninpulse = 10 ¹⁶

ImVergleicherhaltenwir

n F EL

n konventionell = 1.61 · 10 ⁻ ⁴

^,^die^Intensitätⁱⁿ^einem

PulsliegtalsobeimFELweitunterdereineskonventionellenLasers.Jedochist

(4)

nellenSystemsbesitzen.ZudembestehtwohldieMöglichkeitmehrFELPulsein

eineSekundezubekommenalsesbeimkonventionellenLasermöglichist,somit

kanneinehoheIntensitäterreichtwerden.EineweitereMöglichkeitjedochwäre

auch,dassichmichverrechnethabeunddaherdasErgebnisherauskommt,dass

dieIntensitätdesFELjePulsgeringerist,alsdieeineskonventionellenLasers,

obwohldurchdenFELgeradenochnieerreichteIntensitäten erreichtwerden

sollten.DadieseAussage jedoch nichtweiter speziziert ist(obin einem Puls

oderin einerSekunde), bleibtmirnurdasWartenaufdie Korrektur.

3.

(a)

Fürdie Graphenfolgt:

-

(b)

FürdieGröÿenordnungdesSättigungsstromesfolgtmit

P = U · I

^und^der^sehr

groben Schätzung vom erreichen des Sättigigungsstromesbei einer Saugspan-

nungvon

U ≈ 50 V

^folgt:

I saettigung = P

U ≈ 10 ⁻ ⁴ A ≈ 10 mA

(c)

Für das plancksche Wirkungsquantum folgt aus dem mathematica printout,

wobeidiekinetischeEnergie(

− eU 0

⁾^über^die^Frequenz

ν = _λ ^c

aufgetragenwird ausderSteigungdesGraphen:

h = 6.626 · 10 ⁻ ³⁴ J · s

währendsichdieAustrittsarbeit,ausdemAchsenabschnitt,mit:

W A = 4.65 V

bestimmenlässt.

(5)

EinPhotonionisiertein

20 N e

^Atom,^mit ^einemIonisationspotentialvon

E io = 21.6 eV

^.^DasîonisierteÊlektron^besitztêine^kinetischeÊnergie^von

E elektron = 13.6 eV

^.^Somit^hat^das^Photon^min.^eine^Energie^von

35.2 eV

^abgegeben.^Es^gilt

derEES:

E photon = E io + E elektron + E photon ⁰

^.^Und^für^eineelastischenStoÿder IES:

~ p = ~ p elektron + ~ p neon + ~ p ⁰

^.^Somit^folgt^also^für

E photon ⁰ = E photon − 35.2 eV

undfürdenImpuls:

~ p ⁰ = ~ p − 4.81 · 10 ⁻ ²¹ ^kg _s ^· ^m −

,wobei

p ~ elektron = 2 · 10 ⁻ ²⁴ ^kg _s ^· ^m

und

~ p neon = 4.81 · 10 ⁻ ²¹ ^kg _s ^· ^m

^, ^wobei

m neon = 3.34 · 10 ⁻ ²⁶ kg

^. ^Somit ^kann^der

Impuls des Elektrons also vernachlässigt werden, da der Einuss minimal ist.

Dies liegt in der sehr kleinen Massedes Elektrons begründet. Die höhere Ge-

schwindigkeitschat das weniger an Masse beim Impuls nicht auszugleichen,

obwohldieEnergienähnlichsind,jedochgehtdortdiezweiteOrdnungderGe-

schwindigkeitein, wodurch mehr Gewicht auf die Geschwindigkeit fällt und

somitdieEnergienindergleichenOrdnungvorliegen.

FürdiemittlerekinetischeEnergieeinesGasesgilt

E ¯ kin = 3RT

^.^Wir^gehen

davon aus, dass wir die Ionisations-Energie des Neons nur auösen können,

wennsienichtmehrals2Gröÿenordnungenkleineristalsdiemittlerekinetische

Energie.WirsetzenalsoeinemittlerekinetischeEnergievon

E ¯ kin = 10 ³ eV

^,^wir

erhaltennachumstellenderFormelfürdieTemperatur:

T = E ¯ kin

3R = 2 · 10 ⁻ ¹⁷ K

DaswürdebedeutensehrnaheamabsolutenNullpunkt.Dies erscheintvon

demStandpunktaussinnvoll,dasdasbeobachteneinzelnerAtomesehrschwie-

rigim allgemeinen ist und minimale Impulsänderungen somit so gut wie un-

sichtbarsein müssenund somitauch sind, wenn man die BrownscheMolekul-

arbewegungbetrachtet,diesieüberlagert,kannmansienichtmehrerkennen.

Für die Comptonstreuung mit einem Photonan einem Elektron und die

1. Ionisation von Neon folgt, wobei das Photon

E photon = 13.8 keV

^besitzen

soll,dassdas NeonsogutwiekeinenImpulsübertragerhält, da dieserimGe-

gensatzzum restlichen betrachtenSystemverschwindendgering ist. Dieswird

dadurch bewirkt, dassman die BindungsenergiedesElektrons vernachlässigen

kann, wenn ein Photon mit einer um ca. 3Ordnung höheren Energie auf das

Elektronstöÿt.Es bleibt jedoch zu überlegen, obdasPhotonnichtauch meh-

rereElektronenstoÿenkönnteoderevtl.sogarden Kerndirekttrit, wasevtl.

andereEektehervorrufenkönnte.

n N n n m N = e N N = e ) ( ) ( − − nm nm n nm mn mn nm mn m u ( ν ,T ) B N = R = R =( A + u ( ν ,T ) B ) N mn mn B A mn A nm mn n<m B B nm mn R = R c 3 N ( ν )=8 Vdν πν 2 n/m n/m N mn mn nm mn m R =( A + u ( ν ,T ) B ) N nm nm nm n R = u ( ν ,T ) B N e −

u (ν, T ) dν = 8πhν 3 c 3

1 e ( kT hν ) − 1 dν

R nm = u (ν nm , T ) B nm N n

R mn = (A mn + u (ν nm , T ) B mn ) N m

N n/m

n/m

N (ν ) = 8πν 2 c 3 V dν

R nm = R mn

n < m

B nm

B mn

A mn

B mn

A mn

u (ν nm , T ) B nm N n = R nm = R mn = (A mn + u (ν nm , T ) B mn ) N m

N m = e ( − Em−En kT ) N n = e ( − νmn kT ) N n

N n

u (ν nm , T ) B nm = (A mn + u (ν nm , T ) B mn ) e ( − νmn kT )

u (ν nm , T )

B nm − B mn e ( − νmn kT )

= A mn

u (ν nm , T ) = 8πhν 3 c 3

1

e ( kT hν ) − 1 = A mn

B nm − B mn e ( − νmn kT )

B nm = B mn

e ( kT hν ) − 1 e ( kT hν ) − 1

C mn = A mn

B mn = 8πhν 3 c 3

C mn

n ¯

ν

n ¯

T ≈ 10 2 K

ν ≈ 10 12 s − 1

n ¯ ≈ 1

C mn = 618.1 · 10 26 m kg · s

ν ≈ 10 15

T ≈ 10 5 K

n ¯ ≈ 1

C mn

C mn = 618.1 · 10 35 m kg

· s

ν ≈ 10 8

T ≈ 1 K

n ¯ ≈ 10 2

C mn = 618.1 · 10 14 m kg · s

E 2 = p 2 c 2 +(mc) 2

0

E = pc ⇒ hν = pc = h λ c

n

E = n hc λ

λ = 32 · 10 − 9 m

E pulse = 10 · 10 − 6 J

t pulse = 40 · 10 − 15 s

n pulse = 50

n photoninpulse = λ

hc E = 1.61 · 10 12

n pulse = 50

n photonins = 8.05 · 10 13

n photoninpulse = 1.61 · 10 12

t pulse = 40 · 10 − 15 s

40 · 10 1 s − 15 s = 2.5 · 10 13

n strahlins = 4.03 · 10 25

σ P

d = 20 · 10 − 4 cm

σ P = P A = 4P

πd 2

P = W t = E t pulse

pulse = 2.5 · 10 8 W

σ P = 7.96 · 10 13 W cm 2

P ¯ = P · n pulse = 1.25 · 10 10 W

λ = 800 · 10 − 9 m

E pulse = 2.5 · 10 − 3 J

t pulse = 100 · 10 − 15 s

n pulse = 30

σ P,max = 5.2 · 10 15 cm W 2

n photoninpulse = 10 16

n F EL

u (ν, T ) dν = 8πhν ³ c ³

1 e ( kT ^hν ) − 1 dν

N (ν ) = 8πν ² c ³ V dν

N m = e ( − ^Em−En kT ) N n = e ( − ^νmn kT ) N n

u (ν nm , T ) B nm = (A mn + u (ν nm , T ) B mn ) e ( − ^νmn kT )

B nm − B mn e ( − ^νmn _kT )

u (ν nm , T ) = 8πhν ³ c ³

e ( kT ^hν ) − 1 = A mn

B nm − B mn e ( − ^νmn kT )

e ( kT ^hν ) ₋ 1 e ( kT ^hν ) ₋ 1

B mn = 8πhν ³ c ³

T ≈ 10 ² K

ν ≈ 10 ¹² s ⁻ ¹

C mn = 618.1 · 10 ²⁶ _m ^kg _· _s

ν ≈ 10 ¹⁵

T ≈ 10 ⁵ K

C mn = 618.1 · 10 ³⁵ _m ^kg

ν ≈ 10 ⁸

n ¯ ≈ 10 ²

C mn = 618.1 · 10 ¹⁴ _m ^kg _· _s

E ² = p ² c ² +(mc) ²

E = pc ⇒ hν = pc = ^h _λ c

E = n ^hc _λ

λ = 32 · 10 ⁻ ⁹ m

E pulse = 10 · 10 ⁻ ⁶ J

t pulse = 40 · 10 ⁻ ¹⁵ s

hc E = 1.61 · 10 ¹²

n photonins = 8.05 · 10 ¹³

n photoninpulse = 1.61 · 10 ¹²

t pulse = 40 · 10 ⁻ ¹⁵ s

40 · 10 ¹ ^s − 15 s = 2.5 · 10 ¹³

n strahlins = 4.03 · 10 ²⁵

d = 20 · 10 ⁻ ⁴ cm

πd ²

P = ^W _t = ^E _t ^pulse

pulse = 2.5 · 10 ⁸ W

σ P = 7.96 · 10 ¹³ W cm ²

P ¯ = P · n pulse = 1.25 · 10 ¹⁰ W

λ = 800 · 10 ⁻ ⁹ m

E pulse = 2.5 · 10 ⁻ ³ J

t pulse = 100 · 10 ⁻ ¹⁵ s

σ P,max = 5.2 · 10 ¹⁵ _cm ^W ²

n photoninpulse = 10 ¹⁶

n konventionell = 1.61 · 10 ⁻ ⁴

U ≈ 10 ⁻ ⁴ A ≈ 10 mA

ν = _λ ^c

h = 6.626 · 10 ⁻ ³⁴ J · s

E photon = E io + E elektron + E photon ⁰

~ p = ~ p elektron + ~ p neon + ~ p ⁰

E photon ⁰ = E photon − 35.2 eV

~ p ⁰ = ~ p − 4.81 · 10 ⁻ ²¹ ^kg _s ^· ^m −

p ~ elektron = 2 · 10 ⁻ ²⁴ ^kg _s ^· ^m

~ p neon = 4.81 · 10 ⁻ ²¹ ^kg _s ^· ^m

m neon = 3.34 · 10 ⁻ ²⁶ kg

E ¯ kin = 10 ³ eV

3R = 2 · 10 ⁻ ¹⁷ K