Physikalisches Institut Ubungsblatt 2¨
Universit¨at Bonn 17. April 2018
Theoretische Physik SS 18
Ubungen zur Theoretischen Physik III ¨
Prof. Dr. Hartmut Monien, Iris Golla, Christoph Liyanage, Rams´es Sanch´ez Abgabe der Hausaufgaben am 24.04.2018
Besprechung der Anwesenheitsaufgaben am 20.04.2018 Besprechung der Hausaufgaben am 27.04.2018
http://www.th.physik.uni-bonn.de/people/liyanage/Theoretische_Physik_III_SS18/
- ANWESENHEITSAUFGABEN -
A 2.0 Kurze Wissensfragen
1. Wie lautet das Noether-Theorem?
2. Was ist die Hamilton-Jacobi-Theorie?
3. Wie lautet die Hamilton-Jacobi-Gleichung?
4. Wie lautet die Schr¨odingergleichung f¨ur ein freies Teilchen?
5. Was ist ein linearer Operator?
6. Wie berechnet man den Eigenwert eines Operators?
7. Was ist das Superpositionsprinzip?
A 2.1 Die Kontinuit¨ atsgleichung
F¨ur eine ebene Welle
ψ(~r, t) =Cei(~k~r−2m~~k2t) (1) gilt
∇ψ(~~ r, t) =i~kψ(~r, t), ∇~2ψ(~r, t) = ∆ψ(~r, t) =−~k2ψ(~r, t). (2) Wir sehen also, dass wir den Impuls mit dem Nabla-Operator identifizieren k¨onnen, wie auch schon aus der klassischen Mechanik bekannt. Wir betrachten jetzt den Hamilton-Operator f¨ur ein Teilchen in einem Potential
Hˆ = 1
2m~pˆ2+V(~r, t), (3)
f¨ur das die Schr¨odingergleichung
Hψˆ =i~∂tψ (4)
gilt. Wir untersuchen wie in der Vorlesung die zeitliche ¨Anderung Aufenthaltswahrscheinlichkeit in einem Volumen
d dt
Z
V
d3r|ψ|2 = d dt
Z
V
d3r(ψ∗ψ). (5)
a) F¨uhren Sie die Ableitung aus und vereinfachen Sie mit Hilfe der Schr¨odingergleichung. Nutzen Sie außerdem die Beziehung des Impulses zum Nabla-Operator. Weshalb f¨allt das Potential V dabei weg?
b) Nutzen Sie die Identit¨at aus der Vorlesung ψ∆ψ∗−ψ∗∆ψ=∇ ·~
ψ ~∇ψ∗−ψ∗∇ψ~
(Green’sche Formel), (6) um den Ausdruck aus a) so umzuformen, dass im Integral eine totale r¨aumliche Ableitung steht.
c) Identifizieren Sie nun die Aufenthaltswahrscheinlichkeit |ψ|2 mit einer Wahrscheinlichkeits- dichteρ
ρ=|ψ|2= (ψ∗ψ). (7)
Was ist eine geeignete Gr¨oße, um sie mit der Stromdichte~j zu identifizieren?
Formulieren Sie mit den gefunden Relationen die Kontinuit¨atsgleichung, indem Sie sie in b) einsetzen.
Zu der Wahrscheinlichkeitsdichteρ geh¨ort also eine Wahrscheinlichkeitsstromdichte j. Obwohl man eine Kontinuit¨atsgleichung wie in der Elektrodynamik aufstellen kann, muss man allerdings beachten, dass die Dichteρ keine Dichte im Sinne der Ladungsdichte ist. Das Elektron besitzt eine ”verschmierte” Ladung −eρel, in der Quantenmechanik wird das Elektron an sich jedoch als ganzes Teilchen nachgewiesen (und nicht verschmiert).
A 2.2 Die Delta-Distribution
Distributionen sind lineare Funktionale auf Funktionen, eine Distrution G ist also eine Abbil- dung
f →G[f]∈C, (8)
die linear ist
G[αf1+βf2] =αG[f1] +βG[f2]. (9) Die δ-Distribution ist eine f¨ur die Physik besonders n¨utzliche Distribution, die Sie bereits im letzten Semester kennengelernt haben. Sie ist definiert durch
δx0[f]≡ Z ∞
−∞
dx δ(x−x0)f(x) :=f(x0). (10) Wir wollen jetzt die Eigenschaften dieser Distribution genauer untersuchen.
a) Eine Distribution sei mit der Stufenfunktionθ(x−a) gegeben durch Ga[φ] =
Z ∞
−∞
dx θ(x−a)φ(x). (11)
Berechnen Sie die Ableitung von Ga und zeigen Sie, dass G0a derδ-Distribution δa entspricht.
Die Stufenfunktionθ(x−a) ist dabei definiert als θ(x) =
(1, x >0
0, x <0. (12)
b) Zeigen Sie unter der Annahme, dass f(x) differenzierbar ist, Z
f(x)δ0(x−a)dx=− Z
f0(a)δ(x−a)dx. (13)
c) Beweisen Sie die Identit¨at
δ[f(x)] =X
i
1
|f0(xi)|δ(x−xi), (14) wobei ¨uber die Nullstellen xi von f(x) summiert wird, dabei setzen wir voraus, dass es nur einfache Nullstellen gibt.
Die dreidimensionale Delta-Distribution wird definiert als δ(3)(~r) =δ(x)δ(y)δ(z),
Z
d3r δ(3)(~r−r~0)f(~r) :=f(r~0) (15) d) Folgern Sie f¨ur die Ladungsdichteρ(~r) =Qδ(3)(~r−r~0) und dem Potential φ(~r) = 4πQ
0
1 r aus der Poissongleichung eine Differentialgleichung f¨urδ(3)(~r).
- HAUSAUFGABEN -
H 2.1 Poisson-Klammern und der Kommutator
(10 Punkte)Eine differenzierbare Funktion f(qi, pi, t) heißt Observable. Poisson-Klammern werden in der klassischen Mechanik f¨ur zwei Observablenf(qi, pi, t) undg(qi, pi, t) definiert als
{f, g}:=
n
X
i=1
∂f
∂qi
∂g
∂pi
− ∂f
∂pi
∂g
∂qi
. (16)
a) Zeigen Sie, dass f¨ur die totale zeitliche Ableitung von f gilt df
dt ={f, H}+∂f
∂t, (17)
wobeiH die Hamiltonfunktion ist. (2 Punkte)
Die zeitliche Entwicklung der Observablen ist also abh¨angig von der Hamiltonfunktion. Das macht es m¨oglich, Erhaltungss¨atze mit Hilfe der Poisson-Klammern auszudr¨ucken:
b) Welche Bedingung muss f¨ur eine nicht explizit zeitabh¨angige Observablef gelten, damit sie erhalten ist? (1 Punkt)
c) Dr¨ucken Sie die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen mit Hilfe der Poisson-Klammern aus.
(2 Punkte)
d) Berechnen Sie nun die Poisson-Klammern{pi, pj},{qi, qj} und {qi, pj}. (2 Punkte) Dies sind diefundamentalen Poisson-Klammern.
Wir sehen also, dass die Poisson-Klammern ein n¨utzliches Werkzeug in der klassischen Mechanik sind. Ihre volle Bedeutung entfaltet sich jedoch erst in der Quantenmechanik: Dort werden Ob- servable durch Operatoren ersetzt und die Poisson-Klammern durch sogenannteKommutatoren.
F¨ur zwei Operatoren ˆA:L2→ L2 und ˆB :L2 → L2 ist derKommutator durch
[ ˆA,B] = ˆˆ ABˆ−BˆAˆ=−[ ˆB,A]ˆ (18) definiert. Folglich gilt [ ˆA,B] :ˆ L2→ L2.
Oben haben wir gelernt, dass der Impulsoperator mit dem Nabla-Operator identifiziert wer- den kann. Wir schreiben, wie Sie in der Vorlesung sehen werden,
ˆ pi= ~
i
∂
∂xi
. (19)
e) Berechnen Sie mit der Definition (19) die Kommutatoren [ˆxi,xˆj], [ˆpi,pˆj] und [ˆxi,pˆj].
(2 Punkte)
(Hinweis: Um die Abbildung [ ˆA,Bˆ] zu bestimmen wird [ ˆA,Bˆ] auf eine Wellenfunktion ψ(~x, t) angewendet.)
Die erhaltenen Kommutatoren heißen fundamentale Vertauschungsrelationen.
f) Zeigen Sie zuletzt die Produktregel des Kommutators (1 Punkt)
[ ˆAB,ˆ C] = ˆˆ A[ ˆB,C] + [ ˆˆ A,C] ˆˆ B. (20) Wir werden sp¨ater noch sehen, dass sich auch Gleichung (17) (und die Eigenschaft in b)) f¨ur Operatoren in der Quantenmechanik wiederfindet.
H 2.2 Fourier-Transformation und Fourier-Reihen
(10 Punkte)Glatte Funktionen φ(x), die selbst wie auch alle ihre Ableitungen im Limes|x| → ∞ schneller als jedes Polynom verschwinden, d.h. lim|x|→∞xαφ(i)(x) = 0 f¨ur alleα, i∈N, heißen Schwartz- funktionen. Die Fouriertransformation einer Schwartzfunktionφ(x) ist durch
F[φ](k)≡ F[φ(·)](k) :=
Z
R
dx e−ikxφ(x)
definiert. In der Physik wird die fouriertransformierte Funktion F[φ](k) als Spektralfunktion φ(k) =e F[φ](k) bezeichnet.
a) Zeigen Sie, dass f¨urψ(x) =φ(x+a) undχ(x) =φ(λx) gilt: (2 Punkte) F[ψ](k) =eikaF[φ](k), F[χ](k) = 1
|λ|F[φ](k/λ).
b) Berechnen Sie die AbleitungF[φ]0 und die Fouriertransformierte der Ableitungφ0. Beweisen Sie: (2 Punkte)
F[φ]0(k0)≡ ∂
∂kF[φ](k) k=k0
=−iF[·φ(·)](k0), F[φ0](k)≡ F[∂
∂·φ(·)](k) =ikF[φ](k).
c) ¨Uberzeugen Sie sich, dass die Gauß’sche Glockenkurve g(x) = e−12x2 eine Schwartzfunktion ist, und zeigen Sie, dass sie bis auf einen Faktor invariant unter Fouriertransformation ist.
(2 Punkte)
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Spektralfunktion eg(x) = F[g](x) und die Glockenkurve g(x) der Differentialgleichung g0(x) =−xg(x) gen¨ugen.
d) Zeigen Sie, dass die Fouriertransformierte der Funktion g(x) = e−122x2 im Limes → 0 derδ-Distribution entspricht. (2 Punkte)
→0limF[g] = 2πδ0 = 2πδ(y)
Kommen wir nun zu Fourier-Reihen. Sei f :R→Ceine periodische, ¨uber dem Intervall [0,2π]
integrierbare Funktion. Dann lautet die Fourier-Reihe vonf F(f) = a0
2 +
∞
X
k=1
(akcos(kx) +bksin(kx)), (21) mit den Koeffizienten
ak= 1 2π
Z 2π
0
f(x) cos(kx)dx, bk= 1 2π
Z 2π
0
f(x) sin(kx)dx. (22) e) Berechnen Sie die Fourier-Reihe der Funktion f : [0,2π]→R,f(x) =x. (2 Punkte)
Wir werden sp¨ater noch sehen, dass Fourier-Reihen auch in der Quantenmechanik eine Rolle spielen - insbesondere wenn wir einen geeigneten Vektorraum einf¨uhren wollen.
