PeterBecker(H-BRS)Einf¨uhrungindieAnalysisSommersemester2020164/584 Kapitel3Reihen,PotenzreihenundelementareFunktionen Reihen

Kapitel 3

Reihen, Potenzreihen und

elementare Funktionen

Inhalt

3

Reihen Definition

Absolute Konvergenz Potenzreihen

Elementare Funktionen

Anwendung: Herleitung expliziter Folgen

Reihe als Folge der Partialsummen

Definition 3.1

Es sei (a

) eine Folge in K und f¨ ur n ∈ N sei S

:=

n

X

k=1

a

.

Die Folge (S

)

heißt Reihe und S

ist die n-te Partialsumme der Reihe. Wir schreiben

∞

X

n=1

a

f¨ ur die Folge (S

)

, unabh¨ angig davon, ob die Folge konvergiert oder nicht.

Konvergenz von Reihen

Definition 3.2 Eine Reihe

∞

X

n=1

a

heißt konvergent, wenn die Folge (S

)

der Partialsummen konvergiert. Andernfalls heißt die Reihe divergent.

Wenn die Reihe konvergent ist, dann wird auch der Grenzwert der Reihe mit P

a

bezeichnet. Ist die Reihe divergent, wird dem Symbol P

n=1

a

keine Zahl zugeordnet.

Das Symbol P

n=1

a

kann also eine Doppelbedeutung haben.

Es bezeichnet immer die Folge der Partialsummen, im Konvergenzfall zus¨ atzlich auch den

Grenzwert der Folge der Partialsummen.

Nullfolge ist notwendig f¨ ur Konvergenz einer Reihe

Lemma 3.3

Wenn die Reihe P

n=1

a

konvergent ist, dann ist die Folge (a

) eine Nullfolge.

Beweis.

∞

X

n=1

a

ist konvergent ⇒ (S

) ist konvergent

⇒ (S

) ist Cauchy-Folge

⇒ ∀ > 0∃n

∈ N ∀n, m ≥ n

: |S

− S

| < . Sei > 0 beliebig.

|a

| = |S

− S

| < f¨ ur alle n ≥ n

+ 1.

Geometrische Reihe

Es sei q ∈ C . Die Reihe

∞

X

n=0

q

= 1 + q + q

+ q

+ · · ·

heißt geometrische Reihe. F¨ ur |q| ≥ 1 ist (q

)

keine Nullfolge, die geometrische Reihe also divergent. F¨ ur |q| < 1 gilt jedoch

S

=

n

X

k=0

q

= 1 − q

1 − q . Daraus folgt f¨ ur |q| < 1

∞

X

k=0

q

= lim

n→∞

S

= 1

1 − q .

Harmonische Reihe

Die Reihe

X

n=1

1 n

heißt harmonische Reihe. Diese Reihe ist divergent, obwohl (

) eine Nullfolge ist.

F¨ ur den Beweis der Divergenz zeigen wir, dass (S

) keine Cauchy-Folge ist. F¨ ur alle n ∈ N gilt

|S

− S

| =

2n

X

k=n+1

1

k ≥ n · 1 2n = 1

2 .

Und noch ein Beispiel

Wir untersuchen die Reihe

∞

X

n=1

1 n

.

Wegen

> 0 f¨ ur alle n ∈ N ist die Folge (S

) monoton wachsend. Die Folge (S

) ist aber auch beschr¨ ankt, denn

0 ≤

n

X

k=1

1

k

= 1 +

n

X

k=2

1

k

< 1 +

n

X

k=2

1 k(k − 1)

= 1 +

n

X

k=2

1 k − 1 − 1

k

= 1 + 1 − 1 n < 2.

Also ist (S

) monoton wachsend und beschr¨ ankt und damit konvergent.

Teleskopsumme und -reihe

F¨ ur eine Folge (a

) ist

n

X

k=1

(a

− a

)

eine Teleskopsumme. Solche Summen lassen sich leicht auswerten:

n

X

k=1

(a

− a

) = (a

− a

) + (a

− a

) + · · · + (a

− a

) = a

− a

. Eine Reihe, deren Partialsummen Teleskopsummen sind, heißt Teleskopreihe. Eine Teleskopreihe

∞

X

n=1

(a

− a

)

ist genau dann konvergent, wenn (a

) konvergent ist (mit Grenzwert a). Der Grenzwert der

Linearkombination konvergenter Reihen

Lemma 3.4

Wenn

X

n=1

a

und

∞

X

n=1

b

konvergente Reihen in K sind und λ, µ ∈ K ist, dann ist auch die Reihe

∞

X

n=1

(λa

+ µb

) konvergent und es gilt

∞

X

n=1

(λa

+ µb

) = λ

∞

X

n=1

a

+ µ

∞

X

n=1

b

.

Beweis.

Folgt durch Anwendung der Grenzwertregeln f¨ ur Folgen auf die Folgen der Partialsummen.

S

:=

n

X

k=1

(λa

+ µb

), T

:=

n

X

k=1

a

, U

:=

n

X

k=1

b

. Damit folgt

∞

X

n=1

(λa

+ µb

) = lim

n→∞

S

= lim

n→∞

(λT

+ µU

)

= λ lim

n→∞

T

+ µ lim

n→∞

U

= λ

∞

X

n=1

a

+ µ

∞

X

n=1

b

.

Beispiel 3.5

Die Reihe

∞

X

n=0

3 1

4

+ 2 1

3

ist konvergent, denn f¨ ur die Partialsummen gilt

S

:=

n

X

k=0

3 1

4

+ 2 1

3

= 3

n

X

k=0

1 4

| {z }

→ ¹

1−1 4

+ 2

n

X

k=0

1 3

| {z }

→ ¹

1−1 3

Also

X

n=0

3 1

4

+ 2 1

3

= 3 · 4 3 + 2 · 3

2 = 7.

Leibniz-Kriterium

Satz 3.6

Wenn (a

) eine monotone Nullfolge in R ist, dann konvergiert die Reihe

∞

X

n=1

(−1)

a

.

Beispiel 3.7

Die alternierende harmonische Reihe

∞

X

n=1

(−1)

1 n ist nach dem Leibniz-Kriterium konvergent, denn

ist eine monoton fallende Nullfolge.

Beweis des Leibnizkriteriums.

O.B.d.A. sei (a

) monoton fallend. Da (a

) außerdem eine Nullfolge ist, folgt a

≥ 0 f¨ ur alle n ∈ N . Wie ¨ ublich sei

S

:=

n

X

k=1

(−1)

a

.

Wir werden zeigen, dass die Teilfolgen (S

) und (S

) konvergent sind und gegen den gleichen Grenzwert konvergieren.

Weil (a

) monoton fallend ist, folgt

S

− S

= a

− a

≤ 0 und S

− S

= −a

+ a

≥ 0

Damit ist die Teilfolge (S

) monoton fallend und (S

) monoton steigend. Weiterhin gilt

S

− S

= −a

≤ 0.

Fortsetzung Beweis.

Damit folgt

S

≥ S

≥ S

≥ S

.

Somit sind beide Folgen auch beschr¨ ankt und damit konvergent. Es sei s := lim

n→∞

S

und s

:= lim

n→∞

S

. Damit folgt

s − s

= lim

n→∞

S

− lim

n→∞

S

= lim

n→∞

(S

− S

)

= lim

n→∞

a

= 0.

Also gilt s = s

.

Fortsetzung Beweis.

Wir m¨ ussen jetzt noch zeigen, dass aus der Konvergenz von (S

) und (S

) gegen den gleichen Grenzwert auch die Konvergenz von (S

) folgt.

Es sei > 0 beliebig. Aus der Konvergenz von (S

) und (S

) gegen s folgt die Existenz von n

, n

∈ N mit

∀n ≥ n

: |S

− s| <

∀n ≥ n

: |S

− s| < .

Da jedes n ∈ N entweder in der Folge (2n) oder in der Folge (2n + 1) enthalten ist, folgt f¨ ur

alle n ≥ n

:= max{2n

, 2n

+ 1}, dass |S

− s | < gilt.

Absolute Konvergenz

Definition 3.8 Eine Reihe P

n=1

a

heißt absolut konvergent, wenn die Reihe

∞

X

n=1

|a

|

konvergent ist.

Beispiel 3.9

Die alternierende harmonische Reihe P

n=1

(−1)

ist zwar konvergent, aber nicht absolut

konvergent.

Dreiecksungleichung f¨ ur absolut konvergente Reihen

Satz 3.10

Eine absolut konvergente Reihe P

n=1

a

ist auch konvergent und f¨ ur die Grenzwerte gilt die Dreiecksungleichung

∞

X

n=1

a

≤

∞

X

n=1

|a

|.

Beweis.

∞

X

n=1

|a

| ist konvergent

⇒ S

:=

n

X

k=1

|a

| ist eine Cauchy-Folge

⇒ ∀ > 0∃n

∈ N ∀m ≥ n ≥ n

: |S

− S

| <

⇒ ∀ > 0∃n

∈ N ∀m ≥ n ≥ n

:

m

X

k=n+1

a

≤

m

X

k=n+1

|a

| < .

Also ist auch T

:= P

k=1

a

eine Cauchy-Folge und damit konvergent. Aus der Dreiecksungleichung folgt auch |T

| ≤ S

f¨ ur alle n ∈ N und mit Satz 2.15 (v) und Satz 2.22

∞

X

n=1

a

= lim

n→∞

|T

| ≤ lim

n→∞

S

=

∞

X

n=1

|a

|.

Beispiel 3.11

Wir betrachten die Reihe

∞

X

n=0

v

1 2

. mit

v

=

1 wenn n keine Primzahl ist,

−1 sonst.

Da diese Reihe absolut konvergent ist, ist sie auch konvergent.

Den zugeh¨ origen Grenzwert kennen wir f¨ ur diese Reihe aber nicht.

Majoranten- und Minorantenkriterium

Satz 3.12

Es seien (a

) und (b

) zwei Folgen mit |a

| ≤ |b

| f¨ ur alle n ∈ N . (i) Wenn P

n=1

b

absolut konvergent ist, dann ist auch die Reihe P

n=1

a

absolut konvergent.

(ii) Wenn die Reihe P

n=1

|a

| divergent ist, dann ist auch die Reihe P

n=1

|b

| divergent.

Aussage (i) ist das sogenannte Majorantenkriterium und Aussage (ii) das Minorantenkriterium.

Die beiden Aussagen sind semantisch ¨ aquivalent.

Beweis.

Es seien

S

:=

n

X

k=1

|a

| und T

:=

n

X

k=1

|b

|.

und > 0 beliebig. N.V. ist die Reihe P

n=1

b

absolut konvergent. Damit ist (T

) ist eine Cauchy-Folge und es existiert ein n

∈ N , so dass f¨ ur alle m ≥ n ≥ n

|T

− T

| =

m

X

k=n+1

|b

| <

gilt. Wegen |a

| ≤ |b

| folgt

|S

− S

| =

m

X

k=n+1

|a

| ≤

m

X

k=n+1

|b

| < .

Beispiel 3.13 Die Reihe

∞

X

n=0

3

+ (−2)

4

ist absolut konvergent.

Begr¨ undung:

3

+ (−2)

4

≤ 3

+ 2

4

≤ 3

+ 3

4

= 2

3 4

und

X

n=0

2 3

4

= 2

∞

X

n=0

3 4

| {z }

=4

= 8

ist absolut konvergent (geometrische Reihe).

Beispiel 3.14 Die Reihen

∞

X

n=1

1 n

sind f¨ ur k ≥ 2 absolut konvergent.

Begr¨ undung:

F¨ ur k ≥ 2 und n ≥ 1 gilt

≤

. Die Reihe P

n=1 1

n²

ist konvergent (siehe Folie 171) und wegen

> 0 auch absolut konvergent.

Also k¨ onnen wir P

n²

als Majorante nutzen und mit dem Majorantenkriterium folgt, dass P

n=1 1

n^k

absolut konvergent ist.

Quotientenkriterium

Satz 3.15

Es sei (a

) eine Folge in K mit a

6= 0 f¨ ur alle n ≥ n

. Weiterhin gebe es eine Zahl θ ∈ R mit 0 < θ < 1, so dass f¨ ur alle n ≥ n

die Ungleichung

a

a

≤ θ

erf¨ ullt ist.

Dann konvergiert die Reihe P

n=1

a

absolut.

Beweis.

Beweisidee: Wir nutzen die geometrische Reihe als Majorante.

N.V. existiert ein n

∈ N , so dass |a

| ≤ θ|a

| f¨ ur alle n ≥ n

gilt. Damit folgt f¨ ur alle n ≥ n

|a

| ≤ θ|a

| ≤ θ

|a

| ≤ · · · ≤ θ

|a

|.

Es folgt f¨ ur n ≥ n

:

S

:=

n

X

k=1

|a

| = |a

| + · · · + |a

| +

n

X

k=n0

|a

|

≤ |a

| + · · · + |a

| + |a

|

n

X

k=n0

θ

Fortsetzung Beweis.

= |a

| + · · · + |a

| + |a

|

n−n₀

X

k=0

θ

| {z }

absolut konvergent

Es sei

b

:=

|a

| f¨ ur k < n

|a

|θ

f¨ ur k ≥ n

Dann ist P

n=1

b

absolut konvergent und eine Majorante von P

n=1

a

(|a

| ≤ |b

| f¨ ur alle n ∈ N ).

Also konvergiert P

n=1

a

nach dem Majorantenkriterium absolut.

Beispiel 3.16

Wir untersuchen die Reihe

X

n=1

n

2

mit dem Quotientenkriterium auf (absolute) Konvergenz. Es ist

a

a

=

(n+1)² 2ⁿ⁺¹

n² 2ⁿ

= (n + 1)

2

· 2

n

= 1 2 ·

n + 1 n

= 1 2

1 + 1

n

.

F¨ ur n ≥ 3 gilt dann

a

a

≤ 1 2

4 3

= 8 9 < 1.

Mit θ =

ist das Quotientenkriterium erf¨ ullt. Also ist die Reihe absolut konvergent.

Beispiel 3.17

Wir betrachten wieder die harmonische Reihe P

1 n

. Wir wissen, dass die Reihe divergiert. F¨ ur den Quotienten gilt

a

a

= n

n + 1 < 1.

Wegen

n→∞

lim n n + 1 = 1 gibt es aber kein θ und kein n

, so dass

an+1

an

≤ θ < 1 f¨ ur alle n ≥ n

gilt.

Wir sehen daran, dass die Bedingung

an+1

an

≤ θ < 1 wesentlich ist. Nur

an+1

an

< 1 reicht nicht

aus.

Beispiel 3.18

Wie wir von Folie 171 wissen, konvergiert die Reihe P

n²

(absolut). Aber auch f¨ ur diese Reihe gilt

n→∞

lim

a

a

= 1.

Damit existiert auch hier kein θ wie im Quotientenkriterium gefordert.

Dies zeigt, dass das Quotientenkriterium nur hinreichend aber nicht notwendig f¨ ur absolute

Konvergenz ist.

Folgerung 3.19 Existiert der Grenzwert

θ := lim

n→∞

a

a

, dann gilt:

(i) F¨ ur θ < 1 ist die Reihe P

n=1

a

absolut konvergent.

(ii) F¨ ur θ > 1 ist die Reihe P

n=1

a

divergent.

(iii) F¨ ur θ = 1 ist keine Aussage ¨ uber Konvergenz m¨ oglich.

Wurzelkriterium

Satz 3.20

Es sei (a

) eine Folge in K . Weiterhin gebe es eine Zahl θ ∈ R mit 0 < θ < 1, so dass f¨ ur alle n ≥ n

die Ungleichung

p

|a

| ≤ θ erf¨ ullt ist.

Dann konvergiert die Reihe P

n=1

a

absolut.

Beweis.

Die Bedingung p

|a

| ≤ θ ist ¨ aquivalent zu |a

| ≤ θ

. Damit k¨ onnen wir ab n

die

geometrische Reihe als Majorante nutzen.

Lemma 3.21 Es gilt

n→∞

lim

√

n = 1.

Beweis.

Setze b

:= √

n − 1. Wir zeigen, dass (b

) eine Nullfolge ist.

n = √

n

= (1 + b

)

≥ 1 + n

2

b

“≥” ergibt sich durch die binomische Formel und weglassen der Summanden, ausgenommen f¨ ur k = 0 und k = 2. Es folgt

b

≤ n − 1

n 2

= n − 1

n(n−1) 2

= 2

n −→ 0.

Beispiel 3.22

Wir untersuchen die absolut konvergente Reihe P

n^k

. Es gilt

n

r 1 n = 1

√

n −→ 1.

F¨ ur festes k ≥ 2 folgt damit

n

r 1 n

=

1

√

n

−→ 1.

Wir sehen, dass auch das Wurzelkriterium nur ein hinreichendes, aber kein notwendiges

Kriterium f¨ ur absolute Konvergenz ist.

Folgerung 3.23 Existiert der Grenzwert

θ = lim

n→∞

p

|a

| dann gilt:

(i) F¨ ur θ < 1 ist die Reihe P

n=1

a

absolut konvergent.

(ii) F¨ ur θ > 1 ist die Reihe P

n=1

a

divergent.

(iii) F¨ ur θ = 1 ist keine Aussage ¨ uber Konvergenz m¨ oglich.

Cauchy-Produkt

Definition 3.24

Es seien (a

) und (b

) Folgen in K . Dann heißt die Reihe

∞

X

k=1





k

X

j=1

a

b





das Cauchy-Produkt der Reihen P

n=1

a

und P

b

.

Bemerkung: Wenn die Reihen mit n = 0 beginnen, dann lautet das Cauchy-Produkt der Reihen P

n=0

a

und P

b

∞

X

k=0





k

X

j=0

a

b



 .

Cauchy-Produkt und das Produkt von Reihen

Satz 3.25

Wenn die Reihen P

n=0

a

und P

n=0

b

absolut konvergent sind, dann ist auch deren Cauchy-Produkt absolut konvergent und es gilt

∞

X

n=1

a

·

∞

X

m=1

b

=

∞

X

n=1

∞

X

m=1

a

b

!

=

∞

X

m=1

∞

X

n=1

a

b

!

=

∞

X

k=1





k

X

j=1

a

b





Potenzreihe

Definition 3.26

Es sei (a

)

eine Folge in K und x

∈ K . Dann heißt die Reihe

∞

X

n=0

a

(x − x

)

= a

+ a

(x − x

) + a

(x − x

)

+ a

(x − x

)

+ · · · Potenzreihe in der Variablen x mit Entwicklungspunkt x

und Koeffizientenfolge (a

).

F¨ ur x = x

und n = 0 erhalten wir 0

.

Es gilt 0

= 1. Also ist (x − x

)

bei Potenzreihen immer 1.

Potenzreihen als Funktion

Wir interessieren uns zun¨ achst f¨ ur die Werte x ∈ K , f¨ ur welche die Potenzreihe P (x) :=

∞

X

n=0

a

(x − x

)

konvergiert. Es sei

D := {x ∈ K |P(x)ist konvergent}

die Menge dieser Werte. Dann k¨ onnen wir eine Potenzreihe als Funktion P : D → K

x 7→ P (x)

auffassen. Wir werden sehen, dass wir viele wichtige Funktionen durch Potenzreihen

ausdr¨ ucken k¨ onnen.

Beispiel 3.27

Wir betrachten die Potenzreihe

P (z) =

∞

X

n=0

z

in C mit Entwicklungspunkt z

= 0 (geometrische Reihe).

Wir wissen, dass die Reihe f¨ ur |z| < 1 konvergiert und f¨ ur |z| > 1 divergiert, also D = {z ∈ C | |z | < 1}.

Wir kennen sogar die Funktion, die von dieser Potenzreihe dargestellt wird. Es gilt n¨ amlich P (z ) = 1

1 − z .

Beispiel 3.28

Wir betrachten nun die Reihe

∞

X

n=0

(n + 1)z

. Mit dem Quotientenkriterium erhalten wir

(n + 2)z

(n + 1)z

= n + 2 n + 1

| {z }

→1

|z| −→ |z|.

Hieraus folgt, dass auch diese Potenzreihe f¨ ur |z | < 1 konvergiert und f¨ ur |z| > 1 divergiert.

Beispiel 3.29 Die Potenzreihen

∞

X

n=0

(z − 1)

und

∞

X

n=0

(n + 1)(z − 1)

konvergieren ensprechend der beiden vorangegangenen Beispielen f¨ ur |z − 1| < 1 und sind divergent f¨ ur |z − 1| > 1.

Beispiel 3.30 Es gilt

∞

X

n=0

(n + 1)z

= 1

(1 − z)

.

F¨ ur den Beweis nutzen wir das Cauchy-Produkt.

Beweis f¨ ur die Formel.

1

(1 − z )

= 1

1 − z · 1 1 − z =

∞

X

n=0

z

!

·

∞

X

m=0

z

!

=

∞

X

k=0





k

X

j=0

z

z





=

∞

X

k=0





k

X

j=0

z





=

∞

X

k=0

(k + 1)z

.

Konvergenzradius (1)

Es ist kein Zufall, dass die Mengen D = {z ∈ C |P (z ) ist konvergent} in den vorangegangenen Beispielen alle kreisf¨ ormig sind.

Lemma 3.31

Konvergiert die Potenzreihe

∞

X

n=0

a

(x − x

)

in einem Punkt x

6= x

, dann konvergiert die sie auch in jedem Punkt x ∈ K mit

|x − x

| < |x

− x

| absolut.

Beweis.

Wenn die Reihe

∞

X

n=0

a

(x

− x

)

konvergiert, dann ist die Folge (a

(x

− x

)

) eine Nullfolge und damit konvergent.

Jede konvergente Folge ist beschr¨ ankt. Also existiert ein M > 0 mit

|a

(x

− x

)

| ≤ M

f¨ ur alle n ∈ N .

Fortsetzung Beweis.

F¨ ur x ∈ K mit |x − x

| < |x

− x

| folgt dann

|a

(x − x

)

| =

a

(x

− x

)

(x − x

)

(x

− x

)

= |a

(x

− x

)

| ·

(x − x

)

(x

− x

)

≤ Mq

mit q :=

1−x₀|

< 1.

Damit k¨ onnen wir die geometrische Reihe als Majorante nutzen.

Mit dem Majorantenkriterium folgt, dass P

n=0

a

(x − x

)

absolut konvergent ist f¨ ur

|x − x

| < |x

− x

|.

Konvergenzradius (2)

Folgerung 3.32 Es sei P

n=0

a

(x − x

)

eine Potenzreihe. Dann liegt genau einer der folgenden F¨ alle vor:

(i) Die Potenzreihe konvergiert f¨ ur alle x ∈ K absolut.

(ii) Die Potenzreihe divergiert f¨ ur alle x ∈ K \ {x

}.

(iii) Es existiert genau ein R ∈ R

, so dass die Potenzreihe f¨ ur alle x ∈ K mit |x − x

| < R absolut konvergiert und f¨ ur |x − x

| > R divergiert.

Definition 3.33

Die Zahl R in Fall (iii) der vorstehenden Folgerung heißt Konvergenzradius der Potenzreihe.

Liegt Fall (i) vor, dann sagen wir, dass der Konvergenzradius Unendlich ist (R = ∞), im

Fall (ii) ist der Konvergenzradius Null (R = 0).

Beispiel 3.34

Die Potenzreihe

X

n=0

(n

+ 7n + 12)z

hat den Konvergenzradius R = 1.

Dies zeigen wir mit dem Quotientenkriterium. Tafel .

Man kann sogar den Grenzwert f¨ ur diese/solche Reihen exakt bestimmen. Dies machen Sie in

den ACAT- ¨ Ubungen.

Beispiel 3.35 F¨ ur die Potenzreihe

∞

X

n=0

n + 2 2

z

gilt R = 2.

Diesmal mit dem Wurzelkriterium begr¨ undet:

n

s

n + 2 2

z

= |z|

2

√

n + 2

| {z }

→1

−→ |z | 2 Dabei zeigt man lim

√ n + 2 = 1 leicht mit dem Schachtelungsprinzip.

Beispiel 3.36 Die Potenzreihe

∞

X

n=0

n!

1000

z

hat den Konvergenzradius R = 0.

Das Quotienkriterium liefert f¨ ur alle z ∈ C \ {0}

(n + 1)!z

1000

· 1000

n!z

= n + 1

1000 |z| −→ ∞.

Exponentialfunktion (1)

Satz 3.37 Die Potenzreihe

∞

X

n=0

z

n!

konvergiert f¨ ur alle z ∈ C absolut (R = ∞).

Beweis.

Mit dem Quotienkriterium ergibt sich f¨ ur alle z ∈ C

z

(n + 1)! · n!

z

= |z |

n + 1 −→ 0.

Exponentialfunktion (2)

Definition 3.38 Die durch

exp : K → K z 7→ exp(z ) :=

∞

X

n=0

z

n!

definierte Funktion heißt (komplexe oder reelle) Exponentialfunktion.

Bei Funktionen oder Potenzreihen im Reellen schreiben wir meist x statt z (und x

statt z

).

Exponentialfunktion (3)

Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

Satz 3.39

F¨ ur alle x , y ∈ K gilt

exp(x + y ) = exp(x) · exp(y ).

Beweis.

Wir nutzen das Cauchy-Produkt:

exp(x) · exp(y) =

∞

X

n=0

x

n! ·

∞

X

m=0

y

m! =

∞

X

k=0





k

X

j=0

x

j ! · y

(k − j)!





=

∞

X

k=0



 1 k!

k

X

j=0

k j

x

y



 =

∞

X

k=0

1

k! (x + y )

= exp(x + y).

Eulersche Zahl

Definition 3.40 Die Zahl

e := exp(1) =

∞

X

n=0

1 n!

heißt Eulersche Zahl.

Eigenschaften der Exponentialfunktion

Satz 3.41 Es gilt:

(i) exp(0) = 1,

(ii) exp(z) 6= 0 f¨ ur alle z ∈ C , (iii) exp(−z ) =

f¨ ur alle z ∈ C , (iv) exp(z) = exp(z ) f¨ ur alle z ∈ C ,

(v) exp(x) > 0 f¨ ur alle x ∈ R , (vi) exp(r) = e

f¨ ur alle r ∈ Q . Beweis.

(i) Einsetzen: 0

= 1, 0! = 1 und 0

= 0 f¨ ur n ≥ 1.

Fortsetzung Beweis.

(ii) Ann.: Es existiert z ∈ C mit exp(z) = 0. Dann gilt

1 = exp(0) = exp(z − z) = exp(z ) · exp(−z ) = 0 · exp(−z ) = 0.

Widerspruch!

(iii) Folgt aus 1 = exp(0) = exp(z − z) = exp(z ) · exp(−z ).

(iv) Betrachte zun¨ achst die Partialsummen:

n

X

k=0

z

k ! =

n

X

k=0

z

k ! =

n

X

k=0

z

k!

Weiterhin folgt mit Lemma 2.40: Wenn eine komplexe Folge (z

) gegen z konvergiert,

dann konvergiert die Folge (z

) gegen z . Damit folgt die Aussage.

Fortsetzung Beweis.

(v) F¨ ur x ≥ 0 gilt exp(x) = 1 + x + P

n!

≥ 1 > 0.

Wegen (iii) gilt die Aussage auch f¨ ur x < 0.

(vi) r = 0: (i)

r > 0: Dann gilt r =

mit p, q ∈ N und

(exp(r))

= exp(r · q) = exp(p) = (exp(1))

= e

. Also: exp(r) = √

e

.

r < 0: Mit (iii) und Potenzregeln folgt exp(r ) = 1

exp(−r) = 1

e

= e

.

Restgliedabsch¨ atzung der Exponentialfunktion

Satz 3.42

Es sei n ∈ N

. Dann gilt f¨ ur alle x ∈ R mit |x| ≤ 1 +

exp(x) −

n

X

k=0

x

k!

≤ 2 |x|

(n + 1)! .

Die Eulersche Zahl ist irrational

Folgerung 3.43

Die Eulersche Zahl e ist irrational.

Sinus und Kosinus (1)

Satz 3.44 F¨ ur x ∈ R gilt

| exp(ix)| = 1.

Beweis.

| exp(ix)|

= exp(ix)exp(ix)

= exp(ix) exp(ix)

= exp(ix) exp(−ix)

= exp(ix − ix)

= exp(0)

= 1

Sinus und Kosinus (2)

Definition 3.45

F¨ ur x ∈ R definieren wir die Funktionen sin, cos : R → R durch sin(x) = Im(exp(ix)) cos(x) = Re(exp(ix)).

F¨ ur x ∈ R gilt also die Eulersche Formel

exp(ix) = cos(x) + i sin(x).

Sinus und Cosinus f¨ ur x ∈ R (1)

Sinus und Cosinus f¨ ur x ∈ R (2)

Potenzreihendarstellung von Sinus und Cosinus (1)

Lemma 3.46

Die beiden Potenzreihen

∞

X

n=0

(−1)

(2n + 1)! z

und

∞

X

n=0

(−1)

(2n)! z

konvergieren absolut f¨ ur alle z ∈ C.

Beweis.

Quotienkriterium f¨ ur die erste Reihe: Sie z ∈ C beliebig, dann gilt

(−1)

z

(2(n + 1) + 1)! · (2n + 1)!

(−1)

z

.

= |z|

(2n + 2)(2n + 3) −→ 0

Potenzreihendarstellung von Sinus und Cosinus (2)

Lemma 3.47 F¨ ur alle x ∈ R gilt

sin(x) =

∞

X

n=0

(−1)

(2n + 1)! x

cos(x) =

∞

X

n=0

(−1)

(2n)! x

Beweis.

F¨ ur gerade n ∈ N k¨ onnen wir n = 2m schreiben, f¨ ur ungerade n = 2m + 1. Wegen der Konvergenz der betreffenden Reihen gilt

exp(ix) =

∞

X

n=0

(ix)

n!

=

∞

X

m=0

i

x

(2m)! +

∞

X

m=0

i

x

(2m + 1)!

=

∞

X

m=0

i

x

(2m)! + i

∞

X

m=0

i

x

(2m + 1)! .

Fortsetzung Beweis.

Wegen i

= (i

)

= (−1)

ergibt sich exp(ix) =

∞

X

m=0

(−1)

x

(2m)! + i

∞

X

m=0

(−1)

x

(2m + 1)! . Also

Re(exp(ix)) =

∞

X

m=0

(−1)

x

(2m)!

Im(exp(ix)) =

∞

X

m=0

(−1)

x

(2m + 1)! .

Potenzreihendarstellung von Sinus und Cosinus (3)

Da die Potenzreihen im vorangegangenen Lemma f¨ ur alle komplexen Zahlen konvergieren, k¨ onnen wir dies nutzen, um die Definitionen von Sinus und Cosinus auf die komplexe Ebene fortzusetzen.

Definition 3.48

F¨ ur alle z ∈ C seien die Funktionen sin, cos : C → C definiert durch sin(z) =

∞

X

n=0

(−1)

(2n + 1)! z

cos(z) =

∞

X

n=0

(−1)

(2n)! z

.

Eulersche Formel

Folgerung 3.49

F¨ ur alle z ∈ C gilt die Eulersche Formel:

exp(iz) = cos(z ) + i sin(z).

Beweis.

Analog zum Beweis von Lemma 3.47. Es ergibt sich dann die Potenzreihendarstellung exp(iz) =

∞

X

m=0

(−1)

z

(2m)! + i

∞

X

m=0

z

(2m + 1)! .

Eigenschaften von Sinus und Cosinus (1)

Satz 3.50

F¨ ur alle z, w ∈ C gilt (i)

cos(0) = 1, sin(0) = 0 (ii)

cos(z) = cos(−z )

sin(z) = − sin(−z )

Eigenschaften von Sinus und Cosinus (2)

Satz 3.51

F¨ ur alle z ∈ C gilt

sin(z ) = 1

2i (exp(iz) − exp(−iz)) cos(z ) = 1

2 (exp(iz) + exp(−iz))

Additionstheoreme f¨ ur Sinus und Cosinus

Satz 3.52

F¨ ur alle z, w ∈ C gilt (i)

sin

(z ) + cos

(z ) = 1 (ii)

cos(z + w ) = cos(z) cos(w ) − sin(z) sin(w)

sin(z + w ) = sin(z) cos(w ) + cos(z) sin(w)

Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus

Definition 3.53

F¨ ur alle z ∈ C seien die Funktionen sinh, cosh : C → C definiert durch sinh(z) = 1

2 (exp(z ) − exp(−z )), cosh(z) = 1

2 (exp(z ) + exp(−z ))

Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus in R

Potenzreihendarstellung des Sinus/Cosinus Hyperbolicus

Satz 3.54

F¨ ur alle z ∈ C gilt

sinh(z ) =

∞

X

n=0

z

(2n + 1)!

cosh(z ) =

∞

X

n=0

z

(2n)! .

Eigenschaften des Sinus/Cosinus Hyperbolicus

Satz 3.55

F¨ ur alle z, w ∈ C und x , y ∈ R gilt (i) sinh(z) + cosh(z ) = exp(z ), (ii) cosh

(z) − sinh

(z ) = 1,

(iii) cosh(z ± w ) = cosh(z) cosh(w ) ± sinh(z) sinh(w ), (iv) sinh(z ± w ) = sinh(z) cosh(w ) ± cosh(z) sinh(w ),

(v) sin(iy) = i sinh(y) (vi) cos(iy) = cosh(y)

(vii) cos(x + iy) = cos(x) cosh(y ) − i sin(x) sinh(y ),

(viii) sin(x + iy) = sin(x) cosh(y ) + i cos(x) sinh(y ).

Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen

Satz 3.56 Seien

f (z) =

∞

X

n=0

a

z

und g (z) =

∞

X

n=0

b

z

zwei Potenzreihen mit positiven Konvergenzradien R

> 0 und R

> 0.

Gilt

f (z ) = g (z ) f¨ ur alle z mit 0 ≤ |z| < min{R

, R

}, dann sind die beiden Potenzreihen identisch, d. h. a

= b

f¨ ur alle n ∈ N

. Anschauliche Interpretation:

Wenn zwei Potenzreihen die gleiche Funktion darstellen, sind die Koeffizientenfolgen

Mit dem Identit¨ atssatz k¨ onnen wir explizite Formeln f¨ ur rekursiv definierte Folgen begr¨ unden.

Beispiel 3.57

Wir betrachten die rekursiv definierte Folge

a

= 1 und a

= 2a

f¨ ur n ≥ 1.

Mit dieser Folge definieren wir die Potenzreihe f (z ) =

∞

X

n=0

a

z

. Wegen

a

z

a

z

=

a

a

·

z

z

= 2|z |

betr¨ agt der Konvergenzradius R =

.

Fortsetzung Beispiel.

Durch Anwendung der rekursiven Definition ergibt sich

f (z ) =

∞

X

n=0

a

z

= 1 +

∞

X

n=1

a

z

= 1 +

∞

X

n=1

2a

z

= 1 + 2z

∞

X

n=1

a

z

= 1 + 2z

∞

X

n=0

a

z

= 1 + 2z f (z ).

Wenn wir die Gleichung nach f (z ) aufl¨ osen, erhalten wir f (z ) = 1

1 − 2z .

Fortsetzung Beispiel.

Wir kennen aber noch eine andere Potenzreihe, welche die Funktion

darstellt, denn mit der Formel f¨ ur die geometrische Reihe erhalten wir

g (z ) :=

∞

X

n=0

2

z

=

∞

X

n=0

(2z )

= 1 1 − 2z .

Mit dem Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen folgt, dass die Koeffizienten der beiden Potenzreihen f (z ) und g (z) gleich sind, also

a

= 2

.

Damit haben wir eine explizite Formel f¨ ur die Folgenglieder.

Das letzte Beispiel war sehr einfach, auf die explizite Formel w¨ are man wohl auch durch scharfes Hinsehen gekommen. Das n¨ achste Beispiel ist ein wenig schwieriger.

Beispiel 3.58

Wir wandeln die Folge des letzten Beispiels leicht ab.

a

= 1 und a

= 2a

+ 1 f¨ ur n ≥ 1.

Herleitung an der Tafel, u. a. wird das Cauchy-Produkt von Reihen verwendet.

Ergebnis:

a

= 2

− 1

Partialbruchzerlegung

Eine sehr hilfreiche Technik bei der Behandlung komplexerer Rekursionen ist die Partialbruchzerlegung.

Satz 3.59

Seien Z (x) und N (x) Polynome und der Grad von Z (x) sei kleiner als der Grad von N(x). Wir betrachten hier nur den Fall, dass N (x) ausschließlich reelle Nullstellen hat.

m sei die Anzahl der reellen Nullstellen von N (x), x

, x

, . . . , x

seien diese Nullstellen und

r

mit i = 1, . . . , m sei die Vielfachheit der Nullstelle x

. Dann existieren reelle Zahlen a

(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ r

) mit

Z (x) N(x) =

m

X

i=1 ri

X

j=1

a

(x − x

)

.

Beispiel 3.60

Wir betrachten die Funktion

Z (x)

N(x) = 4x

1 − 2x − 3x

.

Die Nullstellen von N(x) sind

und −1 jeweils mit Vielfachheit 1. Nach dem Satz der Partialbruchzerlegung existieren also Konstanten a und b mit

4x

1 − 2x − 3x

= −

x

x

+

x −

= a

x −

+ b x + 1 .

Um diese Zahlen a und b zu ermitteln, machen wir die Summanden des rechten Terms gleichnamig und f¨ uhren einen Koeffizientenvergleich durch.

a

x −

+ b

x + 1 = a(x + 1) + b(x −

)

(x −

)(x + 1) = (a + b)x + (a −

b)

(x −

)(x + 1)

Fortsetzung Beispiel.

Koeffizientenvergleich f¨ uhrt zu dem LGS:

a + b = −

a −

b = 0 Mit der L¨ osung a = −

und b = −1. Also

4x

1 − 2x − 3x

= −

x −

− 1 x + 1

= 1

1 − 3x − 1

1 + x .

Erzeugende Funktion

Definition 3.61

F¨ ur eine Folge (a

)

heißt die Funktion G (z) =

∞

X

n=0

a

z

erzeugende Funktion der Folge (a

).

Schon in den Beispielen 3.57 und 3.58 haben wir erzeugende Funktionen verwendet.

Mit Ihnen gelingt der ¨ Ubergang von einer Folge zu einer Funktion.

Beispiele f¨ ur erzeugende Funktionen

Beispiel 3.62 a

= 1:

∞

X

n=0

z

= 1 1 − z a

= n:

∞

X

n=0

nz

= z (1 − z )

a

= n

:

∞

X

n=0

n

z

= z(1 + z)

(1 − z)

Fortsetzung Beispiel.

a

= (−1)

:

∞

X

n=0

(−1)

z

= 1 1 + z a

= a

:

∞

X

n=0

a

z

= 1 1 − az a

= 1

n! :

∞

X

n=0

1

n! z

= exp(z)

Vorgehen zur Herleitung expliziter Folgen

1

Zu einer rekursiv definierten Folge (a

) stellen wir die Potenzreihe der erzeugenden Funktion auf und zeigen R > 0.

2

Durch Anwendung der rekursiven Definition von a

auf die Potenzreihe ermitteln wir die die explizite Darstellung der erzeugenden Funktion.

3

Wir stellen die erzeugende Funktion als Linearkombination bekannter Potenzreihen dar.

Hierbei ist h¨ aufig eine Partialbruchzerlegung hilfreich.

4

Wir fassen die Linearkombination der Potenzreihen zu einer Potenzreihe zusammen. So

entsteht eine explizite Formel f¨ ur die Koeffizienten der Potenzreihe der erzeugenden

Funktion. Nach dem Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen m¨ ussen diese dann mit der rekursiven

Definition ¨ ubereinstimmen.

Beispiel: Herleitung einer expliziten Folge

Beispiel 3.63

Wir betrachten die rekursiv definierte Folge

a

= 0, a

= 4 und a

= 2a

+ 3a

f¨ ur n ≥ 2.

Schritt 1: Mit Induktion sieht man leicht, dass (a

) nicht negativ und damit monoton steigend ist. Das Quotientenkriterium liefert

a

z

a

z

= 2a

+ 3a

a

|z | ≤ 2a

+ 3a

a

|z | ≤ 5|z |.

Die Potenzreihe G (z) := P

n=0

a

z

konvergiert also f¨ ur |z | <

, damit gilt R > 0 und G (z)

ist f¨ ur |z | <

definiert.

Fortsetzung Beispiel.

Schritt 2:

G (z) =

∞

X

n=0

a

z

= 0z + 4z +

∞

X

n=2

a

z

= 4z + 2

∞

X

n=2

a

z

+ 3

∞

X

n=2

a

z

= 4z + 2z

∞

X

n=1

a

z

+ 3z

∞

X

n=2

a

z

= 4z + 2z

∞

X

n=0

a

z

+ 3z

∞

X

n=0

a

z

= 4z + 2zG (z ) + 3z

G (z)

Fortsetzung Beispiel.

Wir l¨ osen nach G (z ) auf und erhalten

G (z ) = 4z 1 − 2z − 3z

. Schritt 3: Aus Beispiel 3.60 wissen wir

4z

1 − 2z − 3z

= 1

1 − 3z − 1 1 + z . Beide Summanden der rechten Seite sind geometrische Reihen.

1 1 − 3z =

∞

X

n=0

(3z )

=

∞

X

n=0

3

z

.

1

1 + z = 1 1 − (−z ) =

∞

X

n=0

(−z)

=

∞

X

n=0

(−1)

z

Fortsetzung Beispiel.

Schritt 4: Aus Schritt 3 folgt

G (z) = 1

1 − 3z − 1 1 + z

=

∞

X

n=0

3

z

−

∞

X

n=0

(−1)

z

=

∞

X

n=0

(3

− (−1)

)

| {z }

=an

z

.

Also gilt nach dem Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen a

= 3

− (−1)

.

Damit haben wir die gew¨ unschte explizite Folge, die identisch mit der rekursiven Definition ist.

Zusammenfassung

Reihe als Folge der Partialsumme

Absolute Konvergenz ist deutlich strenger als Konvergenz.

Majoranten- und Minorantenkriterium, Quotienten- und Wurzelkriterium Cauchy-Produkt

Potenzreihen, Konvergenzradius

Elementare Funktionen: exp, sin, cos, sinh, cosh

Identit¨ atssatz f¨ ur Potenzreihen, Partialbruchzerlegung

Anwendung: Herleitung expliziter Folgen