Theoretische Physik IV: Quantenmechanik

Theoretische Physik IV: Quantenmechanik

(Vorlesung Prof. Dr. J. Timmer)

Aufgabenzettel Nr. 7

Aufgabe 1: Relationen zwischen Hermite-Polynomen

Gegeben seien die Hermite-PolynomeHn mit

Hn(y) := (−1)ⁿe^y2 ∂ⁿ

∂yⁿe^−y2

(1) i.) Zeigen Sie ausgehend von Gl. (1), dassHndie Differentialgleichungv⁰⁰(y)−2yv⁰(y)+(ε−1)v(y) =

0 mitε= 2n+ 1 erf¨ullt (vgl. Skript).(2 Pkt.)

Hinweis: Setzen SieH_n⁰ undH_n⁰⁰ in die Differentialgleichung ein, Zwischenergebnis:

∂ⁿ⁺²

∂yⁿ⁺² + 2y ∂ⁿ⁺¹

∂yⁿ⁺¹ + (2n+ 2) ∂ⁿ

∂yⁿ

e^−y2 = 0, (2) und zeigen Sie die G¨ultigkeit von Gl. (2) per Induktion.

ii.) Zeigen Sie, dass ^∂H_∂yⁿ = 2nHn−1 gilt. Nutzen Sie hierf¨ur z.B. das Zwischenergebnis, Gl. (2).

(2 Pkt.)

iii.) Die normierten Eigenfunktionen des harmonischen Oszillators zu den EnergieeigenwertenEn= n+¹₂

~ωsind durch

ϕ_n(x) = 1

√x₀ π⁻¹⁴

√

2ⁿn!H_nx x0

e⁻

x2 2x2 0

gegeben. Hierbei bezeichnetx0 = q

~

ωm die charakteristische L¨ange. Zeigen Sie die folgenden Beziehungen zwischen den Eigenfunktionen:

x x₀ϕn =

rn

2ϕ_n−1+

rn+ 1 2 ϕn+1

∂ϕn

∂(x/x₀) = rn

2ϕ_n−1−

rn+ 1 2 ϕn+1

(3)

(3 Pkt.)

iv.) Warum sind die Eigenfunktionenϕn orthogonal aufeinander? D.h.

Z

ϕ^∗_n(x)ϕm(x)dx=δnm. (1 Pkt.)

Aufgabe 2: Leiteroperatoren

Der Hamilton-Operator des harmonischen Oszillators, ˆH = _2m^pˆ2 + ^mω₂²xˆ², l¨asst sich mithilfe der Leiteroperatoren

ˆ a:= 1

√2 1

x₀xˆ+ix0

~ ˆ p

ˆ a^†:= 1

√2 1

x0

ˆ x−ix0

~ ˆ p

umschreiben.

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i.) Zeigen Sie, dass ˆaund ˆa^† nicht hermitesch sind.(1 Pkt.) ii.) Zeigen Sie die Kommutatorrelationen

[ˆa,ˆa^†] =1, [ˆn,aˆ^†] = ˆa^†, [ˆn,ˆa] =−ˆa, mit ˆn= ˆa^†ˆa.(2 Pkt.)

iii.) Dr¨ucken Sie ˆxund ˆpjeweils durch ˆaund ˆa^† aus und vergleichen Sie die Ausdr¨ucke mit Gl. (3).

Was l¨asst sich daraus ¨uber die Wirkung der Leiteroperatoren auf die normierten Eigenfunktionen ϕn des harmonischen Oszillators ableiten?(2 Pkt.)

iv.) Zeigen Sie, dass sich ˆH als

Hˆ =~ω

ˆ n+1

2

schreiben l¨asst. Geben Sie mithilfe dieses Ausdrucks die Eigenfunktionen und Eigenwerte des Operators ˆnan.(1 Pkt.)

M¨ unsteraufgabe

Der Vorbau an der s¨udlichen Seite stammt erst aus der Renaissance. Wie h¨angt dieser Umstand mit der Reformation, der Gegenreformation und Erasmus von Rotterdam zusammen?

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