Ubungen zu Theoretische Physik IV ¨

Physikalisches Institut Ubungsblatt 11¨

Universit¨at Bonn 15.01.2016

Theoretische Physik WS 15/16

Ubungen zu Theoretische Physik IV ¨

Prof. Dr. Hans Kroha, Christoph Liyanage, Jonas Reuter Abgabe: 22.01.2016, Besprechung: 26.01.-27.01.2016

http://www.kroha.uni-bonn.de/teaching/

–Hausaufgaben–

H 11.1 Thermisches Photonengas (3+3+2+1+1=10) Punkte Wir betrachten ein thermisches Photonengas mit der Energie-Impuls Beziehung E =|p|c. Die Zustandsdichte f¨ur ein solches Gas lautet ρ(E) =V E²/[π²(~c)³].

(a) Berechne die großkanonische Zustandssumme sowie das großkanonische Potential des Pho- tonengases. Was gilt dabei f¨urµ? (Tipp: R^∞

0 dxx²log(1−e^−x) =−^π₄₅⁴) Du solltest folgendes Ergebnis erhalten: Ω =− π²k⁴_B

45(~c)³V T⁴. (b) Berechne nun die mittlere Photonenzahl N. Tipp: _π¹₂R

dxx²_e^x1−1 ≈0,244.

Dein Ergebnis sollte lauten: N = 0,244 kT

~c 3

V

(c) Berechne aus dem großkanonischen Potential die Entropie S sowie die innere Energie U. Warum sind freie Energie und großkanonisches Potential hier identisch? Die Temperatu- rabh¨angigkeit der inneren Energie des Photonengases heißtStefan-Boltzmann-Gesetz.

(d) Thermische Zustandsgleichung: Berechne durch geeignete thermodynamische Ableitung den Druck p(“Strahlungsdruck”) eines Photonengases bei der TemperaturT. H¨angt der Druck vom Volumen V ab? Interpretiere das Ergebnis physikalisch.

(e) Adiabatische Zustandsgleichungen: Wir betrachten nun Zustands¨anderungen, bei denen sich das Volumen ohne W¨armeaustausch ¨andert, d.h.dS = 0. Was gilt hierbei f¨ur die ¨Anderung der Photonenzahl N?

Tipp: Vergleiche (b) und (c).

Stelle hiermit die Zusammenh¨angeT(V) sowiep(V) f¨ur die adiabatische Zustands¨anderung her.

Eine adiabatische Ausdehnung erfolgt z.B. bei der Expansion des fr¨uhen Universums, seit das Photonengas von der Wechselwirkung mit Materie abgekoppelt war.

H 11.2 Spin-Pr¨azession und -dephasierung im Magnetfeld (2+2+3+3=10) Punkte Wir betrachten ein System aus N nicht miteinander wechselwirkenden Spins (S = 1/2) im

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außeren MagnetfeldB,

Hˆ =−gµ

N

X

i=1

B·Sˆi.

1

F¨ur t < 0 wirke ein homogenes Magnetfeld B = (B_x,0,0) auf das System, das sich im ther- modynamischen Gleichgewicht befinde. Zur Zeit t = 0 werde das Magnetfeld in z-Richtung umgeklappt,B(t≥0) = (0,0, B_z).

(a) Bestimme die Eigenzust¨ande des Spinoperators in x-Richtung, ˆS^x, in der Eigenbasis von Sˆ^z. Benutze dazu die Matrixdarstellung ˆS^a= ¹₂σ^ai mit den Pauli-Matrizen σ^a, a=x, y, z, und |S_z = +¹₂i= (¹₀) sowie |S_z =−¹₂i= (⁰₁).

(b) Gib die Wahrscheinlichkeit an, dass ein Spini zur Zeitt <0 parallel oder antiparallel zur x-Richtung ausgerichtet ist, und bestimme daraus die Dichtematrix ˆW_i(t= 0) f¨ur Spini.

(c) Zeige, dass f¨urt≥0 die Dichtematrix gegeben ist durch Wˆⁱ(t) = 1

2[¹+ tanh(βµB_x) (σ_xcos(2µB_zt/~)−σ_ysin(2µB_zt/~))] . Hinweis: cosx=P^∞

n=0 (−1)ⁿ

(2n)!x²ⁿ und sinx=P^∞

n=0 (−1)ⁿ

(2n+1)!x²ⁿ⁺¹ .

(d) Nun soll das Magnetfeld f¨ur t ≥ 0 von Ort zu Ort der Spins i zuf¨allig variieren, d.h.

B_z=B_z(r_i) entsprechend der WahrscheinlichkeitsverteilungP(B_z(r_i)) =θ(∆/2−|B_z(r_i)−

B₀|)/∆, wobei B₀ > ∆. Berechne die mittlere Magnetisierung des Gesamtsystems in x- Richtung hM_x(t)i f¨ur N ≫ 1. Zeige, dass es sich dabei um eine abklingende Schwingung handelt, gib ihre Frequenz an und skizziere ihren zeitlichen Verlauf.

H 11.3 Heisenberg-Modell und reduzierte Dichtematrix (2+2+2=6) Punkte Wir betrachten das Heisenberg-Modell f¨ur zwei SpinsS¹ und S² (S=1/2) mit antiferromagne- tischer Kopplung,

Hˆ =J Sˆ¹·Sˆ² mit J >0. (a) Zeige, dass sich der Hamiltonian schreiben l¨asst als

Hˆ = J

2(S)²+const.= J

4(S₊S−+S−S₊+ 2(S_z)²) +const.,

wobeiS^±=S±¹ +S±² der Auf- bzw. Absteigeoperator des GesamtspinsS=S¹+S² ist und S_z =S_z¹+S_z². Berechne anschließend die Eigenzust¨ande Ψi von ˆH,

Hˆ |Ψ_ii=E_i|Ψ_ii mit |Ψ_ii= X

Sz¹,Sz²=±1/2

C_i(S¹_z, S_z²)|S¹_z, S_z²i ,

wobei du ein Singlett |S= 0, Sz = 0i und ein Triplett |S= 1, Szi, Sz = 0,±1, erhalten solltest. Zeige schließlich, dass der Dichteoperator gegeben ist durch

W_c = 1 Zc

|0,0i h0,0|+e^−βJ X

Sz=0,±1

|1, S_zi h1, S_z|

mit Z_c = 1 + 3e^−βJ .

(b) Nehmen wir nun an, wir seien nur an Teilsystem S¹ als Messgr¨oße interessiert. Berechne die reduzierte Dichtematrix, indem du die Spur ¨uber die Freiheitsgrade von SpinsystemS² bildest.

(c) Betrachte nun das System im Grenzfall T → 0. Was ergibt sich f¨ur die volle und f¨ur die reduzierte Dichtematrix? Berechne zuletzt f¨ur beide F¨alle die EntropieS.

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