Komplexer Logarithmus
Die komplexe Logarithmusfunktionw = Ln(z) ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktionz = exp(w).
Mit Hilfe der Polardarstellung
z =reiϕ, r =|z|, ϕ= arg(z), gilt somit
Ln(z) = ln(r) +i(ϕ+ 2πk), f¨ur eink ∈Z, wobei ln(r) der reelle Logarithmus von r ist.
Alternativ erh¨alt man durch Einsetzen von r =p
x2+y2, ϕ= arctan(y/x) +σπ
eine Darstellung des Logarithmus als Funktion des Realteilsx und Imagin¨arteilsy von z. Dabei ist, analog zu Polarkoordinaten, σ ∈ {−1,0,1} je nach dem Vorzeichen vonx und y zu w¨ahlen.
Komplexer Logarithmus 1-1
Aufgrund der Periodizit¨at der Exponentialfunktion istϕ nur bis auf Vielfache von 2π bestimmt. Man sagt, Ln besitzt unendlich viele Zweige.
Ein Standardbereich (Hauptzweig) ist
ϕ= arg(z)∈(−π, π], k = 0.
Obwohl Ln so auf der gelochten EbeneC\{0}eindeutig definiert ist, erh¨alt man keine global stetige Funktion. Beim ¨Uberschreiten der negativen reellen Achse ¨andert sich arg(z) abrupt um 2π. Eine singularit¨atenfreie Definition der Logarithmusfunktion ist nur auf Gebieten m¨oglich, die weder 0 noch eine geschlossene Kurve um 0 enthalten.
Komplexer Logarithmus 1-2
Die Abbildung zeigt den Imagin¨arteil der Logarithmusfunktion f¨ur die Einheitskreisscheibe. Jede Windung entspricht einem Zweig der Funktion.
Komplexer Logarithmus 1-3
Beispiel:
Komplexer Logarithmus
einer positiven reellen Zahl x:
Ln(x) = ln(x) + 2πik, k ∈Z einer negativen reellen Zahlx:
Ln(x) = ln(−x) +πi(2k+ 1), k ∈Z (x =|x|eiπ,|x|=−x)
von z =√
2 (1 +i):
Ln(z) = Ln 2eiπ/4
= ln(2) +πi(8k+ 1)/4, k ∈Z
Komplexer Logarithmus 2-1
