Teil 5 Lineare Algebra

Teil 5

Lineare Algebra

5.1 Gruppen und K¨ orper

Gruppe

Menge G mit bin¨arer Operation : G × G 7−→ G

• Assoziativit¨at: (a b) c = a (b c)

• Neutrales Element: ∃ ! e ∈ G: e a = a e = a

• Inverses Element: a a ^{− 1} = a ^{− 1} a = e kommutativ oder abelsch ⇔ a b = b a Untergruppe

Teilmenge U einer Gruppe G

abgeschlossen unter der Gruppenoperation von G, d.h.

a, b ∈ U = ⇒ a b ∈ U, a ∈ U = ⇒ a ^{− 1} ∈ U

Permutationen und symmetrische Gruppe Gruppe S n der Bijektionen auf { 1, 2, . . . , n }

π =



 1 2 3 . . . n

π(1) π(2) π(3) . . . π(n)





n! Elemente

Zyklenschreibweise von Permutationen

Zyklus: Bilder eines Elementes bei mehrfacher Ausf¨uhrung der Permutation Zerlegung von π ∈ S n , z.B.

π =



 1 2 3 4 5 6 4 3 2 6 5 1



 ≡ (1 4 6) (2 3) (5) bzw. π = (1 4 6) (2 3)

Transposition und Signum einer Permutation τ = (j k): Vertauschung von j und k

Produktdarstellung von Permutationen

π = τ 1 ◦ · · · ◦ τ m

Vorzeichen (Signum) einer Permutation: σ(π) = ( − 1) ^m

K¨ orper

Menge K , auf der eine Addition + und eine Multiplikation · definiert sind

• (K, +): abelsche Gruppe mit neutralem Element 0

a + b = b + a (a + b) + c = a + (b + c)

a + 0 = a a + ( − a) = 0

• (K \{ 0 } , · ): abelsche Gruppe mit neutralem Element 1 a · b = b · a (a · b) · c = a · (b · c)

a · 1 = a a · a ^{− 1} = 1

• Distributivgesetz: a · (b + c) = a · b + a · c

Primk¨ orper

Z p = { 0, 1, . . . , p − 1 } , p : Primzahl K¨orper unter Addition und Multiplikation modulo p

Chinesischer Restsatz

Kongruenzen

x = a 1 mod p 1

. . .

x = a n mod p n

eindeutige L¨osung x ∈ { 0, . . . , P − 1 } , P = p 1 · · · p n , f¨ur teilerfremde Zahlen p 1 , . . . , p n

x = X n k=1

a k Q k (P/p k ) mod P, Q k (P/p k ) = 1 mod p k

5.2 Vektorr¨ aume

Vektorraum

abelsche Gruppe (V, +), auf der eine Skalarmultiplikation · mit Elementen aus einem K¨orper K mit den folgenden Eigenschaften definiert ist

(λ 1 + λ 2 ) · v = λ 1 · v + λ 2 · v λ · (v ₁ + v ₂ ) = λ · v ₁ + λ · v ₂

(λ 1 · λ 2 ) · v = λ 1 · (λ 2 · v) 1 · v = v

Vektorraum der n-Tupel

K ⁿ : a =



 

 a 1

...

a n



 

 = (a 1 , . . . , a n ) ^t , a i ∈ K

komponentenweise definierte Addition und Skalarmultiplikation



 

 a 1

...

a n



 

 +



 

 b 1

...

b n



 

 =



 



a 1 + b 1

...

a n + b n



 

 , λ ·



 

 a 1

...

a n



 

 =



 

 λ · a 1

...

λ · a n



 



R ⁿ ( C ⁿ ): n-Tupel reeller (komplexer) Zahlen Unterraum

Teilmenge U eines K -Vektorraums V , die bzgl. der Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen ist:

u, v ∈ U = ⇒ u + v ∈ U λ ∈ K, u ∈ U = ⇒ λ · u ∈ U

Linearkombination

λ ₁ · v ₁ + λ ₂ · v ₂ + · · · + λ _m · v _m = X m

i=1

λ _i · v _i

lineare H¨ulle span(U ): Menge aller Linearkombinationen von Elementen aus U

Konvexkombination

λ ₁ v ₁ + λ ₂ v ₂ + · · · + λ _m v _m , λ _i ≥ 0, X

i

λ _i = 1 konvexe H¨ulle conv(U ): Menge aller Konvexkombinationen von Vektoren aus U Lineare Unabh¨ angigkeit

linear unabh¨angig:

α 1 v 1 + · · · + α m v m = 0 = ⇒ α 1 = · · · = α n = 0 linear abh¨angig:

∃ (α 1 , . . . , α n ) 6 = 0 : α 1 v 1 + · · · + α m v m = 0 (nicht-triviale Darstellung des Nullvektors)

Basis

B = { b 1 , b 2 , . . . } ⊂ V Basis ⇔

eindeutige Darstellbarkeit der Vektoren v des Vektorraums V als Linearkombination v = X

k

λ k b k

⇔ b k linear unabh¨angig und span(b 1 , b 2 , . . .) = V

Dimension: dim V = | B |

5.3 Skalarprodukt und Norm

Reelles Skalarprodukt

Bilinearform h· , ·i : V × V → R auf einem reellen Vektorraum V mit folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

h v, v i > 0 f¨ur v 6 = 0

• Symmetrie:

h u, v i = h v, u i

• Linearit¨at:

h λu + %v, w i = λ h u, w i + % h v, w i

Komplexes Skalarprodukt

Abbildung h· , ·i : V × V → C auf einem komplexen Vektroraum V mit folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

h v, v i > 0 f¨ur v 6 = 0

• Schiefsymmetrie:

h u, v i = h v, u i

• Linearit¨at:

h λu + %v, w i = λ h u, w i + % h v, w i

Euklidisches Skalarprodukt

y ^∗ x = x 1 y ¯ 1 + · · · + x n y ¯ n

assoziierte Norm

| z | = p

| z 1 | ² + · · · + | z n | ²

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

|h u, v i| ≤ | u || v | , | w | = p h w, w i Gleichheit genau dann wenn u k v

bei reellem Skalarprodukt Definition eines Winkels α ∈ [0, π] via cos α = h u, v i

| u || v |

Norm

Abbildung k · k : V → R mit den folgenden Eigenschaften

• Positivit¨at:

k v k > 0 f¨ur v 6 = 0

• Homogenit¨at:

k λv k = | λ |k v k

• Dreiecksungleichung:

k u + v k ≤ k u k + k v k Norm, assoziiert mit einem Skalarprodukt

| u | = p h u, v i

Orthogonale Basis

h u i , u j i = 0, i 6 = j orthonormal, falls | u k | = 1

eindeutige Darstellung

v = X n k=1

c k u k , c k = h v, u k i

| u k | ² Norm: | v | ² = | c 1 | ² | u 1 | ² + · · · + | c n | ² | u n | ²

Orthogonale Projektion

Abbildung auf einen Unterraum U eines Vektorraums V

v 7→ P U (v) ∈ U ⊂ V, h v − P U (v), u i = 0 ∀ u ∈ U u 1 , . . . , u k orthogonale Basis von U = ⇒

P U (v) = X j k=1

h v, u k i h u k , u k i u k

Verfahren von Gram-Schmidt

induktive Orthogonalisierung einer Basis b 1 , . . . , b n

u _j = b _j − X

k<j

h b _j , u _k i

h u k , u k i u _k , j = 1, . . . , n

|h u k , u k i| = 1 bei Normierung, u j ← u j / | u j | , nach jedem Schritt

5.4 Lineare Abbildungen

Lineare Abbildung

Abbildung L : V → W zwischen Vektorr¨aumen

• additiv:

L(u + v) = L(u) + L(v)

• homogen:

L(λv) = λL(v)

insbesondere: L(0 V ) = 0 W , L( − v) = − L(v) Komposition linearer Abbildungen

Hintereinanderausf¨uhrung linearer Abbildungen S : U → V , T : V → W lineare Abbildung

T ◦ S : U → W, (T ◦ S)(u) = T (S(u)) Matrix

Rechteckschema mit m Zeilen und n Spalten

A = (a ij ) =



 

 

 

a 11 a 12 · · · a 1n

a 21 a 22 · · · a 2n

... ... ...

a m1 a m2 · · · a mn



 

 

 

komponentenweise Definition von Operationen

C = A ± B ⇔ c ij = a ij ± b ij , B = λA ⇔ b ij = λa ij

Matrix einer linearen Abbildung

lineare Abbildung L : V 7−→ W zwischen Vektorr¨aumen mit Basen E = { e 1 , . . . , e n } und F = { f 1 , . . . , f m } eindeutig bestimmt durch die Bilder der Basisvektoren

L(e j ) = a 1,j f 1 + · · · + a m,j f m

lineare Abbildung der Koordinaten

w F = Av E ⇔ w i = X n

j=1

a i,j v j , i = 1, . . . , m Affine Abbildung

affine Abbildung f : R ⁿ → R ^m :

f (x) = Ax + v v: Bild des Nullvektors

A: m × n-Matrix mit Spalten a 1:m,k = f (e k ) − v

Basiswechsel

Transformation der Koordinaten bei einem Basiswechsel E → E ⁰ v _E

= Av _E , e _k = X

j

a _jk e ⁰ _j

Bild und Kern

lineare Abbildung L : V → W

Kern L = { v ∈ V : L(v) = 0 } ⊆ V

Bild L = { w ∈ W : ∃ v ∈ V mit L(v) = w } ⊆ W dim V < ∞ = ⇒

dim V = dim Kern(L) + dim Bild(L) Inverse Abbildung

L : V → W injektiv ⇔ Kern L = 0 _V lineare Umkehrabbildung

w 7→ v, w = L(v)

5.5 Matrizrechnung

Matrix-Multiplikation

A : m × n, B : n × ` C : m × `

C = AB, c ik = X n

j=1

a ij b jk , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ k ≤ ` Komposition der linearen Abbildungen u 7→ v = Bu, v 7→ w = Av

i.a. nicht kommutativ Inverse Matrix

AA ^{− 1} = A ^{− 1} A = E Invertierung von Matrixprodukten: (AB) ⁻¹ = B ⁻¹ A ⁻¹

Transponierte, adjungierte, symmetrische und hermitesche Matrix transponierte Matrix

B = A ^t ⇔ b i,j = a j,i

symmetrisch: A = A ^t adjungierte Matrix

C = A ^∗ = ¯ A ^t ⇔ c i,j = ¯ a j,i

selbst-adjungiert oder Hermitesch: A = A ^∗ Regeln

(AB) ^t = B ^t A ^t und (AB) ^∗ = B ^∗ A ^∗ , (A ^t ) ^{− 1} = (A ^{− 1} ) ^t und (A ^∗ ) ^{− 1} = (A ^{− 1} ) ^∗ Spur einer Matrix

Spur(A) = X n k=1

a kk

Regeln

Spur(AB) = Spur(BA), Spur(T ^{− 1} AT ) = Spur(A)

Rang einer Matrix

maximale Anzahl linear unabh¨angiger Spalten bzw. Zeilen

Matrix-Norm zugeordnet

k A k = sup

x 6 =0

k Ax k

k x k = max

k x k =1 k Ax k submultiplikativ, d.h. k AB k ≤ k A kk B k

euklische Norm

k A k 2 = max { √

λ : A ^∗ Av = λv } Zeilensummennorm

k A k ∞ = max

j

X

k

| a jk |

Orthogonale und unit¨ are Matrix

unit¨ar: Spalten bilden orthonormale Basis

A ^{− 1} = A ^t = A ^∗ orthogonal: Spezialfall reeller Matrizen, A ⁻¹ = A ^t

Invarianz der euklidischen Norm: | Av | = | v | Normale Matrizen

A normal ⇔ AA ^∗ = A ^∗ A, A ^∗ = ¯ A ^t bzw. AA ^t = A ^t A f¨ur reelles A

unit¨ar, hermitesch, orthogonal oder symmetrisch = ⇒ normal Zyklische Matrizen

generiert durch zyklisches Verschieben der ersten Spalte



 

 

 

a ₀ a _n−1 a _n−2 . . . a 1 a 0 a n − 1 . . . a 2 a 1 a 0 . . .

... ... ...



 

 

 

zyklische Struktur kompatibel mit Matrixmultiplikation Positiv definite Matrix

v ^∗ Av > 0 ∀ v 6 = 0

positive Diagonalelemente und Eigenwerte, positiv definite Inverse

semidefinit, falls v ^∗ Av ≥ 0

5.6 Determinanten

Determinante

Schreibweisen

det A = det(a ₁ , . . . , a _n ) = | A | =

a 11 · · · a 1n

... ...

a n1 · · · a nn

mit a k den Spalten von A

definierende Eigenschaften

• Multilineari¨at:

det(. . . , αa j + βb j , . . .) = α det(. . . , a j , . . .) + β det(. . . , b j , . . .)

• Antisymmetrie:

det(. . . , a j , . . . , a k , . . .) = − det(. . . , a k , . . . , a j , . . .)

• Normierung:

det(e 1 , . . . , e n ) = 1 , (e k ) <sub>`</sub> = δ k`

f¨ur die Einheitsvektoren e _k

Entwicklung als Summe n-facher Produkte

det A = X

i ∈ S

σ(i) a i

,1 · · · a i

,n

mit σ(i) dem Vorzeichen der Permutation (i 1 , . . . , i n ) Determinante als Volumen

Volumen des von a 1 , . . . , a n aufgespannten Spats

| det A | = vol ( _n

X

i=1

α i a i : 0 ≤ α i ≤ 1 )

= vol (A[0, 1] ⁿ )

Determinanten spezieller Matrizen

• Dreiecksmatrix: a ij = 0 f¨ur i < j oder i > j = ⇒

det A = a 11 · · · a nn

• Blockdiagonalmatrix: Blockstruktur mit A ij = 0, i 6 = j, und quadratischen Diagonalbl¨ocken A ii = ⇒ det A =

Y k i=1

det A _ii

• Orthogonale und unit¨are Matrizen:

| det U | = 1

Eigenschaften von Determinanten

det A

• invariant bei Addition eines Vielfachen einer Spalte (Zeile) zu einer anderen Spalte (Zeile)

• null bei zwei gleichen Spalten (Zeilen)

• Vorzeichen¨anderung bei Vertauschung von Spalten (Zeilen) sukzessive Transformation auf Dreiecksform

Regeln

detA = detA ^t , det(A ^-1 ) = (detA) ⁻¹ , det(AB) = (detA)(detB)

Entwicklungssatz f¨ ur Determinanten

det A = P n j=1

( − 1) ^k+j a kj det ˜ A kj (Entwicklung nach Zeile k)

= P n i=1

( − 1) <sup>i+`</sup> a i` det ˜ A i` (Entwicklung nach Spalte l)

mit ˜ A ij der Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile j -ten Spalte entsteht

5.7 Lineare Gleichungssysteme und Ausgleichsprobleme

Lineares Gleichungssystem

a 1,1 x 1 + · · · + a 1,n x n = b 1

... ... ... ... ... ...

a m,1 x 1 + · · · + a m,n x n = b m

⇔ Ax = b

homogen (inhomogen): b = 0 (b 6 = 0)

uberbestimmt, falls unl¨osbar (im Allgemeinen f¨ur ¨ m > n)

unterbestimmt, falls keine eindeutige L¨osung (im Allgemeinen f¨ur m < n) L¨ osungsmenge eines linearen Gleichungssystems

Ax = a ₁ x ₁ + · · · a _n x _n = b ∈ R ^m mit a k den Spalten von A

(i) homogenenes System (b = 0):

immer l¨osbar, linearer L¨osungsraum Kern A

eindeutige L¨osung x = 0, falls a k linear unabh¨angig (ii) inhomogenes System (b 6 = 0):

l¨osbar genau dann wenn b ∈ Bild A (b als Linearkombination von a k darstellbar) affiner L¨osungsraum

x _∗ + Kern A mit einer speziellen L¨osung x _∗

eindeutig, falls Kern A = 0 Cramersche Regel

Ax = b ⇔ x _i det A = det(a ₁ , . . . , a _i−1 , b, a _i+1 , . . . , a _n ) mit a k den Spalten der quadratischen Matrix A

eindeutige L¨osung f¨ur belibieges b, falls det A 6 = 0

b = e j (Einheitsvektoren) Koeffizienten der Inversen C = A ^{− 1}

c i,j = det(a 1 , . . . , a i − 1 , e j , a i+1 , . . . , a n )

det A

R¨ uckw¨ arts-Einsetzen



 



r 1,1 · · · r 1,n

. .. ...

0 r n,n



 





 

 x 1

...

x n



 

 =



 

 b 1

...

b n



 



sukzessive Berechnung der Unbekannten

x ` = (b ` − r `,`+1 x `+1 − · · · − r `,n x n ) /r `,` , ` = n, . . . , 1

Gauß-Elimination

Transformation auf obere Dreiecksform nach ` − 1 Schritten

a 1,1 x 1 + a 1,2 x 2 + . . . + a 1,` x ` + . . . + a 1,n x n = b 1

a 2,2 x 2 + . . . + a 2,` x ` + . . . + a 2,n x n = b 2

... ... ...

a `,` x ` + . . . + a `,n x n = b `

a _`+1,` x _{`</sub> + . . . + a <sub>`+1,n} x _n = b _`+1

... ... ...

a n,` x ` + . . . + a n,n x n = b n

`-ter Eliminationsschritt

• evtl. Vertauschung von Zeilen, so dass a `,` 6 = 0

• Subtraktion von Vielfachen der `-ten Zeile:

f¨ur i > ` und j ≥ `

a i,j ← a i,j − q i a `,j , b i ← b i − q i b ` (q i = a i,` /a `,` ) Nullen unterhalb von a ``

Zeilenstufenform eines Gleichungssystems

Ax = b ⇔



 

 

 

0...0 p 1 ∗ ... ∗

0 0...0 p 2 ∗ ... ∗

0 0...0 p 3 ∗ ...

. ..



 

 

 



 

 x 1

...

x n



 

 =



 

 c 1

...

c m



 



mit Pivots p ₁ , . . . , p _k 6 = 0, k = Rang A

sukzessive Umformung analog zur Gauß-Elimination

L¨ osung eines linearen Gleichungssystems in Zeilenstufenform



 

 

 

0 . . . 0 p 1 ∗ . . . ∗

0 0 . . . 0 p 2 ∗ . . . ∗

0 0 . . . 0 p 3 ∗ . . . ∗ . ..



 

 

 



 

 x 1

...

x n



 

 =



 

 c 1

...

c m



 



mit Pivots p 1 , . . . , p k 6 = 0

l¨osbar genau dann wenn c k+1 = · · · = c m = 0 (i) k = n eindeutige L¨osung

(ii) k < n n − k linear unabh¨angige L¨osungen des homogenen linearen Gleichungssystems (c i = 0)

Unbekannte, die den Spalten ohne Pivots entsprechen, frei w¨ahlbar

5.8 Eigenwerte, Normalformen und Singul¨ arwertzerlegung

Eigenwert, Eigenvektor und Eigenraum

Eigenvektor v zum Eigenwert λ einer quadratischen Matrix A Av = λv, v 6 = 0 Eigenraum: V _λ = Kern(A − λE)

Ahnlichkeitstransformation ¨ Basiswechsel

A → B = Q ⁻¹ AQ erh¨alt Eigenwerte

v Eigenvektor von A ⇔ w = Q ^{− 1} v Eigenvektor von B Charakteristisches Polynom

p A (λ) = det(A − λE) =

a ₁₁ − λ a ₁₂ . . . a _1n a 21 a 22 − λ . . . a 2n

... ... . .. ...

a n1 a n2 . . . a nn − λ

= (λ ₁ − λ) · · · (λ _n − λ) Eigenwerte λ k : Nullstellen von p A

X n k=1

λ k = Spur A, Y n k=1

λ k = det A

Eigenvektoren v: nicht-triviale L¨osungen des homogenen linearen Gleichungssystems (A − λE)v = 0

Konstruktion einer Basis f¨ur den Eigenraum V λ = Kern(A − λE) durch Transformation auf Zeilenstufen- form

Algebraische und geometrische Vielfachheit

algebraische Vielfachheit m _λ : Ordnung der Nullstelle des charakteristischen Polynoms p A (λ) = det(A − λE n )

geometrische Vielfachheit d λ : Dimension des Eigenraums V λ = Kern(A − λE n ) Beziehungen zwischen m und d

d λ ≤ m λ , X

λ

m λ = n, d λ = n − Rang(A − λE )

Summe und Produkt von Eigenwerten

X n k=1

λ _k = Spur A, Y n k=1

λ _k = det A mehrfache Eigenwerte entsprechend ihrer algebraischen Vielfachheit gez¨ahlt Basis aus Eigenvektoren

Basis aus Eigenvektoren v k mit Eigenwerten λ k zu A Diagonalisierung

V ^{− 1} AV = diag(λ 1 , . . . , λ n ), V = (v 1 , . . . , v n )

5.9 Normalformen

Diagonalisierung zyklischer Matrizen Eigenvektoren: Spalten der Fourier-Matrix

W = (w ^jk ) j,k=0,...,n−1 , w = exp(2πi/n) Diagonalform

1 n W



 

 

 

a 0 a _n−1 · · · a 1

a 1 a 0 · · · a 2

... . .. ...

a n − 1 a n − 2 · · · a 0



 

 

  W =



 



λ 1 · · · 0 ... ... ...

0 · · · λ n



 



mit den Eigenwerten

λ ` =

n − 1

X

k=0

a k w <sup>− k`</sup> , ` = 0, . . . , n − 1 Unit¨ are Diagonalisierung

A normal, d.h. A ^∗ A = AA ^∗ ⇔

U ^{− 1} AU = diag(λ 1 , . . . , λ n )

mit einer unit¨aren Matrix U (Spalten: orthonormale Basis aus Eigenvektoren) Diagonalisierung hermitescher Matrizen

A = A ^∗ = ⇒ reelle Eigenwerte und Orthonormalbasis aus Eigenvektoren u k

U ^∗ AU = diag(λ 1 , . . . , λ n ), U = (u 1 , . . . , u n ) hermitesch ⇔ symmetrisch f¨ur reelle Matrizen

Rayleigh-Quotient

S hermitesch positiv definit = ⇒

r S (x) = x ^∗ Sx

x ^∗ x , x 6 = 0 f¨ur kleinsten und gr¨oßten Eigenwert extremal

Jordan-Form

Ahnlichkeitstranformation auf die Blockdiagonalform ¨

J =



 



J 1 0

. ..

0 J k



 

 = Q ^{− 1} AQ, J _i =



 

 

 

 



λ i 1 0

0 λ i 1 . .. ...

λ i 1

0 λ _i



 

 

 

 



mit λ i den Eigenwerten von A

Dominanter Eigenwert

λ betragsm¨aßig gr¨oßter Eigenwert von A mit Eigenvektor v = ⇒ A ⁿ x = λ ⁿ (cv + o(1)), n → ∞ , falls x eine nichttriviale Komponente im Eigenraum von λ hat Konvergenz von Matrix-Potenzen

A ⁿ → 0 ⇔ | λ k | < 1 ∀ k

A ⁿ beschr¨ankt ⇔ | λ k | ≤ 1 ∀ k und | λ k | = 1 nur f¨ur Eigenwerte mit gleicher algebraischer und geome- trischer Vielfachheit

Divergenz von A ⁿ in allen anderen F¨allen

5.10 Ausgleichsprobleme

Ausgleichsgerade

lineare Approximation von Daten (t k , f k ) durch Minimierung der Fehlerquadratsumme X n

k=1

(f _k − p(t _k )) ² , p(t) = u + vt

eindeutig l¨osbar bei mindestens zwei verschiedenen Abszissen t i

u = ( P t ² _i )( P

f _i ) − ( P t _i )( P

t _i f _i ) n( P

t ² _i ) − ( P

t i ) ² , v = n( P

t _i f _i ) − ( P t _i )( P

f _i ) n( P

t ² _i ) − ( P t i ) ²

Normalengleichungen

| Ax − b | → min ⇔ A ^t Ax = A ^t b eindeutige L¨osung x, falls die Spalten von A linear unabh¨angig sind Singul¨ arwert-Zerlegung

U ^∗ AV = S =



 



s 1 0

s ₂ 0 . ..



 

 , s 1 ≥ · · · ≥ s k > s k+1 = · · · = 0 mit k = Rang A

singul¨are Werte s j : Wurzeln der Eigenwerte von A ^∗ A

Spalten u j von U und v j von V : orthonormale Basen aus Eigenvektoren von AA ^∗ bzw. A ^∗ A

Av j = s j u j , Ax = X k

i=1

s i (v ^∗ _i x)u i

Pseudo-Inverse

A ⁺ = V S ⁺ U ^∗ , S ⁺ = diag(1/s 1 , . . . , 1/s k , 0, . . . , 0) mit s i > 0 den Singul¨arwerten von A

x = A ⁺ b: Minimum-Norm-L¨osung des Ausgleichsproblems | Ax − b | → min

5.11 Orthogonale Transformationen und Quadriken

Spiegelung

(orthogonale) Spiegelungsmatrix

Q = E − 2

| d | ² dd ^t mit d einem Normalenvektor der Spiegelungsebene

Drehung

Drehung um den Winkel ϕ in der x i x j -Ebene Drehmatrix Q i,j

Zeile i →

Zeile j →



 

 

 

 

 

 

 



1 0

. ..

c − s

. ..

s c

. ..

0 1



 

 

 

 

 

 

 



mit c = cos ϕ und s = sin ϕ Q orthogonal, det Q = 1 = ⇒

Q = Y

i<j

Q i,j

Drehung im Raum

x 7→ Qx = cos ϕ x + (1 − cos ϕ)uu ^t x + sin ϕ u × x

mit normierter Drehachsenrichtung u, Drehwinkel ϕ (orientiert wie eine Rechtsschraube) und × dem Kreuzprodukt

Qu = u, cos ϕ = (Spur Q − 1)/2 entsprechende Drehmatrix

Q : q ik = cos ϕ δ ik + (1 − cos ϕ) u i u k + sin ϕ X

j

ε ijk u j

Drehachse und Drehwinkel

Jede Drehung Q im R ³ besitzt eine Drehachse, d.h. l¨asst einen Einheitsvektor u invariant, und entspricht einer ebenen Drehung um einen Winkel ϕ in der zu u orthogonalen Ebene.

Bez¨uglich eines orthonormalen Rechtssystems u, v, w besitzt Q die Matrixdarstellung

Q ˜ =



 



1 0 0

0 cos ϕ − sin ϕ 0 sin ϕ cos ϕ



 

 .

Insbesondere gilt f¨ur den Drehwinkel

cos ϕ = 1

2 (Spur Q − 1) .

Quadrik

Q : x ^t Ax + 2b ^t x + c = 0 homogene Form: Q : ˜ x ^t A˜ ˜ x = 0 mit

A ˜ =



 c b ^t b A



 , x ˜ ^t = (1, x 1 , . . . , x n )

Klassifizierung

• kegelige Quadrik: Rang ˜ A = Rang A

• Mittelpunktsquadrik: Rang ˜ A = Rang A + 1

• parabolische Quadrik: Rang ˜ A = Rang A + 2

Hauptachsentransformation

Drehung und Verschiebung Normalform x ^t Ax + 2b ^t x + c =

X m i=1

λ i w ² _i + 2βw m+1 + γ , x = U w + v mit m = Rang A und βγ = 0

Spalten der Drehmatrix U : Eigenvektoren u _i (Hauptachsen) zu den Eigenwerten λ _i von A

Verschiebungsvektor v: Mittelpunkt der Quadrik

Kegelschnitt

Doppel-Kegel mit Spitze p (p 3 6 = 0), Richtung v und ¨ Offnungswinkel α K : (x − p) ^t v = ± cos α

2 | x − p || v | Schnitt mit der Ebene E : x 3 = 0 ebene Quadrik

Typ bestimmt durch Winkel β der Achse mit der Ebene E

Ellipse: β > α/2 Parabel: β = α/2 Hyperbel: β < α/2

Euklidische Normalformen der zweidimensionalen Quadriken

• Kegelige Quadriken

Normalform Bezeichnung

x

a

+ ^x _a

2

= 0 Punkt

x

a

− ^x _a

2

= 0 schneidendes Geradenpaar

x

a

= 0 Doppelgerade

• Mittelpunktsquadriken

Normalform Bezeichnung

x

a

+ ^x _a

2

+ 1 = 0 (leere Menge)

x

a

− ^x _a

2

+ 1 = 0 Hyperbel

− ^x _a

1

− ^x _a

2

+ 1 = 0 Ellipse

x

a

+ 1 = 0 (leere Menge)

− ^x _a

1

+ 1 = 0 paralleles Geradenpaar

• Parabolische Quadriken Normalform Bezeichnung

x

a

+ 2x 2 = 0 Parabel

Euklidische Normalformen der dreidimensionalen Quadriken

• Kegelige Quadriken

Normalform Bezeichnung

x

a

+ ^x _a

2

+ ^x _a

3

= 0 Punkt

x

a

+ ^x _a

2

− ^x _a

3

= 0 (Doppel-)Kegel

x

a

+ ^x _a

2

= 0 Gerade

x

a

− ^x _a

2

= 0 schneidende Ebenen

x

a

= 0 Doppelebene

• Mittelpunktsquadriken

Normalform Bezeichnung

x

a

+ ^x _a

2

+ ^x _a

3

+ 1 = 0 (leere Menge)

x

a

+ ^x _a

2

− ^x _a

+ 1 = 0 zweischaliges Hyperboloid

x

a

− ^x _a

2

− ^x _a

3

+ 1 = 0 einschaliges Hyperboloid

− ^x _a

1

− ^x _a

2

− ^x _a

3

+ 1 = 0 Ellipsoid

x

a

+ ^x _a

2

+ 1 = 0 (leere Menge)

x

a

− ^x _a

2

+ 1 = 0 hyperbolischer Zylinder

− ^x _a

1

− ^x _a

2

+ 1 = 0 elliptischer Zylinder

x

a

+ 1 = 0 (leere Menge)

− ^x _a

1

+ 1 = 0 parallele Ebenen

• Parabolische Quadriken

Normalform Bezeichnung

x

a

+ ^x _a

2

+ 2x 3 = 0 elliptisches Paraboloid

x

a

− ^x _a

2

+ 2x ₃ = 0 hyperbolisches Paraboloid

x

a

+ 2x 2 = 0 parabolischer Zylinder