Lineare Algebra ¨ Ubungsblatt 5: Diagonalisierung
1. Sind die folgende Matrizen diagonalisierbar? Falls ja, geben Sie die Matrix P an, die die jeweilige Matrix diagonalisiert. Geben Sie außerdem die Diagonalmatrix P
−1AP an.
(a) 1 −1
−6 0
!
(b)
1 0 0 1 2 0
−3 5 2
(c)
0 0 −2
1 2 1
1 0 3
2. Bestimmen Sie eine orthogonale Matrix, die die Matrix E − ~ v~ v
T(E Einheitsmatrix, ~ v =
1 0 1
) diagonalisiert.
3. Berechnen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A = 1 −1
−1 1
! . Berechnen Sie jetzt A7.
Tipp: Verwenden Sie P
−1· A · P = D
Lineare Algebra ¨ Ubungsblatt 5: L¨ osungen
1. (a) A ist diagonalisierbar. P = −
√15
√1 2 10
√5
√3 10
!
, P
−1AP = 3 0 0 −2
!
(b) A ist nicht diagonalisierbar, da der doppelte Eigenwert λ = 2 nur einen zugeh¨ origen Eigenvektor hat.
(c) P =
−
√12
0 −
√26
0 1
√11 6
√2
0
√16
, P
−1AP =
2 0 0 0 2 0 0 0 1
2. E − ~ v~ v
T=
0 0 −1
0 1 0
−1 0 0
, P =
−
√12
0
√12
0 1 0
√1
2
0
√12
3. λ
1= 0, ~ x
ev1= −
√ 2 2
−
√ 2 2
! , λ2 = 2, ~ x
ev2 = −
√2
√2 2 2
