Übungsaufgaben zur Finanzmathematik - Lösungen 1. Eine Bank lockt mit dem Angebot "

(1)

Übungsaufgaben zu r Finanzmathematik - Lösungen

1. Eine Bank lockt mit dem Angebot " Wir verdoppeln ihr Kapital in 20 Jahren !! ".

a) Welche Verzinsung bietet Ihnen die Bank ?

( )

( ) ( )

( )

(

1

)

; 2

(

1

)

; 2 1 ; 2 1 0,0353ˆ ³^,⁵³^%^;

2

;

; 1

; ˆ 1

;

% ˆ1 01 , 0

;

% ˆ10 1 , 0 : . .

;

; .

; 2

;

"

; 1 :

; 1

20 20 20

20 0

0

20 0

0 20

0 0

=

−

⇒ = +

⋅

=

⋅

= +

⋅

=

+

=

⋅

= +

=

⋅

= +

⋅

=

i i

K K

gesucht i

i K

K

i sfaktor Aufzinsung q

B z Zinsrate i

raumes Anlagezeit

des Länge od

Laufzeit n

Barwert od

ital Anfangskap K

Endwert od

Endkapital K

K K

rechnung Zinseszins

i q q K i K

K

n n n

b) Nach wie vielen Jahren hat sich Ihr Kapital verdreifacht ?

( )

^ln¹^,⁰³⁵²⁶⁴ ³¹^,⁷ ^;

3 ln 035264

, 0 1 ln

ln 3

ln ; ln

; 3 3

. 4 82 .

0 0 0

0

Jahre K

K q n

K K n

K K

Satz S

n

= + =







 ⋅

⇒ =









=

⋅

=

2. Beim Diskontieren von Wechseln wird die einfache, vorschüssige Verzinsung benutzt.

Sie reichen bei Ihrer Bank einen Wechsel in Höhe von 3000 Euro 20 Tage vor Fälligkeit ein. Welchen Betrag erhalten Sie bei einer Verzinsung von 5% ?

( )

⁰^,⁰⁵ ²⁹⁹¹^,⁶⁷^€^;

360 1 20 3000

; 1

. .

3000 ,

360;

" 20

" 360

; Zinsen"

einfache v

"

1 ;

0 0

=



 



 − ⋅

⋅

⇒ =

⋅

−

⋅

=

⇒ =

⋅

= −

K i

n K

K

gesucht wird

K sein EUR

als kleiner muß

Betrag der

Vorsicht

Aktuell n e

orschüssig i

n K K

n n

3. Gegeben sei ein Startkapital von 200 Euro.

a) Welches Endkapital hat man bei stetiger Verzinsung mit 3% nach zwei Jahren ?

;

€ 37 , 212 200

.

; 2

; 03 , 0

; 200 K

;

"

Verzinsung stetige

"

;

2 03 , 0 2

2

0 0

=

⋅

=

⋅

=

⋅

e K

gesucht ist

K

n i

e K

K_n ⁱ^Sⁿ _S

(2)

b) Wie groß müßte der Zins bei exponentieller Verzinsung sein, um nach einem Jahr den gleichen Zinsbetrag zu bekommen wie bei stetiger Verzinsung ?

; 1

−

=eⁱ^S

i “exponentielle Verzinsung“; i kann auch Zinsintensität genannt werden. _S

;

% 05 , 3 ˆ 03045 , 0

03 1

,

0 − = =

=e i

4. Sie haben bei einer Lotterie für 20 Euro ein Los gekauft. Das Los ist scheinbar ein

"Glückstreffer", denn Sie können zwischen drei Alternativen wählen:

• A1: Sie erhalten Ihren Einsatz sofort zurück.

d.h. 20 € werden jetzt für 3 Jahre zu 10% Zins angelegt, um die Alternativen vergleichbar zu machen.

(

¹ ⁱ

)

ⁿ^;

BW

EW = ⋅ + „Zinseszinsrechnung“

(

¹ ⁰^,¹⁰

)

²⁶^,⁶²^€^;

20⋅ + ³ =

= EW

• A2: Sie erhalten in einem Jahr 11 Euro, in zwei Jahren 12,10 Euro.

d.h. im ersten Jahr kann kein Geld angelegt werden. Nach einem Jahr können 11 € für noch 2 Jahre zu 10% Zins und nach 2 Jahren können weitere 12,10 € für noch 1 Jahr zu 10% Zins angelegt werden.

(

¹ ⁰^,¹

)

¹²^,¹⁰

(

¹ ⁰^,¹

)

¹¹ ¹^,²¹ ¹²^,¹ ¹^,¹ ¹³^,³¹ ¹³^,³¹ ²⁶^,⁶²^€^;

00 ,

11 ⋅ + ² + ⋅ + ¹ = ⋅ + ⋅ = + =

= EW

• A3: Sie erhalten nach einem Jahr 5,50 Euro, nach zwei Jahren 6,05 Euro und 13,31 Euro nach drei Jahren.

d.h. keine Anlage im ersten Jahr. 5,50 € werden für 2 Jahre zu 10%, 6,05 € werden für 1 Jahr zu 10% und 13,31 € werden für 0 Jahre zu 10% angelegt.

( )

1,1 6,05

( )

1,1 13,31

( )

1,1 6,655 6,655 13,31 26,62€; 5

,

5 ⋅ ² + ⋅ ¹+ ⋅ ⁰ = + + =

= EW

Für welche Alternative entscheiden Sie sich, wenn derzeit ein Marktzins von 10%

herrscht ?

Freie Wahl, alle Alternativen wirken sich gleich aus.

5. Auf dem Kapitalmarkt liege das Zinsniveau bei 8,5%. Gegeben sei eine Anleihe mit 8% Zins und 4 Jahre Restlaufzeit, die zum Kurs von 101 getilgt wird.

a) Ermitteln Sie den Barwert dieser Anleihe ?

BW = Barwert z.B. aktueller Marktwert einer Anleihe

EW = Endwert z.B. Endvermögen bei Endfälligkeit einer Anleihe K = Kuponzahlung in % z.B. Verzinsung einer Anleihe

T = Tilgungskurs z.B. Nennwert einer Anleihe

r = Marktzinssatz p.a. z.B. Zinsniveau auf dem Kapitalmarkt.

n = (Rest-)Laufzeit in Jahren bzw. Zeitpunkt der letzten Zahlung.

( )

(

¹ ⁰^,⁰⁸⁵

)

⁹⁴^,¹¹⁷⁶⁴⁷ ⁶^,⁸⁸²⁴ ⁰^,⁷²¹⁶ ⁹⁹^,⁰⁸³⁸^;

085 , 0 101 8 085

, 0

8

;

"

; 1

4 = + ⋅ =

+

⋅



 



 −

+

=

+

⋅



 



 − +

=

−

BW

zept Barwertkon r r

T K r

BW K ⁿ

(3)

b) Ein Investor kauft für 10.000 Euro diese Anleihe. Über welches Endvermögen kann er verfügen ?

( ) ( ( ) )

( )

; 59 , 858 . 100 13

32 , 47 137 , 092 . 10

; 47 , 092 . 10 10000;

100 0838 , 99

; 32 , 137 085

, 0 1 0838 , 99

; 1 1

1

4

=

⋅

⇒ =

=

= +

⋅

=

+

− +

⋅

= +

⋅

=

N N EW

T r r

r K BW

EW ⁿ ⁿ

ausgelassen

6. Gegeben sind die Spot Rates 8%, 8,25% und 8,5% für l-,2- und 3-jährige Fristigkeiten.

Wir betrachten eine 9%-Anleihe mit einer Restlaufzeit von 3 Jahren, die zu 100 getilgt wird.

a) Berechnen Sie den Barwert dieser Anleihe.

b) Ermitteln Sie den Barwert der Anleihe aus den dazugehörigen Diskontierungsfak- toren.

c) Ermitteln Sie den Barwert der Anleihe aus den äquivalenten Forward Rates.

7. Gegeben sei eine Anleihe A mit 10% Nominalzins, einem Preis von 105 und einer Restlaufzeit von 2 Jahren, die zum Kurs von T = 100 getilgt wird.

a) Berechnen Sie den Effektivzins der Anleihe A!

BP = Börsenpreis (Barwert);

K = Kuponzahlung, Nominalzins in % z.B. Verzinsung einer Anleihe;

T = Tilgungskurs z.B. Nennwert einer Anleihe n = Laufzeit

i = Effektivverzinsung

( ) [ ( ) ]

( ) ( )

(

¹⁰⁵^,¹⁰^,¹¹⁰

)

^; ^;

:

;

% 23 , 7

; 072258 ,

0

210 ; 46300 200

105 2

15 105 4 40000 200

; 0 15 200 105

; 0 100 2

10 1

105

; 0 100 1 1

10 1

105

;

; 0 1

1 1

2 , 1

2 2

rom Zahlungsst I

e Alternativ

i i

i

i i

i rzinsung Effektivve

i T i

K i i

BP ⁿ ⁿ

−

=

±

= −

⋅

⋅ +

±

= −

=

− +

=

− +

⋅

− +

⋅

=

⋅

−

− +

⋅

− +

⋅

=

⋅

−

− +

⋅

− +

⋅

(4)

b) Welche Kuponhöhe müßte bei halbjährlicher Zinszahlung die Anleihe A haben (d.h.

zweimal pro Jahr die Hälfte des Zinses), so daß sich ihr ursprünglich berechneter Effektivzins nicht ändert ?

Zinssatz effektiver

i

Jahr pro ne stermi Zin q

g unterjähri g

Zinszahlun pro

Zinssatz i

satz Jahreszins i

eff q

=

) (

(

¹

)

¹^; ^;

q i i i

i_eff = + _q ^q − _q = „Effektiver Zinssatz“

; 2

%;

ˆ10 10 ,

0 q gesuchtisti i₂

i_eff = = = = ⋅

( ) ( ) ( ) ( )

(

¹ ⁰^,¹

)

¹ ¹^,¹ ¹ ⁰^,⁰⁴⁸⁸⁰^; ² ⁰^,⁰⁴⁸⁸⁰ ⁰^,⁰⁹⁷⁶ ^ˆ ⁹^,⁷⁶^%^;

; 1 1

; 1

1

; 1 1

2 1 2

1 2

1 1

=

⋅

⇒ =

=

−

=

− +

=

− +

⇒ = +

=

⇒ + +

=

⇒ +

− +

=

i i

i

i_eff _q ^q _eff _q ^q _q _eff ^q _q _eff ^q

8. Die Darlehenssumme beträgt 1000 Euro, jedoch behält der Darlehensgeber 50 Euro für Kreditwürdigkeitsprüfung- und Bearbeitungskosten ein, so daß sich der Auszahlungs- betrag des Darlehens auf 950 Euro beläuft. Die Rückzahlung erfolgt wie im ersten Vorlesungsbeispiel 1,5 Jahre nach der Darlehensaufnahme. Welcher Effektivzins ergibt sich ?

( )

;

% 85 , ˆ16 168526 ,

0

; 950 1

; 1200 950

1 1200 950 ;

1 1200

; 1

950 1200 ³

2 3

2 2

3

2 3

=

 −



 



=

 ⇒



 



=

⇒ +

=

⇒ + +

=

i

i i

9. Die Darlehenssumme S beträgt 1000 Euro. Der Darlehensnehmer hat folgende Raten zurückzuzahlen:

• nach 3 Monaten: 272 Euro,

• nach 6 Monaten: 272 Euro,

• nach 12 Monaten: 544 Euro.

Stellen Sie die Gleichung zur Bestimmung des Effektivzinses auf !

( ) ( ) ( )

;

% 19 , ˆ13 13185 , 0

; 1

544 1

272 1

1000 272

12 12 12

6 12

3 = =

+ + + + +

= i

i i

i ausgelassen

10. Berechnen Sie die Duration folgender endfälliger Anleihen mit einem Nennwert von jeweils 100:

a) Anleihe A: k=6%, n=3, b) Anleihe B: k=12%, n=5,5 .

Das derzeitige Zinsniveau am Markt betrage 9%.

(5)

11. Ein Spekulationsgewinn in Höhe von 25.000 Euro wird zu 5% angelegt. Der Spekulant hebt 10 Jahre lang jährlich nachschüssig jeweils 3000 Euro ab. Wie hoch ist das Kapital nach 10 Jahren ?

( )

²⁹⁸⁸^,⁶⁹^€^;

1 05 , 1

1 05 , 3000 1 05

, 1 25000

; 3000 1 ;

1

; ,

;

; 05 , 1

; 05 , 0

; 25000

; 1 :

; 1

10 10

0 0

0

=









−

⋅ −

−

⋅

=

−

=

− =

⋅ −

=

= +

=

⋅

= +

⋅

=

R K K

q r r q R

Zahlungen anten

konst von ge Fol entenrate R

r rt entenendwe R

R

q i

K i q q K i K

K

Ende n n

n

n n n

12.

a) Jemand erbt eine jährlich vorschüssige, zehnmal zahlbare Rente von 1000 Euro.

Wie hoch wäre bei einem Zinssatz von 5% seine heutige Abfindung ?

;

€ 82 , 05 8107

, 1

79 , 13206

;

€ 79 , 13206 1

05 , 1

1 05 , 05 1 , 1 1000

;

Rente ge vorschüssi 1 ;

1

; 1 1

1

0 10 10

10

0 0 1

=

′ =

− =

⋅ −

⋅

′ =

=

′ =

= ′

−

⋅ −

⋅

′ =

−

⋅ −

⋅

′ =

−

R R

entenrate R

r rt entenbarwe R

R rt entenendwe R

R

q R q

q r q

q R q q r R

n

n n n

n n

n

b) Auf welchen Endwert wachsen 10 Sparraten von jeweils 1000 Euro, zahlbar am Anfang eines Jahres, an bei einem Zinssatz von 5% ?

12a R10

siehe ⇒ ′ ;

c) Welcher Endwert ergibt sich, wenn die Sparraten am Ende des Jahres zu zahlen sind ?

;

€ 89 , 12577 1

05 , 1

1 05 , 1000 1 1 ;

1 ¹⁰

10 =

−

⋅ −

⇒ =

−

⋅ −

= R

q r q R

n n

13. Ein Bankkunde hat ein Guthaben von 100.000 Euro.

a) Welche jährliche Rentenzahlung könnte er bei einem Zinssatz von 6% p.a. bei ewiger Rente bekommen ?

;

€ 6000 06

, 0 100000

; R r

Rente"

ewige

"

;

0 0

=

⋅

⇒ =

⋅

=

r i

i R r

(6)

b) Wieviele Jahre würde das Guthaben reichen, wenn er die doppelte Rente bekäme ? Wie hoch ist dann die letzte Zahlung ?

( )

€ 10.780,36 1,06

10.170,15 :

Jahres 12.

des Ende Am

€ 15 , 170 . 10 )

(

€ 71 , 659 . 1 179

. 1 / .

€ 86 , 829 . 189 11

; 8956

, 06 11 , 1 ln

5 , 0 ln 06

, 0 1 ln

06 , 12000 0 100000 1

ln

; 12000 1 ;

ln 1 ln

"

1 ; 1 1

11 11

11 0 11

0

=

⋅

⇒ =

− =

⋅ −

=

⋅

=

≈

− + =



 



 − ⋅

−

=

+ =



 



 − ⋅

−

⇒ =

−

⋅ −

⋅

=

est R Rate letzte

q r q R rt

entenendwe R

q K K Jahren

Nach

Jahre n

i r r i R n

auflösen n

q nach q r q

R

n n

14. Für einen Ratenkredit in Höhe von 80.000 Euro erhebt die Bank 10% p.a.

a) Wie hoch muß die jährliche Tilgungsrate sein, damit der Kredit in 5 Jahren zurück- gezahlt ist ?

;

€ 000 . 5 16 80000

0 ;

5 = = ⇒ T = =

n T K T

b) Stellen Sie einen Tilgungsplan auf !

Jahr Restschuld Zins Annuität 0 80.000 €

1 64.000 € 8.000 € 24.000 € 2 48.000 € 6.400 € 22.400 € 3 32.000 € 4.800 € 20.800 € 4 16.000 € 3.200 € 19.200 €

5 0 € 1.600 € 17.600 €

c) Wie hoch ist der Barwert der Schuldnerbelastung bei einem Marktzins von 6% ?

∑

=

= +

+ +

+

=

⇒ =

=

5

1

5 4

3 2

1 1

€ 45 , 401 . 06 88

, 1 17600 06

, 1 19200 06

, 1 20800 06

, 1 22400 06

, 1 24000 06

,

; 1

t t t n

t t

t A

q BW BW A

15. Formen Sie den Ratenkredit aus der vorherigen Aufgabe mit gleicher Anfangsschuld, gleichem Zinssatz und gleicher Laufzeit in ein Annuitätendarlehen um und geben Sie den Tilgungsplan an. Ist bei einem unterstellten Marktzins von 6% die Annuitätentil- gung dem Ratenkredit vorzuziehen ?

Lösung auf separatem Beiblatt!

(7)

16. Bei Annuitätendarlehen wird aus steuerlichen Gründen häufig ein sog. Disagio (syn- onym: Damnum oder Abgeld) gewählt: man versteht darunter einen prozentualen Ab- zug vom nominellen Darlehensbetrag.

Eine Bank bietet bei einem Disagio von 4,6% ein Annuitätendarlehen zu 5% p.a. Zins an. Bei anfänglicher Tilgung von 1% wird monatliche Zins- und Tilgungsverrechnung vereinbart. Ein Kreditnehmer benötigt 100.000 Euro.

a) In welcher Höhe muß der Kredit aufgenommen werden ?

;

€ 80 , 821 . 6 104 , 4 100 000 100 .

100 =

⋅ −

b) Ermitteln Sie die monatliche Annuität !

;

€ 11 , 524

12 ; 09 , 241 . 5 12

05 , 0 80 , 821 . 104 12

05 , 0

12 ; 22 , 048 . 1 12

01 , 0 80 , 821 . 104 12

01 , 0

1 1 0 1

0 1

=

⋅

⇒ =

⋅ =

=

⋅ =

=

Z T A Z K T K

c) Welche Restschuld ergibt sich nach 5 Jahren ?

Achtung! Es sind monatliche Raten vereinbart, somit entsprechen 5 Jahre 60 Monaten und damit auch 60 Raten!

€;

30 , 881 . 00416 98

, 0

1 00416 , 11 1 , 524 00416

, 1 80 , 104821

; 00416 , 1 00416 , 0

~ 1 12;

; ~

~ 1

~ ~

60 60

60

60 60

0 60

− =

⋅

−

⋅

=

= +

=

− =

⋅

−

⋅

=

R

i q i q

i i A q q K R

d) Wie hoch ist die Tilgung nach 5 Jahren ?

; 64 , 111 00416

, 1 35 ,

~⁵⁹ 87 ⁵⁹

1

60 =T ⋅q = ⋅ =

T

e) Wann ist das Darlehen getilgt ?

( )

Monate oder

Monate Jahre

Monate n

q T

A q

T n A

i K A q T

i K A n A

11 10

35

; 92

, 00416 430

, 1 ln

35 , 87

11 , ln 524

~ ; ln ln ln~

ln ln

~;

~ ; ln ln ~ ln

1 1

0 1

0

⇒ +

=



 





=









− =

=

⋅

−

⋅ =

−

= −

17. Eine Investition sei durch folgende Zahlungsreihe gekennzeichnet:

Zeitpunkt t₀ t₁ t₂ t₃ t₄

Einzahlungen Auszahlungen

- 6.000

3.000 1.000

2.000 500

2.000 300

2.000 -

(8)

a) Handelt es sich um eine Normalinvestition ?

Die Zahlungsreihe beginnt mit einer Auszahlung: Ja;

Nach der Auszahlung folgen nur noch Einzahlungsüberschüsse: Ja;

Es herrscht Ausgabendeckung:

∑

^<

∑

^⇒

+ ⇒ +

+

<

+ +

+1000 500 300 3000 2000 2000 2000 Ausz Einz;

6000 Ja;

Somit handelt es sich um eine Normalinvestition.

b) Ermitteln Sie den Kapitalwert bei einem Kalkulationszins von 8% bzw. 6%.

( )

{ }

; 06 233 , 1

2000 06

, 1 1700 06

, 1 1500 06

, 1 6000 2000

; 08 43

, 1

2000 08

, 1 1700 08

, 1 1500 08

, 1 6000 2000

; 2000 , 1700 , 1500 , 2000 , 6000 :

. ,

1

;

; 0

;

4 3

2

% 1 6 0

4 3

2

% 1 8 0 0

0

1 0 0

= +

+ +

+

−

=

−

= +

+ +

+

−

=

− +

=

⋅ +

−

=

∑

=

−

bei bei

t t

t

n

t

t t

C C I

ist Zinsfuß der

i wobei i

q

t Periode der

in a über e en Einzahlung der

Überschuß c

Zeitpunkt zum

ng gsauszahlu Anschaffun

a

t Kapitalwer C

q c a

C

c) Wann ist die Investition sinnvoll ?

Eine Investition lohnt sich bei positiven Kapitalwert

(

^C₀ ^>⁰

)

, sie ist unzweckmäßig, wenn der Kapitalwert negativ ist

(

^C₀ ^<⁰

)

^.

Somit lohnt sich die Investition bei einem Zinssatz von 6%.

18. Gegeben sei eine Investition I =(−a₀,c,c,^K,c) mit konstanten Überschüßen .

,

1 n

t für c

c_t = = ^K

a) Vereinfachen Sie die Formel für den Kapitalwert C . ₀

[ ] [ ]

1;

1 ; 1

; 1 ...

...

;

0 0

2 1

0 1

2 1 0

0

1 0 0

n n

n n n n

n

t t n

t

t t

q i c q a C

q cq q a C eihe R e geomtrisch

q q

q cq a q

q q

q c a C

q c a C q

c a

C c c

⋅

⋅ − +

−

=

⇒

−

⋅ − +

−

⇒ =

⇒

+ ⇒ + + +

⋅ +

−

= + +

+ +

⋅ +

−

=

+ ⇒

−

⇒ =

⋅ +

−

=

−

− +

−

=

−

=

−

∑

(9)

b) Wie lautet eine einfache Formel für die Kapitalwertannuität c* ?

;

*

1 ;

* 1

; 1;

;

*

0

0 0

0

0 0

c w a c

c w a w w

c w a q w

i c q a c

einsetzen q C

q w i

mit w C c

n

n n

n n n

n

+

⋅

−

=

+

⋅

−

=

⋅

⋅ +

⋅

−

=

⋅









⋅

⋅ − +

−

=

⇒

−

= ⋅

⋅

=

c* gibt den konstanten jährlichen Einnahmeüberschuss c, vermindert um die ^Ø- kalkulatorische Verzinsung und Tilgung der Investition an.

c) Gegeben sei nun die Investition ( 2.000,1.000,1.000,1.000)

~

−

=

I und ein Kalkula-

tionszins von 8% p.a. Berechnen Sie C₀ und c* mit den in a) und b) gefundenen Formeln.

;

€ 93 , 223 1000 388033514

, 0 2000

*

; 388033514 ,

1 0 08 , 1

08 , 1 08 ,

; 0

; 1

*

€;

10 , 08 577 , 1 08 , 0

1 08 , 1000 1 2000

; 3

; 08 , 0 1;

3 3 3

3 3 0

0 0

≈ +

⋅

−

=

− ≈

= ⋅

⇒

−

= ⋅ +

⋅

−

=

⋅ =

⋅ − +

−

=

⋅ =

⋅ − +

−

=

c

q w q w i

mit c w a c C

n q i

i c q a C

n n n

n o

n n

d) Welchen durchschnittlichen Übergewinn hat

~

I ?

! :

€;

93 , 223 07 , 776 1000 :

€;

07 , 776 2000

: ₃

0

eferenz R

als dient Jahr Jedes Hier

Jahr Jedes

w A

a für Annuität

≈

−

≈

⋅

=

19. Ein Unternehmer hat die Wahl eine Maschine bei der Firma A zu 75.000 Euro oder bei der Firma B zu 120.000 Euro zu kaufen. Voraussichtlich entstehen ihm während der dreijährigen Nutzungsdauer jährliche Wartungskosten von 150.000 Euro (Firma A) bzw. 205.000 Euro (Firma B). Die jährlichen Einnahmen belaufen sich auf 180.000 Euro (Firma A) bzw. 260.000 Euro (Firma B).

Der Unternehmer benutzt zur Beurteilung der potentiellen Investitionen die Annu- itätenmethode. Für welche Firma entscheidet er sich bei einem Kalkulationszinssatz von 8% ?

A) Zeitpunkt

t0 t₁ t₂ t₃

- 75.000

180.000 150.000

B) Zeitpunkt t₀ t₁ t₂ t₃

- 120.000

260.000 205.000

(10)

A) 180.000-150.000=30.000; B) 260.000-205.000=55.000;

; 99 , 8435 55000

1 08 , 1

08 , 1 08 , 120000 0

*

; 48 , 897 30000 1

08 , 1

08 , 1 08 , 75000 0

*

1; 1;

;

*

3 3 3

3

3 3 3

=

− +

⋅ ⋅

−

=

− +

⋅ ⋅

−

=

−

= ⋅

⇒

−

= ⋅ +

⋅

−

=

B A

n n n

n o

c c

q q w i

mit c w a c

20. Eine Investition I von 1.000 Euro erbringt nach dem ersten Jahr 2.600 Euro und kostet nach dem zweiten Jahr 1.650 Euro. Bestimmen Sie den internen Zinsfuß von I.

{ }

( ) ( ) ( )

( ) ( )

%;

ˆ10 1 , 0

%;

ˆ 50 5 , 0

; 1 , 1

; 5 , 1 2000 ;

400 2600

2000 ;

1650 1000

4 2600 2600

; 0 1650 2600

1000

; 0 1650

2600 1000

; 1

; 2

; 0 1

; 1650 , 2600 , 1000 :

2 1

2 , 1

2 2

, 1

1 2

0

2 1

0

1 0 0

=

⇒ =

=

− =

±

= −

−

⋅

−

⋅

−

±

= −

=

− +

−

=

− +

−

=

+

=

= + +

−

=

−

=

∑

r r

q q

r C

q q

r C

r q

n r

c a

r C I

n t t

t

21. Bestimmen Sie möglichst einfache Formeln für die internen Zinsfüße der folgenden Spezialfälle:

a) Investition mit Auszahlung a₀ und einmaligem Einzahlungsüberschuss c_n nach n Jahren.

{ } ( ) ( ) ( ) ( )

; 1

; 0 1

; , :

0

0 0

0

−

=

= +

⋅ +

−

=

− ⁻ ⁻

n n

n n n

n n

a r c

a r c c

r a r

c a r C c a I

(11)

b) Investition I =(−a₀,c₁ =c,c₂ =c,^K,c_n =c) mit konstanten Einzahlungsüber- schüssen c. Vereinfacht sich die Formel, wenn am Ende (nach n) Jahren noch zusätz- lich ein Verkaufserlös von a₀anfällt, d.h. c_n =c+a₀ ?

( ) ( )

( ) [ ( ) ]

( )

[ ] ( )

( )

[ ] [ ⁽ ⁾ ]

;

; 1 1

1 1

; 1

1 1

; 0 1

1 1

; 0 1

1 1 1

0

0 0

0 ! 0

0

a r c

r a

r r c

a r a

r r c

a r r

r c a

r a r

r c r a r C

n n

n

=

− +

⋅

=

− +

⋅

− +

⋅

=

− +

⋅

= +

− +

⋅ + +

⋅

−

= + + +

⋅

−

⋅ + +

−

=

c) Investition I =(−a₀,c₁,c₂).

( ) ( )

; 2 1

4 2 ;

4

; 0

; 1

; 0

0

2 0 2

1 1 2 , 1

0

2 0 2

1 1 2 , 1

! 2 1 1 2 0

2 ! 2 1 1 0 0

⋅ −

−

⋅

⋅ +

±

= −

⋅

−

⋅

⋅ +

±

= −

= + +

−

+

=

= +

+

−

= ⁻ ⁻

a

c a c

r c

a

c a c

q c

c q c q a

r q q

c q c a r C

22. Zeigen Sie, daß bei einer Normalinvestition, bei der zu Beginn lediglich eine einzige Auszahlung auftritt, nur ein positiver interner Zinsfuß existiert.

{ }

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

∑

=

+

→ = +

−

→

∞

→

=

−

>

+ <

− ⋅

=

>

+

−

= +∞

=

−

=

⇒ +

+

−

=

≥

−

n

t

t t

n

t t r o

o r r

n

t

t t t

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r r für

c t dr

r dC

ckung Ausgabende c

a r C r

C a

r C

ussion Kurvendisk kleine

r a c

r C

n t

c mit

c c c a I

1

1 0

1 0 0

2 1 0

; 1

; 1 0

! 0

lim

; lim

"

; 1

; , ...

, 1

; 0

; ..., , , , :

Übungsaufgaben zur Finanzmathematik - Lösungen 1. Eine Bank lockt mit dem Angebot "