Übungsaufgaben zur mehrdimensionalen Analysis - Lösungen 1.

Übungsaufgaben zur mehrdimensionalen Analysis - Lösungen

1. Gegeben sei die Fläche . Skizzieren Sie die Schnittkurven mit den Koordi- natenebenen. Wie lautet die Gleichung der Niveaulinie ? Skizzieren Sie die Fläche.

2

2 y

x z = −

;

; : )

;

;

; 0

; 0

; 0

; )

; :

;

; 0 )

; :

;

; 0 )

;

0 2 0

2

2 2 2

2

2 2

2 2

2

z z z y x

chung Niveauglei d

x y y

x z

y x

c c z c

x z Parabel x

z y b

y z Parabel y

z x a

R D

=

=

−

±

=

⇒

=

⇒

=

=

−

≥

=

=

=

=

−

=

−

=

=

=

2. Existieren die folgenden Grenzwerte ? a)

; 0 lim

; 0 lim

lim 0

; 0

; lim

2 2

2 ) 0 , 0 ( ) , (

2 2 ) 0 , 0 ( ) , ( 2 2

2 ) 0 , 0 ( ) , (

2 2 2

2 2 2 2 2

2

2 2

2 ) 0 , 0 ( ) , (

+ =

⇒

= + + ≤

≤

+ + =

≤ +

≤ +

+

→

→

→

→

y x

x

y x y

x x

y x y

x y x y x

x

y x

x

y x

y x y

x y x

b)

; 0 lim

; 0 lim

lim 0

; lim

2 2

2 ) 0 , 0 ( ) , ( )

0 , 0 ( ) , 2 ( 2

2 ) 0 , 0 ( ) , (

2 2 2 2

2

2 2

2 ) 0 , 0 ( ) , (

+ =

⇒

= + ≤

≤

= + ≤

+

→

→

→

→

y x

y y x

y x

y x x y

y x y x

y x

y x

y x

y x y

x y

x y x

c)

2 2

2 2 ) 0 , 0 ( ) ,

( lim

y x

y x

y

x +

−

→

Falls er existiert, dann muss der Grenzwert auf allen Wegen zum Punkt (0,0) gleich sein, wähle daher speziellen Weg: x->0, y->0, wobei y=mx (Gerade in xy-Ebene).

( )

( )

1 ^;

1 1

lim 1 lim

lim ²_{2 2}^{2 2}₂

2 0 2 2

2 2 2 2 0

2 2 2 ) 0 , 0 ( ) ,

( m

m m

x

m x

x m x

x m x y

x y x

x x

y

x +

= − +

−

= ⋅ +

= − +

−

→

→

→

->

Der Grenzwert hängt von der Art Konvergenz gegen (0,0) ab, d.h. von der Steigung m der Geraden. -> Der Limes existiert nicht.

3. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen 1. Ordnung der Funktion z= f(x,y) für a)

( )

;

; 2

2

;

2

2 2

2 2

x y e

f

ye xe

y x x e

f e z

xy x

xy x xy x xy

x xy x

⋅

=

+

= +

⋅

=

=

+

+ +

+ +

δ δδ δ

b)

; ln

;

;

1

x y x

f

x x y f

x z

y y y

=

⋅

=

=

−

δ δ δ δ

c)

; cos

1 tan

1

1; cos

1 tan

1

; tan ln

2 2 2

y x

y x y

y x f

y y x y

x x f

y z x

⋅−

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⋅

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⋅ ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ ⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

= ⎛

δ δ δ δ

d)

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ableitung der

Def mit y

x fy nd entspreche

x x

x x x

f x f x

f y x

Ableitung partielle

stetige nicht

y x

y y x xy

y x x fy

y x

x y x xy

y x y fx

y x

y x für

y x für y

x xy z

x x

x .

; 0 ) , (

; 0 0 lim 0 0

0 0 lim

, 0 0 lim , 0 , 0 ,

. 2 2

1

; 2 2

1 0

, 0 ,

) 0 , 0 ( ) , ( 0

) 0 , 0 ( ) , (

0 2

0 ) 0

0 , 0 (

2 2

2 2 2

2

2 2

2 2 2

2 2 2

⇒

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

=

=

= + −

⋅

− =

=

=

⇒

⎪⎪

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎪⎪

⎬

⎫

+

+ ⋅

⋅ ⋅

− +

⋅

=

+

+ ⋅

⋅ ⋅

− +

⋅

=

≠

⎪⎩

⎪⎨

⎧

= + ≠

=

→

→

δ →

δ

4. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene im Punkt (2,1,3) an die Fläche .

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

; 25 4 12

; 1 1

4 2 2

6 11 1 2 2 3

);

( ) , ( ) ( ) , ( ) , (

; 4

;

; 6 3 1 2

; 11 2

3

3 2

0 0

0 0

0 0 0

0 0 0 0

2 2

0

− +

=

−

⋅

⋅ +

−

⋅

⋅ +

−

⋅ +

⋅

=

−

⋅ +

−

⋅ +

=

=

=

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎟=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

=

− +

=

=

y x z

y x

z

y y y x f x x y x f y x f z

y fy

x fx z

y x P

y x z

z

y x

4 4 8 4

4 7 6

5. Wie groß ist der Anstiegswinkel α der Tangente parallel zur y, z-Ebene an die Fläche

2

9 x2 y

z= − − im Punkt

(

2, ,1z₀

)

?

( )

; 56 , 26 2;

tan 1

2; 1 1

2 9 ) 1

1, 2 (

9 ; 9 2

2

1

);

, ( tan

: );

, ( :

: ,

2 2

2 2 2

2

0 0 0 0

0

0

°

−

=

⇒

−

=

−

− =

− −

=

−

− −

=

−

− ⋅

−

= ⋅

=

=

=

=

−

α α

α

y y

y

f

y x y y

y x f

y x f Tangente

der Steigung

x x y x f z ve Schnittkur

x x Ebene Z

Y zur parallel Ebene

6. Gegeben seien die Funktion f x y = x² +xy 2

) 1 ,

( , sowie die Punkte

und

) 2 , 1

0 = ( P .)

9 . 1 , 1 . 1 (

= P

a) Wo ist f(x,y) differenzierbar ?

fx, fy überall stetig Æ Satz Æ f überall total diff.

Stetigkeit:

;

; x fy

y x fx

= +

=

( )

( ) lim lim ;

lim

);

( ) , ( lim

) , (

0 , 0

) , (

0 , , 0

) , (

0 0 0

0 0

0 0 0

3 2 1f x y y

y x x y

x y x

y x y x

y x y x

y x

y x f y x f

+

= +

= +

=

→

→

→

→

b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene an die Fläche im Punkt .

) , (x y f z = P0

2; 21 3

);

2 ( 1 ) 1 ( 2 3 21

);

( ) , ( ) ( ) , ( ) , (

0 0

0 0

0 0

0 0 0

0

− +

=

−

⋅ +

−

⋅ +

=

−

⋅ +

−

⋅ +

=

y x z

y x

z

y y y x fy x x y x fx y x f z

c) Berechnen Sie in das totale Differential von . Welchen Wert hat das totale Differential für die Zuwächse dx = 0.1 und dy = -0.1 ? Vergleichen Sie diesen Wert

mit der Differenz .

) , (x y f

( ) ( )

P f P₀

f −

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

1 1 2 0,195; 2

9 1 , 1 1 ,1 1 2 ,1 1

; 2 , 0 ) 1, 0 ( 1 1, 0 3

; ) , ( )

, (

);

2 ,1 (

; ) 9 ,1 , 1, 1 (

;

; 2 ; ) 1 , (

2 2

0

0 0 0

0

0 2

⎥⎦=

⎢⎣ ⎤

⎡ + ⋅

⎥⎦−

⎢⎣ ⎤

⎡ + ⋅

=

−

=

−

⋅ +

⋅

=

+

=

=

=

= +

=

+

=

P f P f dz

dy y x fy dx y x fx dz

P P

x fy

y x fx

xy x y x f

7. Gegeben sei die Funktion f(x,y)= x² +y²sowie der Punkt ^→x =

( )

,1 8 ^T und der Richtungsvektor ^v

(

,1 8

)

^T

3

1 −

→=

.

a) Man berechne die Richtungsableitung ^→⎟⋅^→.

⎠

⎜ ⎞

⎝

∇f^T⎛x v

( ) ( )

( ) ( )

;

3 14 3 8

13 1 8

2 , 8 2 1 3 8 1 2 , 2

; 8 2 , 2

; 2

; 2

; ) , ( ), , (

−

=

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

−

⋅

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ −

=

⎟⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

∇ ⎛

=

∇

=

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

∇

→

→

v x f

x f

y fy x fx y

y x y f x x f f

T T

T

r

δ δ δ

δ

b) Man setze

( )

_⎟und berechne

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

= f ^→x t^→v t

h h′

( )

0 .

( )

3; ) 14 0 (

; 3 2 ) 14 (

3 ; 9 14 ) (

3 ; 8 8 1 3

) (

;

; 3 8 8

1 3 8

1 3 1 8

1

2 2 2

−

′ =

+

−

′ =

+

−

=

⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ −

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

⎟⎟

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜⎜

⎝

⎛

− +

⎟⎟ =

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

⋅ −

⋅

⎟⎟+

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⋅ +

⎟⎟=

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

→

→

h

t t

h

t t t

h

t t t

h

v t x f t h

t t t

v t y x

x r r

c) Man zeige, daß jeder Vektor, der die Tangente an die Niveaulinie von f in re- präsentiert, senkrecht zu ist.

→

x

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

∇ f⎛^→x

( )

; 8 0 11 8

2 ) 2

( :

8 ; 11

8; ) 1 1 (

; 9 2

2 ) 1 (

; 9 ) (

; 9

; 9

; 9

. )

, ( :

; 9 ) 8 ,1 (

; 8 1 ) 8 ,1 (

; )

, (

);

( )

8 ,1 (

2 2

2 2

2 2

2 2

2

⎟=

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⋅ −

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

=⎛

⋅

∇

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

= −

−

′ =

−

− ⋅

′ =

−

=

−

=

−

=

⇒

= +

=

= +

= +

=

∇

⊥

T x f Beweis

T y

x x

x y

Halbkreis Oberer

x x

y

x y

x y

y x

konst y

x f g

engleichun Niveaulini

f f

y x y x f

x f f

r T

r

d) Man zeichne die Niveaulinien von f und trage alle in a), b) und c) berechneten Größen in die Skizze ein.

8. Berechnen Sie die relativen Minima und Maxima von

a)

( )

; );

2 , 1 (

; );

2 , 1 (

; 0 0 6 6 det

; );

2 ,1 (

; );

2 , 1 (

; 0 0 6 6 det

; 12

; 6

; 2

; 1

; 12 3

; 3 3

; 0 12 3

; 0 3 3

; 12 3

; 3 3

; 20 12 3 ,

3 2 1

2 2

2 2

2 2

3 3

t Sattelpunk P

t Sattelpunk P

y x H

Maximum relatives

P

Minimum relatives

P

y x H

fyy x

fxx

y x

y x

y x

y fy x

fx

y x y x y x f

−

=

−

=

<

−

⋅

=

−

−

=

=

>

−

⋅

=

=

=

=

=

=

=

=

−

=

−

−

=

−

=

+

−

− +

=

b)

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Minimum rel

P fxx

H P

t Sattelpunk P

H P

S Script Siehe

fxy y fyy x fxx

P y

y x

P y

y x

x x

x x

x x

x

x x

x y fy x

y

y x

y x fx

y xy x

y x f

. :

; 0 2 6

; 0 6 2

6 2 6 det

:

:

; 0 6 0

6 0 6 det

:

27 .

; 6

; 6

; 6

);

2 , 2 (

; 2

; 22 1

);

0 , 0 (

; 0

; 20 1

; 2

; 0

; 8

; 0 4 6

3

; 0

; 0 4 6

3

; 0 2 6

3 1

; 6 3 2 ;

1

; 0 6 3

; 6 3

; 6

,

2 2

2

1 2

1

2 2 2

2

1 2 1

1

2 1

3 3

3 1 2 2

2 2

2 2

3 3

>

⋅

=

>

−

−

⋅

⋅

⋅

=

<

−

−

⋅

⋅

⋅

=

−

=

=

=

=

=

⇒

=

⇒

=

=

⇒

=

⇒

=

=

=

=

−

=

⇒

⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ −

⋅

=

⎟ −

⎠

⎜ ⎞

⎝

⋅⎛

−

=

⇒

=

=

−

−

=

+

−

=