Prof. Dr. E. Kausen Mathematik II Dipl.- Math. Prihara
K L A U S U R
SS 2007 FH Gießen-Friedberg Studium EI Name: Vorname: Matrikel:1. Sei f(x,y) = x ey - 2x2y + 3y
(a) Bestimmen Sie die Tangentialebene von f im Punkt (2, 1) in Koordinatenform.
(b) In welchen Punkten besitzt f(x,y) eine horizontale Tangentialebene?
Tipp: die y-Werte der Lösungen liegen in [-1,1].
2. Sei F(x,y,z) = (4xyz3 + ln z, 2x2z3, 6x2yz2 + x/z) ein Vektorfeld.
(a) Zeigen Sie, dass F ein Gradientenfeld ist.
(b) Bestimmen Sie eine Potentialfunktion von F.
(c) Berechnen Sie ∫ F für einen Weg von P = (0,0,1) bis Q = (1,1,e).
3. Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms einer linearen DGL mit konstanten Koeffizienten sind λ = 0, a, 2-a (a R).
(a) Wie lautet die homogene DGL?
(b) Bestimmen Sie die allgemeine homogene Lösung dieser DGL abhängig von a.
(c) Wie lautet der Ansatz für eine spezielle inhomogene Lösung bei der Störfunktion
r(x) = 2x2 + x + xe3x (abhängig von a) ?
4. A sei das durch die Funktionen f(x) = ex und g(x) = ax + 1 (a>1) berandete Flächenstück. Skizze!
(a) Wie groß ist der Umfang von A für a=2? (SIMPSON n=20 mit Fehlerschätzung.) (b) Wie muss a gewählt werden, dass der Flächeninhalt von A genau 1 ist?
5. DGL (1+x2) y2 y' = x mit y(0) = 1.
(a) Lösen Sie die DGL exakt und bestimmen Sie y(1).
(b) Berechnen Sie eine Näherung für y(1) mittels RUNGE-KUTTA mit n=10.
(c) Schätzen Sie den Fehler dieser Näherung.
(d) Wie groß ist der exakte Fehler bei RUNGE-KUTTA mit n=10?
Folgende Hinweise bitte unbedingt zuerst durchlesen und beachten:
* Arbeitszeit 90 Minuten; Deckblatt (Aufgabenblatt) bitte sofort in Druckschrift ausfüllen
* alle abzugebenden Blätter sind mit Ihrem Namen zu kennzeichnen * für jede Aufgabe bitte ein neues Blatt beginnen
* Lösungen gelten nur, wenn alle Zwischenschritte erkennbar sind * nur die in der Vorlesung behandelten Programme sind erlaubt
* ein selbsterstelltes Blatt mit Formeln ist zulässig, keine weiteren Hilfsmittel * Abgabe: Deckblatt, Aufgaben in richtiger Folge, keine Klammerheftung
