Man bestimme eine orthogonale Matrix Q und eine obere Dreiecks- matrix R mit A= Q·R

TU CLAUSTHAL

INSTITUT F ¨UR MATHEMATIK

Prof. Dr. W. Klotz ^HH

H HH

H

@@

@@

PP

PPP

A A A A

A A

B B B

BB Lineare Algebra I WS 1999/2000 Tutoren¨ubung 12

1. Es seien a, b, c, d ∈ R, ~x = (x₁, x₂)^t ∈ R², ~y = (y₁, y₂)^t ∈ R². Unter welchen Bedingungen wird durch

β(~x, ~y) =a x₁y₁ +b x₂y₂ +c x₁y₂ +d x₂y₁ ein Skalarprodukt auf R² definiert?

2. F¨ur welche x ∈ R ist die folgende Matrix A orthogonal?

A= 1

1 +x(1 +x)





−x x(1 +x) 1 +x 1 +x −x x(1 +x) x(1 +x) 1 +x −x





3. Es sei

A =





1 1 2 0 1 1 0 1 −1



.

Man bestimme eine orthogonale Matrix Q und eine obere Dreiecks- matrix R mit A= Q·R.

4. Der Raum C³ sei mit dem komplexen Standard-Skalarprodukt aus- gestattet. Es seien

~a1 = (−1, i,1), ~a2 = (i,0,2), U = [~a1, ~a2].

Man bestimme eine Orthonormalbasis B = {~b1,~b2,~b3} von C³ mit U = [~b1,~b₂]. (Hinweis: W¨ahlen Sie sich ein geeignetes ~a₃.)

5. Es sei

A =





4 8 0 8 41 3 0 3 1



.

Man bestimme eine obere Dreiecksmatrix S ∈ R^3×3 mit lauter posi- tiven Hauptdiagonaleintr¨agen, so daß A = S^TS gilt.

(Hinweis: Setzen Sie S mit Unbestimmten s_ij an.)