Sommersemester 2017

(1)

Ubungen zu ¨

Moderne Experimentalphysik III (Kerne und Teilchen)

Sommersemester 2017

Ubungsblatt Nr. 5: Musterl¨ ¨ osungen

Aufgabe 1: Mesonenaustauschmodell des Atomkerns Jeweils (1 Punkt) pro Teilaufgabe.

a) Das Yukawa-Potenzial ist f¨ur g = 1 undλ= 1,5 fm in Abb. 1 dargestellt.

r [fm]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 [a.u.]0V

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1 0

1

Abbildung 1: Yukawa-Potenzial f¨ur g = 1 undλ= 1,5 fm.

Mitλ= 1,5 fm (und mit~c= 197 MeV fm) gilt f¨ur die Masse des ausgetausch- ten Teilchensm= 131,3 MeV/c² ≈m_π.

b) F¨ur das Yukawa-Potenzial ist f(θ) = −2m_N

~² Z ∞

0

−g²e⁻^λ^r r

sin ^qr

~

qr

~

r²dr

= −2mNg²

~q

Z ∞

0

e⁻^λ^r sinqr

~

dr

= 2m_Ng²

~q

1

1 λ

2

+ ^q2

q

~

(2)

wegen

Z

e^axsin(bx) dx= e^ax

a²+b² (asin(bx)−bcos(bx)). Also ist

dσ

dΩ = |f(θ)|² =

2mNg²

~² 2

· 1

1 λ

2

+ ^q

~

2

!2

λ = ~

m_πc → dσ

dΩ = 2m_Ng²2

·

1 m²_πc²+q²

2

c) Mit −g² = ^Z¹_4π^Z²^e²

0 und m_π →0 wird

V₀(r) = Z₁Z₂e² 4π₀ · 1

r und

dσ dΩ =

2m_NZ₁Z₂e² 4π₀

2

· 1 q⁴ , und mit q= 2psin^θ₂ und E = _2m^p²

N findet man dσ

dΩ =

Z₁Z₂e² 4π₀4E

2

· 1 sin⁴ ^θ₂ .

Im Grenzfall m_π →0 geht das Yukawa-Potenzial in das Coulomb-Potenzial

¨uber, wie es von masselosen Photonen erzeugt wird, und man findet den Rutherford-Streuquerschnitt.

Aufgabe 2: Altersbestimmung mit der Radiokarbonmethode Die Anzahl der Kerne zur Zeit t ist gegeben durch

N(t) =N₀e^−λt, λ= ln 2 T_1/2 und die Aktivit¨at durch

A(t) =−dN

dt =λ·N(t).

a) Die Anzahl der¹⁴C-Kerne in 0,6 g Kohlenstoff in einer frischen Probe betragen N(t = 0) =N0 = 0,6

12 ·NA·1,5·10⁻¹²

= 0,6

12 ·6,022·10²³·1,5·10⁻¹²

= 4,5·10¹⁰. (1 Punkt)

⇒A(0) = λN(0) = ln 2 T_1/2 ·N₀

= ln 2

5730·365·24 h ·4,5·10¹⁰

= 621/h (1 Punkt)

(3)

b) In der Zeit ∆t nach der Abtrennung vom Stoffwechsel reduziert sich der ¹⁴C- Gehalt um den Faktor

N(∆t)

N(0) = e^−λ∆t =e⁻

ln 2∆t T1/2 = 2⁻

∆t T1/2

= 2⁻²⁵⁰⁰⁵⁷³⁰ = 0,739.

⇒A(∆t) = 0,739·A(0) = 0,739·621/h = 459/h. (1 Punkt) c) Aus

A(∆t)

A(0) = N(∆t)

N(0) =e^−λ∆t folgt f¨ur das Alter des Knochens

∆t = −1 λln

N(∆t) N(0)

= T_1/2 ln 2 ln

N₀ N(∆t)

= 5730 ln 2 ln

621 254

= 7357 Jahre. (1 Punkt)

Tatsächlich war das urspr. ermittelte Alter von 36 000 Jahren Resultat eines Fälschungsskandals und wurde später auf 5400 v. Chr. korrigiert¹.

Aufgabe 3: Kaon-Zerfall und Goldene Regel Im Ruhesystem des Kaons ist aufgrund der Impulserhaltung |~pl|=|~pν| ≡p (1 Punkt).

a) Aufgrund der Energieerhaltung folgt E_K =m_K =E_ν +E_l (1 Punkt), also E_K = m_K =E_ν +E_l =p+

q

p²+m²_l

⇒(m_K −p)² = m²_K−2m_Kp+p² =p²+m²_l

⇒p = m²_K−m²_l

2m_K . (1 Punkt) (1)

Daraus ergibt sich f¨ur die Energie des Leptons zu E_l =

q

p² +m²_l

= 1

2m_K q

m⁴_K−2m²_Km²_l +m⁴_l + 4m²_Km²_l

= 1

2m_K q

(m²_K+m²_l)²

= m²_K+m²_l

2m_K . (1 Punkt)

1https://de.wikipedia.org/wiki/Sch¨adel von Hahn¨ofersand

(4)

b) Aus Imupls und Energie folgt β_l = p

E_l = m²_K −m²_l

2m_K · 2m_K

m²_K+m²_l = m²_K−m²_l

m²_K+m²_l . (1 Punkt) Daraus folgt f¨ur das Verh¨altnis der Matrixelementsquadrate

|MK→eνe|²

|MK→µνµ|² = 1−β_e 1−βµ

= (m²_K+m²_e −m²_K+m²_e)/(m²_K+m²_e) (m²_K +m²_µ−m²_K +m²_µ)/(m²_K+m²_µ)

= m²_e

m²_µ ·m²_K+m²_µ

m²_K +m²_e (1 Punkt)

= 2,37·10⁻⁵

c) Die Zustandsdichte ist proportional zu p²_ldp_l/dE_i mitE_i =E_K =m_K. Mit (1) folgt

dp_l

dE_K = d dE_K

E_K² −m²_l

2E_K = d dE_K

1 2

E_K − m²_l E_K

= 1 2

1 + m²_l E_K²

. (1 Punkt) MitE_K =m_K folgt

p²_l dp_l dEK

= (m²_K−m²_l)² 4m²_K · 1

2

1 + m²_l m²_K

= (m²_K−m²_l)²·(m²_K+m²_l)

8m⁴_K .

Das Verh¨altnis der Zustandsdichten ist also ρe(EK)

ρ_µ(E_K) = p²_edpe/dEK

p²_µdp_µ/dE_K = (m²_K −m²_e)²·(m²_K+m²_e)

(m²_K−m²_µ)²·(m²_K+m²_µ) = 1,05. (1 Punkt) d) Mit b) und c) erhält man für das Verhältnis der partiellen Zerfallsbreiten

Γ(K⁺→e⁺ν_e)

Γ(K⁺→µ⁺ν_µ) = |M_Ke|²

|M_Kµ|² · ρ_e(E_K)

ρ_µ(E_K) = 2,49·10⁻⁵. (1 Punkt) e) Da das Verzweigungsverh¨altnis proportional zur partiellen Zerfallsbreite ist,

ist das Ergebnis aus d) zu vergleichen mit B(K⁺→e⁺ν_e)

B(K⁺→µ⁺ν_µ) = 1.55·10⁻⁵

0.6343 = 2,44·10⁻⁵. (1 Punkt) Die ¨Ubereinstimmung mit dem gemessenen Wert ist also recht gut.

Aufgabe 4: Geiger-Nuttall-Regel (α-Zerfall) Die Geiger-Nuttall-Regel ist

lnλ=k·lnx+c ,

(5)

wobeiλ= ln 2/T_1/2 die Zerfallskonstante,xdie Reichweite undk undcKonstanten sind. Daraus folgt

k·lnx+ lnT_1/2 = ln(ln 2)−c

| {z }

≡c1

(2) mit c1 =konstant. (1 Punkt)

Einsetzen f¨ur die ²²⁶₈₈Ra- und ²¹⁰₈₄Po-Zerf¨alle ergibt das Gleichungssystem c₁ = kln 3,36 + ln(1622·365)

c₁ = kln 3,85 + ln 138.

Auflösen ergibt für k = 61,44 and c1 = 87,75 (1 Punkt). Damit und mit (2) folgt bei einer Reichweite vonx= 5,78 cm fürT_1/2 = 1,898·10⁻⁹Tage, alsoT_1/2 = 171µs.

(1 Punkt)