¨Ubungsblatt H¨ohere Mathematik III f¨ur die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geod¨asie Aufgabe 1: Berechnen Sie jeweils Z γ f(z)dz

UNIVERSIT ¨AT KARLSRUHE (TH) INSTITUT F ¨UR ANALYSIS

Dr. A. M¨uller-Rettkowski

WS 2008/09 21.11.2008

5. ¨Ubungsblatt

H¨ohere Mathematik III f¨ur die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geod¨asie

Aufgabe 1:

Berechnen Sie jeweils

Z

γ

f(z)dz.

a) f(z) = ¯zz², γ : geradlinige Verbindung von −1 nach i b) f(z) = ¯zz², γ :z(t) =e^i(π−t), 0≤t ≤ π

2 c) f(z) = (z)², γ : positiv orientierter Rand von

{z ∈C |0<Re (z)<1, 0<Im (z)<1}

Aufgabe 2:

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

a)

I

|z|=1

cosπz z dz

b)

I

|z|=2

z³ z²+ 1dz c)

I

γ

(z+ 1)²

(z²+ 1)(z−1)dz, γ ={z ∈C:|Rez|+|Imz|= 2}

Aufgabe 3:

Berechnen Sie die folgenden Integrale:

a)

2π

Z

0

cos²ⁿtdt (n∈N)

b)

Z2π

0

dt 2 + sint c)

2π

Z

0

e^eitdt

(Hinweis: Es ist jeweils eine geeignet gew¨ahlte Funktion l¨angs der Einheitskreislinie zu integrieren.)

– bitte wenden –

Aufgabe 4:

Es seien G ⊂ C ein Gebiet, f : G → C eine stetige Funktion und γ eine im Gebiet G verlaufende Kurve.

Zeigen Sie:

|

Z

γ

f(z)dz| ≤max

z∈γ |f(z)| ·L¨ange von γ.

Aufgabe 5:

Es sei Γ_R:z(t) = Re^it, 0≤t ≤ π 4. Berechnen Sie lim

R→∞

Z

ΓR

e^iz2dz.

F¨ur die 1. ¨Ubungsklausur HM III am

Samstag, 6.12.2008 von 11.00 – 13.00 Uhr

istkeine Anmeldung erforderlich.

Die R¨aume sind wie folgt:

Fachrichtung Physik: Gerthsen Fachrichtung Elektroingenieurwesen: Neue Chemie Fachrichtung Geod¨asie: Neue Chemie