¨Ubungsblatt Aufgabe 1 Bestimmen Sie die Faltungf ∗g der unten angegebenen Funktionenf, g

UNIVERSIT ¨AT KARLSRUHE Institut f¨ur Analysis

HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl

Sommersemester 2009 09.07.2009

H¨ohere Mathematik II f¨ur die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geod¨asie inklusive

Komplexe Analysis und Integraltransformationen 12. ¨Ubungsblatt

Aufgabe 1

Bestimmen Sie die Faltungf ∗g der unten angegebenen Funktionenf, g.

a)

t f(t)

2 1

t g(t)

2 2

b)

t f(t)

1 1

t g(t)

3 4

1

c) f(t) := e^at und g(t) :=e^bt, t>0, mit a, b ∈C. Aufgabe 2

Sei f: [0,∞)→C eine st¨uckweise stetige, periodische Funktion mit der PeriodeT > 0, d.h.

f(t+T) =f(t) f¨ur alle t>0. Zeigen Sie, dass f¨ur jedes s∈C mit Re(s)>0 gilt

L{f}(s) = 1 1−e^−sT

Z T

0

e^−stf(t)dt .

Aufgabe 3

a) Berechnen Sie die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von i) _x^x3²−x^+x−12−2x; ii) _x3+x^2x−x−1; iii) _8−x^x3 .

b) Bestimmen Sie einen Ansatz f¨ur die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von i) _(x+1)2¹(x³+1); ii) _x6−x^{1 2} .

Aufgabe 4

Ermitteln Sie jeweils eine Funktion f: [0,∞)→R mit

a) L{f}(s) = _s2¹−1; b) L{f}(s) = _s2+2s¹ ;

c) L{f}(s) = _s3^s+3+4s² ; d) L{f}(s) = _s(s^s+a2+a²) (a >0).

— bitte wenden —

Aufgabe 5

Bestimmen Sie jeweils die L¨osung der folgenden Differentialgleichungen.

a) y⁰⁰(t) + 4y⁰(t) + 3y(t) = 12, y(0) = 7, y⁰(0) = 1

b) y⁰⁰⁰(t)−3y⁰⁰(t) + 3y⁰(t)−y(t) =e^t, y(0) =y⁰(0) = 0, y⁰⁰(0) = 1 c) y⁰⁰(t) + 2y⁰(t) +y(t) = 6te^−t, y(0) = 6, y(1) = 13/e

Aufgabe 6

Ordnen Sie den unten abgebildeten Systemen, welche durch ihre Poldiagramme gegeben sind, die passende Sprungantwort zu.

Aufgabe 7

Pr¨ufen Sie, ob die folgenden Grenzwerte existieren, und berechnen Sie diese gegebenenfalls.

a) lim

t→∞f(t) f¨ur f(t) ^{d t}(s+2)(s+1)s^s2+1 b) lim

t→∞f(t) f¨ur f(t) ^{d t(s+2)(s+1)}_(s2+1)s

c) lim

t→0+f(t) f¨urf(t) ^{d t}(s+2)(s+1)s^s2+1 d) lim

t→0+f(t) f¨urf(t) ^{d t√2}_s Aufgabe 8

In welchen Punkten sind die folgenden Funktionen f: C → C komplex differenzierbar, wo sind sie holomorph? Bestimmen Sie gegebenenfalls f⁰.

a) f(z) =

e^−1/z4 f¨ur z 6= 0

0 f¨ur z = 0 b) f(x+iy) = sinx siny−icosx cosy (x, y ∈R) c) f(z) =zRez d) f(z) = ^z_z + ^z_z (f¨urz 6= 0)

Hinweis In der großen ¨Ubung werden die Aufgaben 1, 6, 7 und 8besprochen.

www.mathematik.uni-karlsruhe.de/mi1weis/lehre/hm22009s/