UNIVERSIT ¨AT KARLSRUHE Institut f¨ur Analysis
HDoz. Dr. P. C. Kunstmann Dipl.-Math. M. Uhl
Sommersemester 2009 30.04.2009
H¨ohere Mathematik II f¨ur die Fachrichtungen Elektroingenieurwesen, Physik und Geod¨asie inklusive
Komplexe Analysis und Integraltransformationen 2. ¨Ubungsblatt
Aufgabe 1
Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugeh¨origen Eigenr¨aume von
A=
22 −2 −4
4 16 −4
2 −1 16
und B =
1 1 0 2 0 2
−1 0 0
.
Welche algebraischen und geometrischen Vielfachheiten haben die Eigenwerte? Welche Ma- trix ist diagonalisierbar?
Aufgabe 2
Bestimmen Sie alle Eigenwerte von
A=
3 1 −1 1
1 3 1 −1
−1 1 3 1
1 −1 1 3
.
Begr¨unden Sie, dassAdiagonalisierbar ist, und geben Sie eine regul¨are Matrix S an so, dass S−1AS Diagonalgestalt hat.
Aufgabe 3
a) Bestimmen Sie alle Eigenwerte und die zugeh¨origen Eigenr¨aume f¨ur die Matrix
M =
1 2 −1
−2 5 −1
−3 4 1
.
b) Geben Sie die geometrische und algebraische Vielfachheit der jeweiligen Eigenwerte an.
c) Geben Sie die maximale Anzahl linear unabh¨angiger Eigenvektoren von M an.
d) Entscheiden Sie, obM diagonalisierbar ist. Begr¨unden Sie Ihre Antwort.
Aufgabe 4
F¨ur α∈R sei die Matrix Aα gegeben durch
Aα = 1 2
1 +α 0 1−α
0 4 0
1−α 0 1 +α
.
F¨ur welche α ∈R gibt es eine orthogonale Matrix P so, dassPTAαP =
1 0 0 0 2 0 0 0 3
gilt?
Geben Sie das jeweilige P an.
— bitte wenden —
Aufgabe 5
Finden Sie Matrizen mit den folgenden Eigenschaften:
a) A∈R3×3 und A hat nur den Eigenwert 5.
b) B ∈R4×4 und B hat paarweise verschiedene reelle Eigenwerte.
c) C∈R5×5 und χC(λ) = −λ5+ 5λ3−4λ ist das charakteristische Polynom vonC.
d) D∈R3×3 und es gibt nur einen linear unabh¨angigen Eigenvektor vonD.
Aufgabe 6
Gegeben sei einC-VektorraumV und eine lineare Abbildungϕ:V →V.v ∈V \ {0}sei ein Eigenvektor von ϕ zum Eigenwert λ ∈C. Zeigen Sie:
a) v ist ein Eigenvektor vonϕ+ 5 idV zum Eigenwert λ+ 5.
b) v ist ein Eigenvektor von ϕn zum Eigenwert λn f¨ur jedes n ∈ N. Allgemein gilt f¨ur jedes Polynom p, dass v ein Eigenvektor von p(ϕ) zum Eigenwert p(λ) ist.
Hierbei ist ϕn durch ϕn :=ϕ◦. . .◦ϕ
| {z } n-mal
definiert.
c) Ist µ2 ein Eigenwert von ϕ2, so ist µ oder−µein Eigenwert von ϕ.
Hinweis:Betrachten Sie (ϕ−µidV)◦(ϕ+µidV).
Aufgabe 7
Es sei e1, e2, e3 die Standardbasis von R3. Durch
ϕ(e1) := 2e1 + 3e3, ϕ(e2) :=−e1+ 2e2−4e3, ϕ(e3) := e1−2e2
wird eine lineare Abbildung ϕ: R3 →R3 definiert.
a) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von ϕ bez¨uglich e1, e2, e3. b) Zeigen Sie, dass durch
c1 :=e1+e2+e3, c2 :=e1−e2, c3 :=e1+e3
eine weitere Basis c1, c2, c3 von R3 gegeben ist.
Stellen Sie jeden Einheitsvektor e1, e2, e3 bez¨uglich dieser Basis dar, und geben Sie die Darstellungsmatrix vonϕ bez¨uglich c1, c2, c3 an.
Aufgabe 8
Erg¨anzen Sie jeweils einen dritten Vektor so, dass die Vektoren die Spalten einer orthogonalen bzw. unit¨aren Matrix bilden.
a)
1/3 2/3 2/3
,
2/√
5
−1/√ 5 0
b)
i/√
2
−1/√ 2 0
,
1/2
−i/2 (1−i)/2
Hinweis In der großen ¨Ubung werden aller Voraussicht nach die folgenden Aufgaben be- sprochen: 3, 4, 6 und 7. Die restlichen werden in den Tutorien behandelt.
www.mathematik.uni-karlsruhe.de/mi1weis/lehre/hm22009s/
