Arbeit, Energie und Leistung

07c Energie

Zusammenfassung

Arbeit, Energie und Leistung

Θ

=

=

cos Fd W

d F W r r

Arbeit

Einheit [J=Nm]

v

2 1 m KE =

Kinetische Energie Potentielle Energie im Gravitationsfeld

mgh PE =

Im Gegensatz zur kinetischen Energie ist nur der relative Wert von Interesse

∫

=

i

x

x

F x dx

W ( )

Elastische Energie

kx F

= −

Hooksches Gesetz

v r F r dt

P dW

t P W

inst avg

=

=

= Δ

Leistung

Einheit [W=J/s=Nm/s]

Umwandlung in andere Energieformen

Kinetische Energie des Hammers führt zur Verformung des Nagels (inelastisch) und die wird in Wärme umgewandelt

Geleistete Arbeit entspricht der Änderung der

kinetischen Energie potentiellen Energie eleastischen Energie

KE KE

KE

W

=

−

= Δ PE PE

PE

W

=

−

= Δ EE EE

EE

W

=

−

= Δ

Nur Kraftkomponente in Richtung der Verschiebung zählt!

Skalarprodukt

2 ² 1 kx EE

W

= =

gespeicherte Energie

Leistungswerte

Geiseltierchen 100 fW

Glühlampe (Lichtausbeute) 1-5 W

Glühlampe (Elektrische Leistung) 25-100W

Menschliche Arbeitskraft über 8h 100 W

Pferd auch über 8h 300 W

Weltweite Energieproduktion im 2000 450 GW Einstrahlung der Sonne auf die Erde 0.17 EW Thermische Einstrahlung aus dem Erdinnern 32 TW

Stärkstes Lasersystem 1 PW

Leistungsabgabe der Sonne 384.6 YW

Maximale Leistung in der Natur 9.1x10⁵¹ W Eddie Merckx, Radrennfahrer in 1h 500 W Pferdestärke (1 PS) (J. Watt: 1.5*500 W) 746 W

Motorrad 100 kW

Kraftwerk 0.1-6 GW

Leistungsträger

s 250W 4

m 5 N

200 ⋅ = Δ =

= t d W

F

Ergebnis des Feldversuchs 2007

s 375W 3

m 5 N

225 ⋅ = Δ =

= t d W

F

Ergebnis des Feldversuchs 2008

W s 345

3

m 5 . 4 N

230 ⋅ =

Δ =

= t d W

F

Ergebnis des Feldversuchs 2009

Konservative und nichtkonservative Kräfte

offene und abgeschlossene Systeme

Beispiele für

Nichtkonservative Kräfte

Reibung Luftwiderstand Raketenantrieb Die Reibungskraft ist immer entgegensetzt

der angreifenden Kraft. Bei der Bewegung wird thermische Energie freigesetzt.

Die notwendige Arbeit um einen Körper gegen die Schwerkraft von A nach B zu bewegen hängt nicht vom gewählten Weg

ab, d.h. vertikal oder über eine schiefe Ebene oder eines anderen beliebigen

Weges. Ähnliches gilt auch für eine Spiralfeder.

Man nennt solche Kräfte konservativ

Beispiele für

Konservative Kräfte

Gravitationskräfte Elastizitätskräfte Elektrische Kräfte

Dies sind nichtkonservative Kräfte

Konservative Kräfte

3 2

1

3 2

1

Weg Weg

Weg

B A g Weg

B A g Weg

B A g Weg

W W

W

s d F s

d F s

d F

=

=

=

= ∫ ∫

∫ ^{r r r r r r}

A

B Weg 1

Weg 2

Weg 3

Die Gravitation leistet netto keine Arbeit am System

Mathematisch ausgedrückt: Das Integral entlang eines geschlossenen Weges verschwindet.

Durch mehrmaliges Durchlaufen des Weges ist es nicht möglich Energie zu gewinnen!

Physikalisch entspricht Arbeit nicht unbedingt der Erfahrung im Alltag

Bewegung im Schwerefeld der Erde

zurück

0

2 Weg auf hin

1 Weg

auf

+ W =

W

Verallgemeinerung

Arbeit-Energie Prinzip

Betrachte translatorische Bewegung

NC C

res

W W

W = +

KE KE

KE

W

=

−

= Δ KE

W

W

+

= Δ

C

NC

KE W

W = Δ − PE W

= − Δ

PE KE

W

= Δ + Δ

Die Arbeit W

die durch nichtkonservative Kräfte auf einen Körper einwirken ist gleich

der Summe aus den totalen Änderungen von kinetischer und potentieller Energie

Allgemeine Form

Arbeit-Energie Prinzips oder

Freier Fall mit Luftwiderstand

Resultierende Arbeit setzt sich zusammen aus konservativerund nichtkonservativerArbeit .. und führt zu Änderung der kinetischen Energie die ist z.B. die verwendete Messgröße

die durch die konservative Kraft geleistete Kraft entspricht der Änderung der potentiellen Energie

8

Verallgemeinerung

Arbeit-Energie Prinzip

Spezialfall ausschließlich konservative Kräfte

= 0 Δ

+

Δ KE PE

= 0 W

( KE

⁻ KE

) ( ⁺ PE

⁻ PE

) ^{= 0}

totale mechanische Energie des Systems

PE KE

E = +

f f

i

i

PE KE PE

KE + = +

Definition

. const E

E

=

=

konservative Kräfte

( ) ( )

0

0

=

−

= +

− +

f f

i i

f f

E E

PE KE

PE KE

Die totale Energie eines Systems bleibt erhalten, solange keine nichtkonservativen Kräfte wirken

oder

Wenn nur konservative Kräfte wirken, erhöht und erniedrigt sich die Gesamtenergie eines Systems

nicht, egal welchen Prozess man betrachtet!

Prinzip der mechanischen Energieerhaltung

Freier Fall ohne Luft

nur konservative Kräfte

widerstand

Energieformen

Lageenergie Energie aufgrund der Position im Gravitationsfeldes Kinetische Energie Bewegungsenergie von Körpern und Teilchen

Wärmeenergie ungeordnete Bewegung von Atomen und Molekülen Elektrische Energie Energie eines Körpers in einem elektrischen Feld Magnetische Energie Energie eines Körpers in einem magnetischen Feld Chemische Energie Energie gespeichert in Molekülbindungen

Kernenergie Energie durch Bindung der Nukleonen im Atomkern Fusionsenergie Energie, die bei der Kernverschmelzung frei wird

In abgeschlossenen Systemen ist die Gesamtenergie erhalten

Allgemeiner Energieerhaltungssatz

Energieerhaltung

Energieerhaltung in konservativen, abgeschlossenen Systemen

Energieverlustmechanismen in

nichtkonservativen Systemen.

Äquivalenz von Masse und Energie

In der Originalarbeit von Einstein steht es etwas anders formuliert:

Gibt ein Körper die Energie E ab, so verkleinert sich seine Masse um E/c²

Vollständige Umwandlung von Masse in Energie

Streichholzkopf (10mg)

Das entspricht der Laufzeit von 0.5 h des Kohlekraftwerks Rostock

553 MW

Rostock

( )

Die wohl berühmteste Energiegleichung Masse lässt sich in Energie umwandeln und umgekehrt

J 10 s² 9

m² 10 kg

s 9 10 m 3 kg

10

2 8

5

⎟ = ⋅ ⋅ = ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ ⋅

=

E

2 2 0

1 v c m m

−

= relativistische Masse

2 0 2

2 0 2 2

0 2

2 2

0

2

v

2 1 v

2 1 1 1 v

1 m c m

c c m c

c m

mc ⎟⎟ ⎠ = +

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛ +

=

−

=

[ ] m [ ] [ Nm J

s m kg s

kg m

2

2

⎥⎦ ⎤ = =

⎢⎣ ⎡

⎥ =

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

mc ] hat die Dimension Energie!

Einheit

1 2

1

1 1 x

x << ⇒ -x ≈ +

Ruheenergie

kinetische Energie

Näherung für Geschwindigkeiten klein gegen die Lichtgeschwindigkeit

Energiefluss

chemische Energie kinetische

Energie

Masse elektromagnetische

Strahlung Fusion

thermische Energie

mc

E =

T k

E =

E = h ν

ν

2 1 m E =

mgh

E =

Energietransfer

Dagobert Ducks Version

Gravitationsenergie ist in den Zapfen gespeichert. Wenn sich die Masse nach unten bewegt wird potentielle

Energie verwendet, um die Uhr anzutreiben

Kuckucksuhr

Der Fluss von Energie ist vergleichbar dem Transfer von Geld. Wenn Vermögen von einem Konto abgehoben wird, taucht es an anderer Stelle wieder auf.

Erhaltung der Energie

14

Potentielle Energie

Kinetische Energie

mgy m

PE KE

E = + = v² + 2

1

0 2 v²

1 +

= m E

Energieerhaltung

mgh

E

= 0 +

Energieerhaltung

Energietransfer von potentieller Energie in kinetischer Energie und zurück

nur kinetische Energie Ball im unteren Punkt

nur kinetische Energie

nur potentielle Energie Ball im oberen

Umkehrpunkt nur potentielle Energie

potentielle Energie=kinetischer Energie potentielle Energie=kinetischer Energie potentielle Energie=kinetischer Energie

potentielle Energie=kinetischer Energie

Eine Periode des Fadenpendels

maximal gkeit Geschwindi

maximal Höhe

maximal Höhe

maximal

gkeit

Geschwindi

Hemmpendel

Wie hoch schwingt das Pendel ?

Achterbahn

h=20m

y=25m A

B

Achterbahnwagen 1500 kg 6 Personen insgesamt 300 kg

s 14.0 m v

2gh v

2 v² 1

=

=

= m mgh

( ) ^{3.53 10 J}

s 14.0 m kg

2 1800 v² 1

2

1 ⎟

= ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= m E

( ) ( ^{20.0 m} ) ^{3.53 10 J}

s² 9.81 m kg

1800 ⎟ = ⋅

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

= mgh E

Berechnung wäre extrem kompliziert, wenn man statt Energieerhaltung Betrag und

Richtung aller wirkenden Kräfte berücksichtigen würde Die tatsächliche Höhe der Bahn über Grund spielt für die Rechnung (genauer für die

potentielle Energie) keine Rolle. Wichtig ist nur der relative Unterschied in der Lage

Energieerhaltungssatz

Im Jahr des Drachen

Steel Dragon 2000

Höchster Punkt der Achterbahn 93.5 m Geschwindigkeit der Wagen am höchsten Punkt 3 m/s

2 1 v 2

v

2 v v 1

2 1

altung Energieerh

2 2

2 2

f f

i i

f f

i i

f f

i i

f i

gh gh

m mgh

m mgh

KE PE

KE PE

E E

+

= +

+

= +

+

= +

=

( )

( )

h 155 km s

9 m . 42 v

m 0 m 93.5 9.81

s 2 3 m v

2 v

v

ndigkeit Endgeschwi

2 2

=

=

−

⋅

⎟ +

⎠

⎜ ⎞

⎝

= ⎛

− +

=

f f

f i i

f

g h h

ohne Reibung!

Ergebnis ist unabhängig von der bewegten Masse

Looping

g m F r

r

−

=

Im oberstersten Punkt der Kreisbahn halten sich

Zentripedalkraft und Gravitation die Waage

m R F

v r

r =

Zentripedalkraft

F r

gR m R mg

F F

=

=

=

2

2

v

v

( ) ( ^{h R} )

mg ΔE

R mg E

mgh E

pot loop pot

pot

2 2

−

=

=

=

Überschuss in potentieller Energie kann in kinetische Energie umgewandelt werden

( )

( h R )

g

E R

h mg m

E

2 2

v

2 2 v

1

2 2

−

=

Δ

=

−

=

= Δ

( )

R h

R h

R

gR R

h g

2 5

4 2

2 2

=

−

=

=

−

Maximale Höhe des Loopings

wird durch Reibung reduziert diese Kräfte wirken

R: Radius der Loopingbahn

Startpunkt höchster Punkt

im Looping

und im Demonstrationsversuch zusätzlich durch die Speicherung von Energie in der Rotation der Kugel

R 2

R h

h − 2

Viele Wege zum Ziel

Oben auf der Rutsche (Anfangsbedingung)

mgh PE

=

2 v² 1 m KE

= 2 v²

1 m KE

=

mgh PE

=

Am Ende der Wasserrutsche

gleiche Geschwindigkeit der Kinder am Ende der Rutsche (Energieerhaltung), aber Kathleen kommt zuerst an.

Energieerhaltung ist sehr hilfreich

...aber Vorsicht, der Ansatz kann zu Informationsverlust führen

In der Literatur bekannt als Brachistochrone-Problem

Potentielle Energie des Raumschiffs

Größe des Raumschiffs Durchmesser 2R=20 km

Höhe H=1 km Flughöhe h=2 km

Größe von Manhattan 3.7 x 21.6 km

J 10 32 . 8 m s² 10

9.81 m kg

10

8.48 ⋅

⋅ ⋅

= ⋅

=

= M gh E

Dichte des Materials Aluminium ρ=2700 kg/m³

( ^{1 0 m} ) ^{10 m 3.14 10 m³}

² = ⋅

⋅

= ⋅

= π R H π V

kg 10 48 . 8 m³ 10 m³ 3.14

kg 1 2700

. 0

M

= β

⋅ ρ

⋅ V

= ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅

Volumen des UFOs

Masse des UFOs

Gespeicherte potentielle Energie des UFOs

% 10 teil

Materialan β

=

Oxford scientists have created a transparent form of aluminium by bombarding the metal with the world’s most powerful soft X-ray laser.

'Transparent aluminium' previously only existed in science fiction, featuring in the movie Star Trek IV, but the real material is an exotic new state of matter with implications for planetary science and nuclear fusion.

Independence Day

Größte je von Menschen hervorgerufene Explosion.

1961 Zar H-Bombe 57 MT TNT

000

≈ 165

HB P UFO P

E E

J 35 10 2.38

J 10 8.32

17 18

≈

⋅

= ⋅

ZB P UFO P

E E

Energie der Hiroshima Bombe 16 kT TNT (5x10¹³ J)

Vergleich mit irdischen Waffen: TNT- Äquivalent:

1 kT (Kilotonne TNT) = 4,184 · 1012 J

Beim Absturz des UFOs würde Energie in Höhe von 165 000 Hiroshima Bombe freigesetzt

23

Energietransfer

f f

f NC

i

i PE W KE PE E

KE + + = + + Δ

Energie kann auch durch äußere Einflüsse zunehmen

Strahlungseintrag der Sonne

1,353 kW pro Quadratmeter (Solarkonstante)

Arbeit verrichtet durch nicht-konservative Kräfte

Überschussenergie, die dem System entzogen

oder zugeführt wird

Durch geographische Lage und Absorption der Strahlung in der Atmosphäre beträgt der Eintrag in Rostock etwa 1000 kWh pro Quadratmeter, d.h 2800 Wm^-2

( )

W 2200

m² 2800 W m

0.5

=

⋅

=

⋅

=

SK

HRO SK

SK

W W

SK A

W

π

Solarkocher

maximal

Effizienz

Energieeintrag durch Speisen

Arbeit

thermische

Energie Speicherung

als Fett

i f

eff

E

= E ε

i f i

f

eff

P

P t t E

E = ε =

oder

Aktivität Effizi

enz (%) Körper

Gartenarbeit 3

Gewichtheben 9

Dampfmaschine 17

Gasturbine 30

Dieselmotor 35

Kernkraftwerk 35

Kohlekraftwerk 42

Radfahren, Klettern 20

Schwimmen 2

Tauchen 4

Energieverbrauch

kcal/min Watt

Schlaf 83

125 265 400 440 545 685 700 740 1855

Sprint 34.5 2415 6.90

Sitzen

Gehen (4.8 km/h)

Radfahren (13-18 m/h) 5.7 1.14

Tennis 6.3 1.26

Eislaufen (14.5 km/h) 7.8 1.56

Treppensteigen (116/min) 9.8 1.96

Radfahren (21 km/h) 10.0 2.00

Joggen 10.6 2.12

Maratonlauf 26.5 5.30

Sauerstoffverbrauch Liter O₂/ min

1.2 0.24

1.8 0.36

3.8 0.76

cal 0.24 J

1

J 4.19 cal

1

=

=

input vs output

Energie

Leistung

Stabhochsprung

Etienne Jules Marey 1830-1904

ca. 2.50 m

Stabhochsprung

Wichtiger Schritt in der Entwicklung des Stabhochsprungs

Speicherung von kinetischer Energie in elastische Energie

Stabhochsprung

kinetische Energie elastische Energie

potentielle Energie

kinetische Energie v ²

2 1 m 2 ²

1 kx mgh

² 2 v 1 m

Bahnkurve eines Stabhochspringers

Stabhochsprung

warum nicht längere Stäbe???

kinetische Energie elastische Energie

potentielle Energie

² 2 v 1 m 2 ²

1 kx mgh

m .6 4 s² 9.81 m

s 9 m

2 h 1 : Höhe nde

Resultiere

s 9 m : windigkeit Anlaufgsch

Maximale

=

=

Maximal mögliche zusätzliche Höhe (Handstand)

ausgestreckte Hand bis Körperschwerpunkt (max +2 m) also 6.6 m

Weltrekord im Stabhochsprung

6,14 m Serhij Bubka (Ukraine) 31.07.1994 5,01 m Jelena Issinbajewa (Russland) 12.08.2005

Deutscher Rekord

6,00 m Tim Lobinger, 24.8.1997

h g

mgh m

² v 2 1

² 2 v 1

=

=

einfacher Grund

Energieerhaltung

Zusammenfassung

Arbeit wird an einem Körper durch eine Kraft verrichtet, wenn das Objekt dabei um eine gewisse Distanz bewegt wird. Wenn die Kraft nicht entlang der Bewegungslinie zeigt, wird nur die Komponente entlang der Bewegungsachse berücksichtigt. Die von einer beliebigen Kraft verrichtete Arbeit entspricht der Fläche unter der Kraft-Weg Kurve

.

Θ

= Fd cos W

² 2 v 1 m EK =

2 1 2

2

v

2 v 1

2

1 m m

KE

W

= Δ = −

Die gesamte an einem Massenpunkt verrichtete Arbeit entspricht der Änderung der kinetischen Energie des

Massenpunktes

Eine Kraft ist konservativ, wenn keine Arbeit entlang eines geschlossenen Weges verrichtet wird.

Die von einer konservativen Kraft verrichteten Arbeit entspricht der Abnahme der potentiellen Energie des Systems. Der

Nullpunkt der potentiellen Energie kann beliebig gewählt werden

Kinetische Energie

Potentielle Energie im Gravitationsfeld

mgh PE =

Erhaltung der Energie

Wirken nur konservative Kräfte auf ein System von Teilchen, dann bleibt die Summe aus kinetischer und potentieller Energie erhalten

Einer Änderung der mechanischen Gesamtenergie entspricht der von einer nicht-konservativen Kraft verrichteten Arbeit.

Energie kann in andere Energieformen transferiert werden (z.B. Wärme, chemische Energie) Leistung ist die Energie, die pro Zeitintervall von

einem System in ein anderes übertragen wird

SI Einheit: Watt [W] r v r

dt F P = dW =

SI Einheit Joule [J]