Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik
Prof. Dr. S. Ulbrich
Wintersemester 2009/10 Blatt 3
L¨osungsvorschlag zur Vorlesung
Nichtglatte Optimierung und Anwendungen
G7:
Nahe beix0 = 0giltf(x) = 4−x, alsog0 =−1. Dies ergibt f0se= 4−x
und somit das erste Schnittebenenproblem
min 4−x u.d. Nebenbed.0≤x≤8
mit L¨osungx1 = 8. Nahe beix1= 8giltf(x) =x−3, alsog1 = 1. Damit ist f1se= max(4−x, x−3)
und das zweite Schnittebenenproblem
min max(4−x, x−3) u.d. Nebenbed.0≤x≤8
hat die L¨osungx2= 3,5. Nahe beix2= 3,5giltf(x) = 3−x/2, alsog2 =−1/2. Dann gilt f2se= max(4−x, x−3,3−x/2) =f(x)
und das dritte Schnittebenenproblem ist gerade das Ausgangsproblem
min max(4−x, x−3,3−x/2) u.d. Nebenbed.0≤x≤8 mit L¨osungx3 = 4.
G8:
Seif(x) =|x|.
Berechnung von∂εf(0):
∂εf(0) ={g; gs≤ |s| − |0|+ε ∀s∈R}= [−1,1].
Berechnung von∂εf(x),x >0:
∂εf(x) ={g; gs≤ |x+s| − |x|+ε ∀s∈R}. F¨urs≥0ergibt sich
gs≤s+ε ∀s≥0,
alsog∈]− ∞,1].
F¨urs∈[−x,0[ergibt sich
gs≤s+ε ∀s∈[−x,0[, also
g≥1 +ε
s ∀s∈[−x,0[.
Dies liefertg≥1−xε. F¨urs <−xergibt sich
gs≤ −x−s−x+ε=−s−2x+ε ∀s <−x, also
g≥ −1 +ε−2x
s ∀s <−x.
Istε≥2x, dann ergibt sichg≥ −1. Im Fallε <2xerhalten wirg≥ −1−xε + 2 = 1−xε. Insgesamt:
∂εf(x) =
([−1,1] f¨urε≥2x, [1−xε,1] f¨urε <2x.
Im Fallx <0gilt aus Symmetriegr¨unden∂εf(x) =−∂εf(−x).
G9:
zu a):h(s) :=f(x+s) +2γ1 ksk22ist streng konvex und f¨ur ein beliebigesg∈∂f(x)gilt h(s)≥f(x) +gTs+ 1
2γksk22 → ∞ f¨urksk2 → ∞.
Damit hat (Pγ) eine eindeutige L¨osung sγ (die Eindeutigkeit folgt aus der strengen Konve- xit¨at).
zu b): Setze∆ = ksγk2. Dann istsγ zul¨assig f¨ur (T∆). F¨ur jedes smitksk2 ≤∆ = ksγk2 gilt nun
f(x+s) + 1
2γksk22≥f(x+sγ) + 1 2γksγk22, also
f(x+s)−f(x+sγ)≥ 1
2γ(ksγk22− ksk22)≥0.
Somit istsγL¨osung von (T∆).
zu c): Seiµ > γ. Es gilt
f(x+sγ) + 1
2γksγk22 ≤f(x+sµ) + 1 2γksµk22 f(x+sγ) + 1
2µksγk22 ≥f(x+sµ) + 1
2µksµk22. Subtraktion dieser Gleichungen ergibt
1 2γ − 1
2µ
ksγk22≤ 1
2γ − 1 2µ
ksµk22
und somitksγk22 ≤ ksµk22.
Annahme, γ → sγ ist nicht stetig in einem γ > 0. Dann existiert ε > 0 und eine Folge (γk) → γ mitksγk −sγk ≥ ε. Da (sγk)wegen der Beschr¨anktheit von(γk) beschr¨ankt ist (Monotonie vonγ → ksγk2), gilt nach ¨Ubergang einer Teilfolgesγk →s. Nun gilt¯
f(x+ ¯s) + 1
2γk¯sk22 = lim
k→∞f(x+sγk) + 1 2γk
ksγkk22 ≤ lim
k→∞f(x+sγ) + 1 2γk
ksγk22
=f(x+sγ) + 1
2γksγk22.
Damit ists¯optimal f¨ur(Pγ), es gilt alsos¯=sγwegen der Eindeutigkeit vonsγ. Dies ist ein Widerspruch,γ →sγ ist doch stetig.
zu d): Nach Voraussetzung ists¯kein globales Minimum vonf. Es folgtk¯sk2 = ∆, das¯sonst lokales und damit globales Minimum w¨are.
Dafbei Vergr¨oßerung der Trust-Region abnimmt, giltksγk>∆f¨ur großeγ >0. Weiter gilt offensichtlichksγk →0f¨urγ→0.
Nach c) und dem Zwischenwertsatz existiert also einγ >0mitksγk2 = ∆. Nach dem Beweis von b) istsγ eine L¨osung von (T∆) und diese ist eindeutig wegen der strengen Konvexit¨at.
Damit gilt¯s=sγ.