L¨osungsvorschlag zur Vorlesung

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Wintersemester 2009/10 Blatt 3

L¨osungsvorschlag zur Vorlesung

Nichtglatte Optimierung und Anwendungen

G7:

Nahe beix⁰ = 0giltf(x) = 4−x, alsog⁰ =−1. Dies ergibt f₀^se= 4−x

und somit das erste Schnittebenenproblem

min 4−x u.d. Nebenbed.0≤x≤8

mit L¨osungx¹ = 8. Nahe beix¹= 8giltf(x) =x−3, alsog¹ = 1. Damit ist f₁^se= max(4−x, x−3)

und das zweite Schnittebenenproblem

min max(4−x, x−3) u.d. Nebenbed.0≤x≤8

hat die L¨osungx²= 3,5. Nahe beix²= 3,5giltf(x) = 3−x/2, alsog² =−1/2. Dann gilt f₂^se= max(4−x, x−3,3−x/2) =f(x)

und das dritte Schnittebenenproblem ist gerade das Ausgangsproblem

min max(4−x, x−3,3−x/2) u.d. Nebenbed.0≤x≤8 mit L¨osungx³ = 4.

G8:

Seif(x) =|x|.

Berechnung von∂εf(0):

∂_εf(0) ={g; gs≤ |s| − |0|+ε ∀s∈R}= [−1,1].

Berechnung von∂_εf(x),x >0:

∂εf(x) ={g; gs≤ |x+s| − |x|+ε ∀s∈R}. F¨urs≥0ergibt sich

gs≤s+ε ∀s≥0,

alsog∈]− ∞,1].

F¨urs∈[−x,0[ergibt sich

gs≤s+ε ∀s∈[−x,0[, also

g≥1 +ε

s ∀s∈[−x,0[.

Dies liefertg≥1−_x^ε. F¨urs <−xergibt sich

gs≤ −x−s−x+ε=−s−2x+ε ∀s <−x, also

g≥ −1 +ε−2x

s ∀s <−x.

Istε≥2x, dann ergibt sichg≥ −1. Im Fallε <2xerhalten wirg≥ −1−_x^ε + 2 = 1−_x^ε. Insgesamt:

∂_εf(x) =

([−1,1] f¨urε≥2x, [1−_x^ε,1] f¨urε <2x.

Im Fallx <0gilt aus Symmetriegr¨unden∂εf(x) =−∂_εf(−x).

G9:

zu a):h(s) :=f(x+s) +_2γ¹ ksk²₂ist streng konvex und f¨ur ein beliebigesg∈∂f(x)gilt h(s)≥f(x) +g^Ts+ 1

2γksk²₂ → ∞ f¨urksk₂ → ∞.

Damit hat (Pγ) eine eindeutige L¨osung sγ (die Eindeutigkeit folgt aus der strengen Konve- xit¨at).

zu b): Setze∆ = ks_γk₂. Dann istsγ zul¨assig f¨ur (T∆). F¨ur jedes smitksk₂ ≤∆ = ks_γk₂ gilt nun

f(x+s) + 1

2γksk²₂≥f(x+sγ) + 1 2γks_γk²₂, also

f(x+s)−f(x+s_γ)≥ 1

2γ(ks_γk²₂− ksk²₂)≥0.

Somit istsγL¨osung von (T∆).

zu c): Seiµ > γ. Es gilt

f(x+s_γ) + 1

2γks_γk²₂ ≤f(x+s_µ) + 1 2γks_µk²₂ f(x+s_γ) + 1

2µks_γk²₂ ≥f(x+s_µ) + 1

2µks_µk²₂. Subtraktion dieser Gleichungen ergibt

1 2γ − 1

2µ

ks_γk²₂≤ 1

2γ − 1 2µ

ks_µk²₂

und somitks_γk²₂ ≤ ks_µk²₂.

Annahme, γ → s_γ ist nicht stetig in einem γ > 0. Dann existiert ε > 0 und eine Folge (γk) → γ mitks_γk −sγk ≥ ε. Da (sγk)wegen der Beschr¨anktheit von(γk) beschr¨ankt ist (Monotonie vonγ → ks_γk₂), gilt nach ¨Ubergang einer Teilfolges_γk →s. Nun gilt¯

f(x+ ¯s) + 1

2γk¯sk²₂ = lim

k→∞f(x+s_γk) + 1 2γk

ks_γkk²₂ ≤ lim

k→∞f(x+s_γ) + 1 2γk

ks_γk²₂

=f(x+s_γ) + 1

2γks_γk²₂.

Damit ists¯optimal f¨ur(Pγ), es gilt alsos¯=sγwegen der Eindeutigkeit vonsγ. Dies ist ein Widerspruch,γ →s_γ ist doch stetig.

zu d): Nach Voraussetzung ists¯kein globales Minimum vonf. Es folgtk¯sk₂ = ∆, das¯sonst lokales und damit globales Minimum w¨are.

Dafbei Vergr¨oßerung der Trust-Region abnimmt, giltks_γk>∆f¨ur großeγ >0. Weiter gilt offensichtlichks_γk →0f¨urγ→0.

Nach c) und dem Zwischenwertsatz existiert also einγ >0mitks_γk₂ = ∆. Nach dem Beweis von b) istsγ eine L¨osung von (T∆) und diese ist eindeutig wegen der strengen Konvexit¨at.

Damit gilt¯s=s_γ.