• Keine Ergebnisse gefunden

L¨osungsvorschlag zur Vorlesung

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Aktie "L¨osungsvorschlag zur Vorlesung"

Copied!
3
0
0

Wird geladen.... (Jetzt Volltext ansehen)

Volltext

(1)

Technische Universit¨at Darmstadt Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. S. Ulbrich

Wintersemester 2009/10 Blatt 3

L¨osungsvorschlag zur Vorlesung

Nichtglatte Optimierung und Anwendungen

G7:

Nahe beix0 = 0giltf(x) = 4−x, alsog0 =−1. Dies ergibt f0se= 4−x

und somit das erste Schnittebenenproblem

min 4−x u.d. Nebenbed.0≤x≤8

mit L¨osungx1 = 8. Nahe beix1= 8giltf(x) =x−3, alsog1 = 1. Damit ist f1se= max(4−x, x−3)

und das zweite Schnittebenenproblem

min max(4−x, x−3) u.d. Nebenbed.0≤x≤8

hat die L¨osungx2= 3,5. Nahe beix2= 3,5giltf(x) = 3−x/2, alsog2 =−1/2. Dann gilt f2se= max(4−x, x−3,3−x/2) =f(x)

und das dritte Schnittebenenproblem ist gerade das Ausgangsproblem

min max(4−x, x−3,3−x/2) u.d. Nebenbed.0≤x≤8 mit L¨osungx3 = 4.

G8:

Seif(x) =|x|.

Berechnung von∂εf(0):

εf(0) ={g; gs≤ |s| − |0|+ε ∀s∈R}= [−1,1].

Berechnung von∂εf(x),x >0:

εf(x) ={g; gs≤ |x+s| − |x|+ε ∀s∈R}. F¨urs≥0ergibt sich

gs≤s+ε ∀s≥0,

(2)

alsog∈]− ∞,1].

F¨urs∈[−x,0[ergibt sich

gs≤s+ε ∀s∈[−x,0[, also

g≥1 +ε

s ∀s∈[−x,0[.

Dies liefertg≥1−xε. F¨urs <−xergibt sich

gs≤ −x−s−x+ε=−s−2x+ε ∀s <−x, also

g≥ −1 +ε−2x

s ∀s <−x.

Istε≥2x, dann ergibt sichg≥ −1. Im Fallε <2xerhalten wirg≥ −1−xε + 2 = 1−xε. Insgesamt:

εf(x) =

([−1,1] f¨urε≥2x, [1−xε,1] f¨urε <2x.

Im Fallx <0gilt aus Symmetriegr¨unden∂εf(x) =−∂εf(−x).

G9:

zu a):h(s) :=f(x+s) +1 ksk22ist streng konvex und f¨ur ein beliebigesg∈∂f(x)gilt h(s)≥f(x) +gTs+ 1

2γksk22 → ∞ f¨urksk2 → ∞.

Damit hat (Pγ) eine eindeutige L¨osung sγ (die Eindeutigkeit folgt aus der strengen Konve- xit¨at).

zu b): Setze∆ = ksγk2. Dann istsγ zul¨assig f¨ur (T). F¨ur jedes smitksk2 ≤∆ = ksγk2 gilt nun

f(x+s) + 1

2γksk22≥f(x+sγ) + 1 2γksγk22, also

f(x+s)−f(x+sγ)≥ 1

2γ(ksγk22− ksk22)≥0.

Somit istsγL¨osung von (T).

zu c): Seiµ > γ. Es gilt

f(x+sγ) + 1

2γksγk22 ≤f(x+sµ) + 1 2γksµk22 f(x+sγ) + 1

2µksγk22 ≥f(x+sµ) + 1

2µksµk22. Subtraktion dieser Gleichungen ergibt

1 2γ − 1

ksγk22≤ 1

2γ − 1 2µ

ksµk22

(3)

und somitksγk22 ≤ ksµk22.

Annahme, γ → sγ ist nicht stetig in einem γ > 0. Dann existiert ε > 0 und eine Folge (γk) → γ mitksγk −sγk ≥ ε. Da (sγk)wegen der Beschr¨anktheit von(γk) beschr¨ankt ist (Monotonie vonγ → ksγk2), gilt nach ¨Ubergang einer Teilfolgesγk →s. Nun gilt¯

f(x+ ¯s) + 1

2γk¯sk22 = lim

k→∞f(x+sγk) + 1 2γk

ksγkk22 ≤ lim

k→∞f(x+sγ) + 1 2γk

ksγk22

=f(x+sγ) + 1

2γksγk22.

Damit ists¯optimal f¨ur(Pγ), es gilt alsos¯=sγwegen der Eindeutigkeit vonsγ. Dies ist ein Widerspruch,γ →sγ ist doch stetig.

zu d): Nach Voraussetzung ists¯kein globales Minimum vonf. Es folgtk¯sk2 = ∆, das¯sonst lokales und damit globales Minimum w¨are.

Dafbei Vergr¨oßerung der Trust-Region abnimmt, giltksγk>∆f¨ur großeγ >0. Weiter gilt offensichtlichksγk →0f¨urγ→0.

Nach c) und dem Zwischenwertsatz existiert also einγ >0mitksγk2 = ∆. Nach dem Beweis von b) istsγ eine L¨osung von (T) und diese ist eindeutig wegen der strengen Konvexit¨at.

Damit gilt¯s=sγ.

Referenzen

ÄHNLICHE DOKUMENTE

Draw the analogy to the uniqueness theorem for the Poisson equation Lu = f.. Consider the

The following example indicates that the solvability of the Dirichlet problem for arbitrary boundary data requires convexity of the domain.. a) Let C be a catenoid whose axis

Aufgabe A1: (Nach unten beschr¨ ankte Operatoren) Zeigen Sie: Seien E, F Ba- nachr¨ aume.. Elemente in W k¨ onnen mit Funk- tionen von R nach [0, 1]

Hinweis: Zeigen Sie, dass jede Nullumgebung der schwachen Topologie lineare Teilr¨ aume

Fortsetzung: Die Vorlesung wird im darauffolgenden Semester fortgesetzt mit Veranstal- tungen ¨ uber Operatoralgebren, an welche sich bei Interesse unmittelbar

Bemerkung: Die Abbildung h wird auch als Grundraumtransformation bezeichnet. Aufgabe H2: (Wann ist die

(Hinweis: Finden Sie eine ¨ uberabz¨ ahlbare Teil- menge in der Einheitskugel, deren Elemente voneinander große Abst¨ ande haben)... b) Zeigen Sie: Ist E Banachraum und H ⊆ E

Aufgabe A3: (Banach Steinhaus) K¨ onnen Sie den Satz von Banach-Steinhaus auch auf Netze verallgemeinern? Wie muss er dann formuliert werden?.. Aufschluss dar¨ uber liefert der