Lineare Algebra II 10. Tutoriumsblatt
Fachbereich Mathematik SS 2011
Prof. Dr. Kollross 21. Juni 2011
Susanne Kürsten Tristan Alex
Aufgabe T1 (Drehungen und Spiegelungen)
Geben Sie die Matrix der folgenden Abbildungen bezüglich der Standardeinheitsbasis an.
(a) Eine Drehung imR2um π
3 um den Koordinatenursprung.
(b) Eine Spiegelung imR2an einer Geraden durch den Koordinatenursprung, welche mit der x-Achse den Winkel π einschließt. 6
(c) Eine Abbildung vomR4in denR4, welche in der EbeneEdie von den Vektoren
b1:=
1 1 1 1
undb2:=
0 0 1 1
aufgespannt wird, einer Drehung um π3 um den Koordinatenursprung entspricht und die alle Elemente ausE⊥auf sich abbildet.
Aufgabe T2 (Eigenwerte)
(a) Es seiena,b∈R. Berechnen Sie die (eventuell komplexen) Eigenwerte der Matrix A=
a −b
b a
.
(b) Berechnen Sie die (eventuell komplexen) Eigenwerte der Matrix einer Drehung imR2um den Koordinatenursprung um einen Winkelϕ∈R.
Aufgabe T3 (Diagonalisieren) Es sei
A:=
1 2 2 1
.
Geben Sie eine orthogonale MatrixPan, für diePTAPeine Diagonalmatrix ist und berechnen SiePTAP.
Aufgabe T4 (Diagonalisierbarkeit)
Warum gibt es eine unitäre Matrix Q, so dass für
A:=
i −i 1
i i i
1 −i i
die MatrixA0=Q−1A Qeine Diagonalmatrix ist?
1
