Beziehungen zwischen den Komplextitätsklassen

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Reelle Komplexität - Grundlagen II

Julian Bitterlich

Themenübersicht:

I Beziehungen zwischen den Komplexitätsklassen

I Savitchs Theorem

I coNPund Charakterisierungen vonNPundcoNP

I Reduktion, Vollständigkeit, Härte

I SATistNP-vollständig

I QSATistPSPACE-vollständig

(2)

Beziehungen zwischen den Komplextitätsklassen

Wir wollen folgende Inklusionen zeigen:

L⊆NL⊆P⊆NP⊆PSPACE=NPSPACE⊆EXP⊆NEXP Dabei sind klar:

I L⊆NLX

I P⊆NPX

I PSPACE⊆NPSPACEX

I EXP⊆NEXPX Es bleiben also noch:

I NP⊆PSPACE

I NL⊆PundNPSPACE⊆EXP

I NPSPACE⊆PSPACE

9. Mai 2011 | Seminar Relle Komplexität | Julian Bitterlich | 2

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NTIME (f (n)) ⊆ SPACE (f (n))

Definition

Eine Funktionf(n) heißt platzkonstruierbar/platzberechenbar, wenn es eineTMT gibt, so dassT, gegebennin unärer Darstellung,f(n) in unärer Darstellung berechnet. Dabei istT∈SPACE(f(n)).

kurz:

n-mal

z }| { 1 ... 1→^T

f(n)-mal

z }| { 1 ... 1

Beispiel

log(n),n^k,√

n,n! sind platzberechenbar. Die Summe oder das Produkt zweier platzberechnbarer Funktionen ist wieder platzberechenbar.

Theorem

Sei f(n)platzkonstruierbar, dann istNTIME(f(n))⊆SPACE(f(n)).

⇒NP⊆PSPACEX

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NSPACE (f (n)) ⊆ TIME (c

^log(n)+f⁽ⁿ⁾

)

Definition

Eine Funktionf(n) mitf(n)≥nheißt zeitkonstruierbar, wenn es eineTMT gibt, so dassT, gegebennin unärer Darstellung,f(n) in unärer Darstellung berechnet.

Dabei istT ∈TIME(f(n)).

Beispiel

n^k,n!,nlog(n) sind zeitkonstruierbar.

Theorem

Sei f(n)zeitkonstrierbar, dann istNSPACE(f(n))⊆TIME(clog(n)+f(n)).

(5)

NSPACE (f (n)) ⊆ TIME c

^log(n)+f⁽ⁿ⁾

Theorem

Sei f(n)zeitkonstrierbar, dann istNSPACE(f(n))⊆TIME(clog(n)+f(n)).

Beweisskizze.

I Es gibt nur endlich viele Konfigurationen

I Die Konfigurationen zusammen mit den Übergangsrelationen bilden einen gerichteten Graphen

I Startknoten istC0 = (s,.,x,.,, ... ,.,)

I Endknoten ist (O.B.d.A)C = (q_accept,.,,.,, ... ,.,)

I REACHABILITY∈TIME(n²)

⇒NL⊆PX,NPSPACE⊆EXPX

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Savitch’s Theorem

Theorem (Savitch’s Theorem)

NSPACE(f(n))⊆SPACE f²(n)

für platzkonstruiebare Funktionen f(n)≥log(n).

Theorem

REACHABILITY∈SPACE log²(n) .

Beweisskizze.

I PATH(x,y,i) := „Es gibt einen Weg vonxnachy, der höchstens 2ⁱlang ist“

I Es existiert ein Weg vonxnachy ⇔ PATH(x,y, log(n))

I Wenni= 0, kann PATH(x,y,i) an den Transitionen überprüft werden

I Wenni≥0, dann PATH(x,y,i)⇔ ∃z(PATH(x,z,i−1)∧PATH(z,y,i−1))

I Es müssen höchstens log(n) Tupel (x,y,i) der Länge 3 log(n) gespeichert werden

(7)

Savitch’s Theorem

Theorem (Savitch’s Theorem)

NSPACE(f(n))⊆SPACE f²(n)

für Funktionen f(n)≥n.

⇒NPSPACE⊆PSPACEX

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Was wir nicht machen...

Man kann zeigen, dassP EXP. Der Großteil der Forscher glaubt, dass P NP∧NP PSPACE∧PSPACE EXP.

Aber man weiß nur

P NP∨NP PSPACE∨SPACE EXP.

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Alternativer Characterisierung von NP

Definition

Eine SpracheL⊂Σ^∗ist inNP, wenn es eink ∈Nund eineNTMMgibt, so dass LvonMentschieden wird undL∈ O(n^k) ist.

Theorem

Eine Sprache L⊂Σ^∗ist inNP, genau dann wenn es ein Polynom p:N→Nund eineTMM ausP(Prüfer genannt) gibt, so dass für jedes x ∈Σ^∗gilt

x ∈L⇔ ∃u∈Σ^p(^|^x^|⁾so dass M(x,u)akzeptiert. (1) Wenn x ∈L und u∈Σ^p(^|^x^|⁾, so dass M(x,u)akzeptiert, nennen wir u ein Zertifikat für x .

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coNP

Definition

Eine SpracheL⊂Σ^∗ist incoNP, wenn esk ∈Nund eineNTMMgibt, so dass L^cvonMentschieden wird undL∈ O(n^k) ist.

Kurz:coNP={L:L^c ∈NP}

n n n n n n y n y n

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Etwas mehr Gedanken zu co

I Für jede KomplexitätsklasseC, kann man diese Definition anwenden und erhältcoC

I IstCeine deterministische Komplexitätsklasse so istcoC=C

I SeiMeineNTM, die die SpracheL⊆Σ^∗erkennt, undx ∈Σ^∗:

I Es reichteineBerechnung umx ∈L„semi zu entscheiden“

I Man brauchtalleBerechnungen umx 6∈L„semi zu entscheiden“

I Bildet man ausMeine neueNTMM, durch verstauchen vonqacceptundqreject, dann erkenntMnichtL^csondern eine größere Sprache

I Im allgemeinen istcoC 6=C

I Im allgemeinen istcoC 6=C^c

(12)

Intermezzo: CNF-Formeln

Definition

Eine Formelφ(u₁, ... ,u_n) ist in CNF (Conjunctive Normal Form), wenn sie von der Form ist

^

i



 _

j

ν_i_j





ist, wobeiν_i_jentweder eine Variableukist, oder eine negierte Variable¬u_k(Auch genannt Literal).

Mit anderen Worten: Eine Formel ist in CNF, wenn sie die Verundung von veroderten Literalen ist.

Die SubformelnW

jν_i_jnennt man auch Klauseln.

Eine kCNF Formel ist eine CNF Formel dessen Klauseln höchstens k Literale haben.

(13)

Intermezzo: S

AT

und T

AUT

Definition

SATist die Sprache aller erfüllbaren CNF-Formeln (in einer geeigneten Codierung).

z.B.

I (a∨b∨c∨d)∧(¬a∨b∨e)∧(a∨ ¬c∨ ¬d)∧(¬e)∧(c∨ ¬b)∈ SAT KSATist die Sprache aller erfüllbaren kCNF-Formeln.

z.B.

I (a∨b∨c∨d)∧(¬a∨b∨e)∧(a∨ ¬c∨ ¬d)∧(¬e)∧(c∨ ¬b)6∈3SAT I (x∨y∨ ¬z)∧(x∨ ¬y)∧(¬x∨ ¬z)∧(¬y∨z)∧(¬x∨y)∧(x∨z)6∈3SAT

Definition

TAUTist die Sprache aller (immer) wahren CNF-Formeln.

Bemerke:φ∈ SAT⇔ ¬φ6∈TAUT.

(14)

Zurück zu NP und coNP

I SAT∈NP

Zertifikat ist eine erfüllende Belgung.

I TAUT∈coNP

Zertifikat, dass man nicht inTAUTist, ist einenichterfüllende Belegung.

Sallop formuliert: Damitφ∈TAUTgilt, mussφjedem „Unzertifikat“

standhalten.

Theorem

Eine Sprache L⊂Σ^∗ist incoNP, genau dann wenn es ein Polynom p:N→N und eineTMM ausPgibt, so dass für jedes x∈Σ^∗gilt

x ∈L⇔ ∀u∈Σ^p(^|^x^|⁾ M(x,u)akzeptiert. (2)

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Folgerungen und Ausblick

I DaPSPACE=coPSPACEundNPSPACE=PSPACEgilt NPSPACE=coNPSPACE

I P⊆NP∩coNP

I NP∪coNP⊆PSPACE

I WennP=NP, dann ist auchcoNP=NP

I NSPACE(f(n)) =coNSPACE(f(n)) für platzkonstruierbare Funktionen f(n)≥log(n)

I Die Polynomielle Hirachie

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Reduktion

Definition

Eine SpracheK ist polynomiell reduzierbar auf die SpracheL, wenn es eine polynomielle TMTgibt mit Ein- und Ausgabe, so dass

x∈K ⇔T(x)∈L. (3)

Man schreibtK ≤pL.

Eine KomplexitätsklasseCheißt abgeschlossen under (polynomieller) Redunktion, wenn für alle SprachenK,L⊆Σ^∗

K ≤pL∧L∈ C ⇒K ∈ C (4) gilt.

Eine SpracheL⊆Σ^∗heißtC-hart, wenn sich alle SprachenK ∈ CaufLreduzieren lassen (K ≤pL).

Eine SpracheL⊆Σ^∗heißtC-vollständig, wenn sieC-hart ist und inCliegt.

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Mehr zu Reduktion

Bemerkung

I P,NP,coNP,PSPACE,EXP,NEXPsind abgeschlossen unter Reduktion

I Reduktion ist fürPnicht besonders sinnvoll

I Reduktion ist eine Äquivalenzrealtion (insbesondere Transitiv)

I Es gibt noch andere von Reduktion, z.B. Reduktion in logarithmischen Platz (Dann auch sinnvoll fürPundNL)

Theorem

SeienC,Dzwei Komplexitätsklassen und L⊆Σ^∗eine Sprache. IstC abgeschlossen unter Reduktion und LD-vollständig, dann istD ⊆ C.

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S

AT

ist NP -vollständig

Beweis.

I O.B.d.A sei die MaschineMeine 2Band-TM,ignorantundΣ={0, 1}

I Wegen (1) gibt es eineTMM, so dass für allex ∈Σ^∗,

x∈L⇔M(x,u) = 1 für einu∈Σ^p(^|^x^|⁾, wobeipein Polynom ist.

I Konstruktion einer Reduktionx→φ_x, so dass,φ_x∈ SAT⇔ ∃u∈Σ^p(^|^x^|⁾mit M(x,u) = 1

I Ein Schnappschuss ist ein Tripelha,b,qi ∈Γ×Γ×Q. Die Länge hängt vonΓ undQab.

I zur Zeitihängt der Schnappschussz_i nur vonz_i₋₁,yinputpos(i),z_prev(i)

I Es gibt eine boolsche FunktionF, so dassF(zi−1,zprev(i),yinputpos(i)) =zi

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S

AT

ist NP -vollständig

Beweis.

Ziel: Bilde Formelφ_x, so dass eine Erfüllenden Belegung genau die Form hat z₁, ... ,z_T_(n), mit

I Die ersten n bits vony sind gleichx

I z₁=h.,.,q_starti

I Für jedesi ∈ {2, ... ,T(n)},zi =F(zi−1,zinputpos(i),zprev(i))

I zT(n)=h.,.,qaccpepti

Dies kann in polynomieller Zeit geschehen.

(20)

Mehr vollständigkeit

I TAUTistcoNP-vollständig

I INDESETistNP-vollständig

I 3SATistNP-vollständig

I HAMPATHistNP-vollständig

I CLIQUEistNP-vollständig

I TSPistNP-vollständig ...

I Lander’s Theorem: WennP6=NP, dann gibt es eine SpracheL∈NP\Pdie nichtNP-vollständig ist

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QS

AT

Definition

QSATist die Sprache aller wahrenquantifiziertenboolschen Formeln in pränex Normalformψ=Q₁...Q_nφ(x₁, ... ,x_n), wobeiQ_i einet der beiden Quantoren∃oder

∀ist.

Theorem

QSATist inPSPACE.

(22)

QS

AT

ist PSPACE -vollständig

Beweis.

SeiL∈PSPACEundMdie entsprechendeTM

I O.B.d.AΣ={0, 1}.

I Eine Konfiguration brauchtm=O(n) Platz.

I der Konfigurationsbaum hat höchstens 2^mElemente.

I Es gibt eine boolsche Formelφm,x, so dass für alleC,C⁰∈ {0, 1}^m, φM,x(C,C⁰) = 1 genau dann wennCundC⁰zwei aufeinander folgenden Konfigutationen sind.

I Konstruierenψ_i ∈QSAT, so dassψ_i(C,C⁰) genau dann wahr ist, wenn es im Konfigurationsgraph einen Weg vonCnachC⁰kürzer gleich 2ⁱgibt.

I ψ_m(Cstart,Caccpet) ist die gesuchte Formel.

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Reduktion als relatver Beweis, dass ein Problem schwer ist

I SAT∈P⇔P=NP

I Obiges gilt für alleNP-vollständigen Probleme. Diese liegen am unwahrscheinlichsten inP

I QSAT∈NP⇔PSPACE=NP