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(a) Leiten Sie aus der WKB–N¨ aherung der Wellenfunktion ψ(q) = A(q)e

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Academic year: 2021

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(1)

Quantenchaos (Guhr) — ¨ Ubung 10

1. WKB–N¨ aherung

(a) Leiten Sie aus der WKB–N¨ aherung der Wellenfunktion ψ(q) = A(q)e

iS(q)/~

eine semiklassische Kontinuit¨ atsgleichung f¨ ur |A|

2

her. Wie ist die Strom- dichte definiert?

(b) Berechnen die Energieniveaus und Wellenfunktionen eines Teilchens der Masse m in einem Oszillatorpotential V (q) = mω

20

q

2

/2 in semiklassischer N¨ aherung.

2. Poisson–Summation

Poissons Summenregel setzt Summen von Funktionswerten einer Funktion f (x) mit Summen von Funktionswerten der Fouriertransformierten

f e (k) = 1 2π

Z

∞

−∞

f (x)e

ikx

in Verbindung

∞

X

n=−∞

f (n) = 2π

∞

X

m=−∞

f e (2πm) .

(a) Nutzen Sie Poissons Summenregel um die Niveaudichte des harmonischen Oszillators in einen glatten und einen oszillierenden Anteil zu zerlegen.

(b) Beweisen Sie

∞

X

n=−∞

1

n − x = −π cot πx ,

f¨ ur unganzzahliges x.

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