Einführung in die Stochastik Übungsblatt 1
Fachbereich Mathematik Sommersemester 2010
Dr. Robert Schlicht 16.04.2010
Dr. Mehdi Slassi
Dipl. Math. Andreas Fromkorth
Aufgabe 1.1 (Bonferroni-Ungleichung) 4 Punkte
Verifizieren Sie für beliebige EreignisseA1, . . . ,Andie Ungleichung
P
n
[
i=1
Ai
!
≥
n
X
i=1
P Ai
− X
1≤i<j≤n
P
Ai∩Aj .
Aufgabe 1.2 4 Punkte
Ein gewisser Chevalier de Méré, der mit seinen Spielproblemen und deren Lösungen durch Pascal in die Geschichte der Wahrscheinlichkeitstheorie eingegangen ist, wunderte sich einmal Pascal gegenüber, dass er beim Werfen mit 3 Würfeln die Augensumme 11 haufiger beobachtet hatte als die Augensumme 12, obwohl doch 11durch die Kombinationen6−4−1, 6−3−2, 5−5−1, 5−4−2, 5−3−3, 4−4−3und die Augensumme12durch genauso viele Kombinationen (welche?) erzeugt würde. Kann man die Beobachtung des Chevalier de Méré als “vom Zufall bedingt” ansehen oder steckt in seiner Argumentation ein Fehler? Führen Sie zur Lösung dieses Problems einen geeigneten Ergebnisraum mit geeigneten Wahrscheinlichkeiten ein.
Aufgabe 1.3 4 Punkte
In einem Café gibt es 3 verschiedene Sorten von Torten zur Auswahl. Eine Bestellung von 10 Stück Torte bestehe in der Angabe der Anzahl der von jeder Torte bestellten Stücke. Wieviele verschiedene Bestellungen gibt es für die 10 Stück Torte, falls von jeder Sorte mindestens ein Stück bestellt wird?
Aufgabe 1.4 4 Punkte
Es seiM eine nichtleere Menge von Mengen. Dann definiert man die Mengen
∪M:={x|es gibt einM∈ Mmitx∈M} und ∩ M :={x|für alleM∈ M istx∈M}.
Die Menge∪M (bzw. ∩M) heißt die Vereinigung vonM (bzw. der Durschnitt von M). Sei f : M → N eine gegebene Abbildung. Für jede Teilmenge M0 von M bezeichnen wir mit f(M0):={f(x): x ∈M0}das Bild von
f|M0.Für jede TeilmengeN0 vonN bezeichnetf−1(N0):={x∈M:f(x)∈N0}das f-Urbild vonN0. a) SeiM eine nichtleere Menge von Teilmengen vonM. Zeigen Sie:
f (∪M) =∪{f(M0):M0∈ M } und f (∩M)⊂ ∩{f(M0):M0∈ M }.
b) SeiN eine nichtleere Menge von Teilmengen vonN. Zeigen Sie
f−1(∪N) =∪{f−1(N0):N0∈ N } und f−1(∩N) =∩{f−1(N0):N0∈ N }.
Abgabetermin:Freitag, 23. April 2010 vor der Vorlesung.
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