L¨ohr/Winter Wintersemester 2015/16
Ubungen zur Vorlesung ¨ Wahrscheinlichkeitstheorie II
Ubungsblatt 5¨
Separierende Klassen & Charakteristische Funktion
Aufgabe 5.1 (Cb(E) ist separierend in M1(E)). (4 Punkte) Sei (E, d) ein metrischer Raum. Zeige, dass Cb(E) separierend in M1(E) ist (nat¨urlich ohne Verwendung von S¨atzen aus der Vorlesung, deren Beweis diese Tatsache explizit verwendet).
Aufgabe 5.2 (Momentenproblem). (4 Punkte)
(a) Sei (E, d) ein kompakter, metrischer Raum, F ⊆ Cb(E) Punkte trennend und stabil unter Multiplikation. Seien Xn, X Zufallsvariablen mit Werten inE und es gelte
E f(Xn)
−→
n→∞ E f(X)
∀f ∈ F.
Zeige, dass (Xn)n∈N in Verteilung gegen X konvergiert.
(b) Sei (Xn)n∈Neine Folge [0,1]-wertiger Zufallsvariablen undmn,k:=E(Xnk). Ferner kon- vergiere die Folge der k-ten Momente f¨ur alle k ∈ N, also limn→∞mn,k = mk f¨ur geeignete mk∈R. Zeige, dass eine Zufallsvariable X existiert, f¨ur die gilt
E(Xk) = mk und Xn ⇒ X.
Hinweis: Verwende den Satz von Prohorov und (a).
Aufgabe 5.3 (Beispiele charakteristischer Funktionen). (4 Punkte) Berechne die charakteristischen Funktionen der folgenden Verteilungen aufR:
(a) δ3, (b) Binomialverteilung zup∈]0,1[,n∈N, (c) Exponentialverteilung zu λ >0.
Aufgabe 5.4. (4 Punkte)
(a) Sei λ > 0. Zeige, dass φ(t) := exp λ(eit −1)
die charakteristische Funktion einer Poissonverteilung mit Parameter λist.
(b) Betrachte ψ:R→C, ψ(t) := exp 2i·t−42·t2+eit−1
. Zeige, dass es eine Zufalls- variable X gibt, deren charakteristische Funktion ψ ist. Berechne zudem Var(X), und zeigeP {X≥3}
≥ 14.
Abgabe Mi, 25.11. am Anfang der ¨Ubungsstunde
Arbeitsgruppenvortr¨age:
Am 17.11.gibt Daniel Zivkovic (LMU Munich) einen Vortrag.
Am 24.11.gibt Stefan H¨afner (University of Duisburg-Essen) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Di, 16:15 – 17:15in WSC-S-U-3.03
