Abgabe bis zum Mittwoch, den 25. April 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114)

Abgabe bis zum Mittwoch, den 25. April 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114)

1.1 Wir betrachten die folgenden drei Vektoren in der Ebene:

v ₁ = 2

1

, v ₂ = −3

−2

, v ₃ = 1

1

.

Zeichnen Sie die Vektoren v ₁ , v ₂ , v ₃ und 2v ₁ + v ₂ .

Stellen Sie v ₃ als Linearkombination von v ₁ und v ₂ dar! (Gesucht sind also Skalare λ ₁ , λ ₂ ∈ R mit v ₃ = λ ₁ v ₁ + λ ₂ v ₂ .

1.2 Man stelle das Polynom p(x) = (2x ² + 3)(x ³ − x ² + 1) in vollst¨ andig ausmultiplizierter Form (also ohne Klammerausdr¨ ucke) dar. Weiterhin dr¨ ucke man das Polynom q(x) = 3x ² + 4x − 4 als Produkt linearer Polynome aus. Schließlich gebe man die Ableitungen p ⁰ (x) und q ⁰ (x) an.

1.3 Die beiden folgenden Ausdr¨ ucke sind nach x und y aufzul¨ osen, d.h. geben Sie explizite Formeln f¨ ur x (bzw. y) in Abh¨ angigkeit von a (bzw. b) an:

a + x

a − x = 2a + 1, (x + b) ² − x ² = b.

1.4 Consider the following points in the plane:

P = 2

4

, Q =

1

−3

, R =

0 5

, S =

−3

−2

.

(a) Describe the straight line P Q by one equation.

(b) Present the straight line RS in parametrised form.

(c) Draw the lines P Q and RS , and compute their intersection.

Um auf Karopapier Autorennen simulieren, kann man Geschwindigkeiten durch Pfeile zwischen Git- terpunkten darstellen. Ein Zug besteht darin, den vorigen Pfeil am Endpunkt anzutragen und mit einem der neun Vektoren 0 oder (±1, ±1) zu ad- dieren. In nebenstehenden Bild sind alle • f¨ ur den n¨ achsten Zug zul¨ assig.

Was ist die beste Zeit (das sind die wenigsten Z¨ uge) f¨ ur die folgende Rennstrecke?

FINISH

Abgabe bis zum Mittwoch, den 2. Mai 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114) 2.1 Bringen Sie die folgende Matrix auf reduzierte Stufenform:





1 2 3 4 5 6 7 8 9



 .

2.2 F¨ ur eine quadratische n × n-Matrix A definieren wir die Spur tr(A) als die Summe der Elemente der Hauptdiagonale, d.h.

A =







a ₁₁ . . . a _1n .. . .. . a _n1 . . . a _nn





 ⇒ tr(A) :=

n

X

i=1

a _ii .

Man zeige tr(A + B) = tr(A) + tr(B) und tr(AB) = tr(BA).

2.3 Es seien v, w ∈ R ⁿ zwei Vektoren (als Spaltenvektoren aufgefasst). Wir betrachten die n × n-Matrix A = v · w ^t . Zeigen Sie rk(A) ≤ 1. Beweisen Sie weiterhin, dass rk(A) = 0 genau dann gilt, wenn v = 0 oder w = 0 ist.

Zusatzaufgabe: Zeigen Sie, dass es zu einer n × n-Matrix A vom Rang 1 immer Vektoren v, w ∈ R ⁿ gibt mit A = v · w ^t .

2.4 Prove that addition and multiplication of 2 × 2 matrices is associative. Also

show that addition is commutative. Give an example to show that multiplication

is not commutative in general.

Abgabe bis zum Mittwoch, den 9. Mai 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114)

3.1 In dem unten abgebildeten Netzwerk seien die Widerst¨ ande R ₁ ,. . . ,R ₅ bekannt. Dr¨ ucken Sie den Widerstand R zwischen den Punkten A und B durch die R _i aus!

R5

R4 R1 R2

R3

A B

Benutzen Sie daf¨ ur die Stromst¨ arken I _i und Spannungen U _i an den einzelnen Widerst¨ anden sowie die Stromst¨ arke I und Spannung U zwischen A und B. Mit diesen Bezeichnungen gelten die untenstehenden Regeln:

U = RI, U _i = R _i I _i , (Ohmsches Gesetz)

U = U ₁ + U ₂ , U ₄ = U ₂ + U ₅ , U ₃ = U ₁ − U ₅ (Kirchhoffsche Maschenregel) I = I ₁ + I ₃ , I ₂ = I ₁ + I ₅ , I ₃ = I ₄ + I ₅ (Kirchhoffsche Knotenregel) 3.2 Invertieren Sie die folgende Matrix:





1 −3 1

2 −5 0

−1 5 −4





3.3 F¨ ur Matrizen A, B ∈ M (n, n, R ) und C, D ∈ GL(n, R ) zeige man:

(A + B) ^t = A ^t + B ^t , (AB) ^t = B ^t A ^t , (CD) ⁻¹ = D ⁻¹ C ⁻¹ . Geben Sie Beispiele an f¨ ur (AB) ^t 6= A ^t B ^t und (CD) ⁻¹ 6= C ⁻¹ D ⁻¹ .

3.4 Find all t ∈ R such that the set of solutions of the following linear equations

Abgabe bis zum Mittwoch, den 16. Mai 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114) 4.1 Welche der folgenden Teilmengen von R ³ sind R -Unterr¨ aume?

U 1 = {(x, y, z) | 3x − 4y + 2z = 0, x + 2y − z = 0}

U ₂ = {(x, y, z) | x, y, z ∈ Q } U ₃ = {(x, y, z) | x ≥ 0}

U ₄ = {(2t + s, s, t − s) | s, t ∈ R }

4.2 Es seien V und V ⁰ zwei R -Vektorr¨ aume mit Unterr¨ aumen U ( V und U ⁰ ( V ⁰ . Welche der folgenden Teilmengen des Vektorraumes Hom(V, V ⁰ ) sind Unterr¨ aume?

W ₁ = {ϕ : V → V ⁰ | ker(ϕ) ⊆ U } W ₃ = {ϕ : V → V ⁰ | im(ϕ) ⊆ U ⁰ } W ₂ = {ϕ : V → V ⁰ | ker(ϕ) ⊇ U } W ₄ = {ϕ : V → V ⁰ | im(ϕ) ⊇ U ⁰ } Zusatzaufgabe: Zeigen Sie W ₂ = {ϕ : V → V ⁰ mit ϕ| _U = 0}.

4.3 Wir identifizieren den Vektorraum der reellen 2×2-Matrizen mit R ⁴ verm¨ oge M (2, 2, R ) →

R ⁴ ,

a ₁₁ a ₁₂ a ₂₁ a ₂₂

7→ (a ₁₁ , a ₁₂ , a ₂₁ , a ₂₂ ).

Zeigen Sie, dass die folgende Abbildung linear ist und stellen Sie sie mit obiger Identifizierung als 4 × 4-Matrix dar:

ψ : M (2, 2, R ) → M (2, 2, R ), A 7→ A − A ^t + tr(A) · E.

4.4 Zeigen Sie, dass die Teilmenge

Z := {A ∈ M (n, n, R ) | AB = BA f¨ ur alle B ∈ M(n, n, R )}

Abgabe bis zum Mittwoch, den 23. Mai 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114) 5.1 Zeigen Sie, dass die drei Vektoren des R ³ ,

v ¹ :=



 2 1 0



 , v ² :=





−3

−1 2



 , v ³ :=



 1 0 1





eine Basis des R ³ bilden. Berechnen Sie die Matrix A ∈ M(2, 3, R ), die bestimmt ist durch

Av ¹ = 7

−2

, Av ² = 1

1

, Av ³ = 0

0

.

5.2 In dem Vektorraum V = M (2, 2, R ) der reellen 2 × 2-Matrizen betrachten wir die folgenden drei Teilmengen:

S ₁ := {E, A, A ² , A ³ }, A = ¹ ₃ ² ₅ , S ₂ := {B, E + B, E + 2B}, B = ⁵ ₂ ⁴ ₄

, S 3 := {C, C ^t , C ⁻¹ , C ² , (C ² ) ^t } C = ³ ₄ ² ₃

.

Welche S _i sind frei, Erzeugendensystem oder Basis?

5.3 Es seien V ein R -Vektorraum mit einer Basis S ⊂ V und s ₀ ∈ S ein Basiselement. Schließlich seien k weitere Basisvektoren s ₁ , . . . , s _k ∈ S \ {s ₀ } und Skalare λ ₁ , . . . , λ _k ∈ R gew¨ ahlt. Mit

s ⁰ ₀ := s ₀ + λ ₁ s ₁ + · · · λ _k s _k

zeige man, dass die Menge S ⁰ , die aus S durch Wegnahme von s ₀ und Hinzunahme von s ⁰ ₀ entsteht, wieder eine Basis ist. (S ⁰ := S ∪ {s ⁰ ₀ } \ {s 0 })

5.4 (a) Let ϕ : V → W be a linear bijective map between R -vector spaces.

Prove that ϕ is actually an isomorphism, i.e. that the inverse map ϕ ⁻¹ : W → V is linear.

(b) Suppose that V is an R -vector space of finite dimension and let ψ : V → V be

Abgabe bis zum Mittwoch, den 30. Mai 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114)

6.1 Bestimmen Sie eine Basis des Unterraumes U := span _R (v ¹ , v ² , v ³ , v ⁴ ) ⊂ R ⁴ , wobei v ¹ = (4, 2, 3, 1), v ² = (2, 1, 2, 1), v ³ = (2, 1, 3, 2), v ⁴ = (4, 2, 2, 2).

6.2 Es sei V := M (2, 2, R ) der R -Vektorraum der reellen 2 × 2-Matrizen sowie U := {A ∈ V | tr(A) = 0, A ^t = A} der Unterraum der symmetrischen, spurfreien Matrizen. Weiter seien

A =

1 0 0 1

, B =

3 2 4 1

, C =

1 1 1 1

.

Zeigen Sie, dass {A, B, C} ⊂ V eine linear unabh¨ angige Menge ist, aber dass die Teilmenge (der Restklassen) {A, B, C} ⊂ V /U linear abh¨ angig ist.

Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie eine Basis von V /U!

6.3 Sei V = C ¹ ([0, 1], R ) der R -Vektorraum der einmal stetig differenzierbaren, reellwertigen Funktionen auf dem Einheitsintervall. F¨ ur fixiertes x ∈ [0, 1] seien die sieben Abbildungen δ _x , δ ⁰ _x , σ _x , σ _x ⁰ , α, β, γ : V → R definiert durch

δ _x (f ) = f (x), δ ⁰ _x (f) = −f ⁰ (x), σ _x (f ) =

x

Z

0

f (t) dt, σ _x ⁰ (f ) = −

x

Z

0

f ⁰ (t) dt,

α(f) =

1

Z

0

t · f ⁰ (t) dt, β(f ) =

1

Z

0

f (t ² ) dt, γ(f) =

1

Z

0

f ² (t) dt.

Welche davon sind Linearformen auf V , also Elemente von V ^∗ = Hom(V, R )?

Zusatzaufgabe: Geben Sie f¨ ur diese alle linearen Relationen in V ^∗ an!

6.4 For matrices B ∈ M (m, n, R ) and A ∈ M (l, m, R ), prove the inequalities

rk(AB) ≤ rk(A) and rk(AB) ≤ rk(B). Provide an example with l = m = n = 2

where the inequality is strict.

Abgabe bis zum Mittwoch, den 6. Juni 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114)

7.1=6.2 Es sei V := M (2, 2, R ) der R -Vektorraum der reellen 2 × 2-Matrizen sowie U := {A ∈ V | tr(A) = 0, A ^t = A} der Unterraum der symmetrischen, spurfreien Matrizen. Weiter seien

A =

1 0 0 1

, B =

3 2 4 1

, C =

1 1 1 1

.

Zeigen Sie, dass {A, B, C} ⊂ V eine linear unabh¨ angige Menge ist, aber dass die Teilmenge (der Restklassen) {A, B, C} ⊂ V /U linear abh¨ angig ist.

Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie die Dimension von V /U.

7.2 Eine (affine) Gerade in R ² ist definiert als das Bild einer Abbildung R → R ² , t 7→

a + tb c + td

mit a, b, c, d ∈ R und (b, d) 6= (0, 0). Zeigen Sie, dass eine solche Gerade auch gegeben ist durch ein Paar (U, v), wobei U ⊂ R ² ein 1-dimensionaler Unterraum ist und v ∈ R ² /U ein beliebiges Element.

7.3 Eine lineare Abbildung ϕ : V → W induziert eine lineare Abbildung ϕ ^∗ : W ^∗ → V ^∗ zwischen den Dualr¨ aumen und, mit nochmaliger Dualisierung, eine lineare Abbildung ϕ ^∗∗ : V ^∗∗ → W ^∗∗ . Zeigen Sie, dass unter Benutzung der Einbettungen V , → V ^∗∗ und W , → W ^∗∗ die Abbildung ϕ ^∗∗ eine Fortsetzung von ϕ ist.

7.4 Let U ₁ , U ₂ ⊂ V be two subspaces of the R -vector space V . We consider the linear map ψ : U 2 → V /U 1 which is defined as the composition of the in- clusion U ₂ , → V and the canonical projection V → → V /U ₁ . Show the following equivalences:

ψ injective ⇐⇒ U ₁ ∩ U ₂ = 0

ψ surjective ⇐⇒ U ₁ + U ₂ = V

Abgabe bis zum Mittwoch, den 13. Juni 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114) 8.1 Wir betrachten die beiden folgenden Unterr¨ aume des R ⁴ :

U 1 = {(x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ) ^t | 2x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0, x 1 + x 2 − x 4 = 0}, U ₂ = span _R {((2, 1, 2, 3) ^t , (1, 2, −5, 3) ^t , (3, 2, 1, 5) ^t )}.

Berechnen Sie Basen von U ₁ , U ₂ und U ₁ + U ₂ .

Zusatzaufgabe: Geben Sie Basen von R ⁴ /U ₁ und von R ⁴ /U ₂ an.

8.2 Mit U ₁ , U ₂ ⊂ R ⁴ aus der vorigen Aufgabe bestimme man Basen von U ₁ ∩ U ₂ und von U ₁ ^∗ .

Zusatzaufgabe: Beschreiben Sie U ₂ durch 4 − dim(U ₂ ) lineare Gleichungen.

8.3 Es sei V ein R -Vektorraum mit dem Unterraum U ⊂ V . Welche der nachstehenden Konstruktionen sind sinnvoll, also tats¨ achlich Vektorr¨ aume?

V ^∗ /U ^∗ , (V /U ) ^∗ , V /(U ^⊥ ) ^∗ , V ^∗∗ /V, U ^⊥ /U ^∗ , U ^∗ /U ^⊥ , V ^∗ /U ^⊥ , U ^⊥⊥ /U.

Zusatzaufgabe: Geben Sie die kanonischen Abbildungen zwischen den Vek- torr¨ aumen aus der obigen Liste an.

8.4 Let V be an R -vector space of finite dimension and let U, U ⁰ ⊂ V be two subspaces. Prove the dimension formula

dim(U + U ⁰ ) = dim(U ) + dim(U ⁰ ) − dim(U ∩ U ⁰ ).

Abgabe bis zum Mittwoch, den 20. Juni 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114)

9.1 Wir betrachten die folgenden zwei Permutationen aus S ₅ : σ =

1 2 3 4 5 2 5 1 4 3

, τ =

1 2 3 4 5 3 1 4 5 2

.

Man gebe τ σ, στ und σ ⁻¹ in Zykeldarstellung an. Außerdem berechne man sgn(σ).

9.2 Prove the following theorem of Cayley: A finite group G of order n is a subgroup of the permutation group S n .

(Hint: For fixed h ∈ G, use the bijection G → G, g 7→ hg.)

Zusatzaufgabe: Zeigen Sie, dass die symmetrische Gruppe S n erzeugt wird von der Transposition (12) und einem n-Zykel (12 . . . n).

(Tipp: Es gen¨ ugt, alle benachbarte Transpositionen zu erzeugen.)

Zusatzaufgabe: Geben Sie alle m¨ ogliche Zykeltypen f¨ ur S ₅ an sowie die Anzahl aller Typenklassen. Wie viele Elemente von S ₅ sind Involutionen (d.h. σ ² = 1)?

Zusatzaufgabe: Zwei Spieler A und B haben jeder ein gemischtes Kartenspiel aus n paarweise verschiedenen Karten. Sie decken jeweils gleichzeitig eine Karte auf. A gewinnt, wenn dabei einmal zwei identische Karten erscheinen; anderenfalls gewinnt B. Wie hoch sind die Gewinnwahrscheinlichkeiten f¨ ur A bzw. B?

9.3 Man bestimme ein n ∈ Z mit

n ≡ 14 mod 23 und n ≡ 12 mod 15.

9.4 Seien m, n ∈ Z verschieden von 0. Zeigen Sie, dass die Abbildung

α _m,n : Z /mn Z → Z /m Z × Z /n Z , k mod mn 7→ (k mod m, k mod n)

wohldefiniert ist. Beweisen Sie weiterhin, dass α _m,n ein Isomorphismus ist, falls m

und n teilerfremd sind.

Abgabe bis zum Mittwoch, den 27. Juni 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114)

10.1 F¨ ur die beiden komplexen Zahlen z = 1 + i und w = −2 + i berechne man zw und z/w. Stellen Sie alle vier Zahlen in der Ebene dar.

Zusatzaufgabe: Berechnen Sie √

z; finden Sie also alle ξ ∈ C mit ξ ² = z.

10.2 L¨ osen Sie das folgende Gleichungssystem ¨ uber dem K¨ orper F 7 : 3x + 2y + 2z + 3t = 2

3x − y − t = 3

−x + y − z + 2t = −2 x + y + z + t = 0

10.3 Zeigen Sie, dass die Anzahl der Elemente eines endlichen K¨ orpers stets eine Primzahlpotenz ist. (Hinweis: Benutzen Sie den Primk¨ orper!)

Zusatzaufgabe: Wie viele Elemente haben die Menge M (2, F p ) aller 2 × 2- Matrizen ¨ uber F p und die Teilmenge GL(2, F p ) der invertierbaren Matrizen?

10.4 Zeigen Sie, dass R [x]-Moduln dasselbe sind wie Paare (V, ϕ) aus einem

R -Vektorraum V zusammen mit einem Endomorphismus ϕ : V → V .

Abgabe bis zum Mittwoch, den 4. Juli 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114)

11.1 Es bezeichne R [x] ≤n den R -Vektorraum aller Polynome vom Grad h¨ ochstens n. Geben Sie eine Matrixdarstellung der linearen Abbildung

Z

: R [x] _≤3 → R [x] _≤4 , x ^k 7→ x ^k+1 k + 1

an. Benutzen Sie dabei ausschließlich Basispolynome maximalen Grades.

11.2 Es sei V = M (2, 2, R ) der R -Vektorraum aller 2 × 2-Matrizen und W = {A ∈ M (2, 2, R ) | A = A ^t } der R -Vektorraum aller symmetrischen 2 × 2-Matrizen.

Finden Sie Basen B ⊂ V und C ⊂ W , so dass die lineare Abbildung ψ : V → W, A 7→ A + A ^t + tr(A) · E

bez¨ uglich B und C in Standardform ist (dass also die Abbildungsmatrix M _CB (ψ) auf der Hauptdiagonalen nur 0 oder 1 hat und sonst 0 ist).

11.3 Es sei ϕ : V → V ein Endomorphismus des endlich-dimensionalen K- Vektorraums V . Nach Wahl einer Basis B ⊂ V definieren wir die Spur von ϕ als Spur der Abbildungsmatrix: tr(ϕ) := tr(M BB (ϕ)) . Zeigen Sie, dass die Spur wohldefiniert ist (also nicht von der Wahl der Basis abh¨ angt) und eine lineare Abbildung tr : End(V ) → K gibt.

11.4 Eine Projektion eines endlich-dimensionalen K-Vektorraumes V ist ein Endomorphismus p : V → V mit p ² = p. Zeigen Sie, dass es zu jedem Unterraum U ⊂ V eine Projektion p : V → V mit p(V ) = U gibt (man nennt p dann eine Projektion auf U ). Ist die Projektion eindeutig?

Zusatzaufgabe: Zeigen Sie, dass eine Projektion diagonalisierbar ist, also eine

Basis aus Eigenvektoren besitzt. Was sind die Eigenwerte?

Abgabe bis zum Mittwoch, den 11. Juli 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114)

12.1 Berechnen Sie Signatur und Rang der symmetrischen Bilinearform, die durch folgende Matrix gegeben ist:









1 2 3 −1

2 3 2 −2

3 2 −8 −1

−1 −2 −1 −3







 .

12.2 Bestimmen Sie die affine Normalform der Fl¨ ache im R ³ , die durch folgende Gleichung gegeben ist:

x 1 x 2 − 2x 2 x 3 + 3x 1 x 3 + x 1 − x 2 − x 3 = 1.

Geben Sie den Koordinatenwechsel an.

12.3 Eine symmetrische Bilinearform ϕ auf einem R -Vektorraum V heißt positiv definit, wenn ϕ(v, v) > 0 f¨ ur alle v ∈ V , v 6= 0 gilt. Zeigen Sie, dass eine positiv- definite Form immer nicht-ausgeartet ist. Zeigen Sie weiter, dass mit ϕ auch die Einschr¨ ankung ϕ _U := ϕ| U×U auf einen beliebigen Unterraum U ⊂ V positiv-definit ist. Geben Sie ein Beispiel f¨ ur eine nicht-ausgeartete Bilinearform ϕ : R ² × R ² → R und einen 1-dimensionalen Unterraum U ⊂ R ² , so dass ϕ U ausgeartet ist.

12.4 F¨ ur einen Unterraum U ⊂ V wurde U ^⊥ doppelt definiert: Zum einen als Annulator U ^⊥

:= {f ∈ V ^∗ | f (U ) = 0} ⊂ V ^∗ und andererseits, bei Anwesenheit einer symmetrischen Bilinearform ϕ : V × V → K als orthogonales Komplement U ^⊥

:= {v ∈ V | ϕ(v, u) = 0 ∀u ∈ U} ⊂ V .

Zeigen Sie, dass mit der linearen Abbildung ϕ _I : V → V ^∗ gilt: ϕ ⁻¹ _I (U ^⊥

) = U ^⊥

. Zusatzaufgabe: Sei V ein K -Vektorraum endlicher Dimension mit einer nicht- ausgearteten symmetrischen oder alternierenden Bilinearform ϕ : V × V → K.

Zeigen Sie, dass dim(U ) + dim(U ^⊥ ) = dim(V ) f¨ ur alle Unterr¨ aume U ⊂ V gilt.

Abgabe bis zum Mittwoch, den 18. Juli 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114) 13.1 Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen

A =





3 2 0 1 2 1 5 6 2



 , B =









2 3 −1 1

2 0 −4 0

1 5 0 −4

−3 −1 3 0







 .

13.2 Bestimmen Sie Eigenwerte und Eigenvektoren f¨ ur zwei der folgenden drei komplexen Matrizen (f¨ ur die L¨ osung auch der dritten Matrix gibt es Zusatzpunkte):

M 1 =

1 1

−1 1

, M 2 =

1 1 1 −1

, M 3 =

1 −1

−1 1

.

13.3 Berechnen Sie das charakteristische Polynom des Endomorphismus ϕ : R [x] ≤2 → R [x] ≤2 , f 7→ f (−1) · x ² + f(1) · x − f ⁰ .

Zusatzaufgabe: Finden Sie Eigenwerte und -vektoren.

13.4 For a square matrix A ∈ M(n, n, K) and i, j ∈ {1, . . . , n} the matrix A _ij ∈ M(n − 1, n − 1, K) obtained by deleting the i-th row and j -th column from A is called the i, j minor of A. We define a new matrix adj(A) ∈ M(n, n, K), the adjugate Matrix of A, via

(adjA) _ij := (−1) ^i+j det(A _ji ).

Prove two of the following five relations for adjugate matrices (solving more than two will grant bonus points):

(a) adj(E) = E and adj(A) ^t = adj(A ^t ) (b) adj(AB) = adj(B)adj(A)

(c) det(adj(A)) = det(A) ⁿ⁻¹

Abgabe bis zum Mittwoch, den 25. Juli 2007 um 10 Uhr in die Tutorenf¨ acher (Arnimallee, vor Raum 114) Alle Aufgaben dieser Serie sind Zusatzaufgaben!

14.1 Welche der folgenden Teilmengen von R ² sind affine Unterr¨ aume?

(a) {(1, 1)}

(b) {(x, y) | 2x + y = 1}

(c) {(x, y) | xy = 1}

(d) {(x, y) | x ² = y ² }

14.2 F¨ ur drei paarweise verschiedene Punkte der Ebene, P, Q, R ∈ A ² sei S = ¹ ₃ P + ¹ ₃ Q + ¹ ₃ R der Schwerpunkt des Dreiecks P QR. Zeigen Sie, dass S gleichzeitig der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden des Dreiecks ist.

14.3 F¨ ur zwei affine Unterr¨ aume A, B eines affinen Raumes A sei A ∨ B der kleinste affine Unterraum von A , der A ∪ B enth¨ alt; A ∨ B heißt Verbindung (join) von A und B.

Es seien A, B ⊂ R ³ affine Geraden. Geben Sie alle M¨ oglichkeiten f¨ ur A ∨ B an.

Was k¨ onnen Sie im allgemeinen ¨ uber den Tr¨ agervektorraum von A ∨ B in Termen der Tr¨ agervektorr¨ aume von A und B sagen?

14.4 Wir betrachten den 4-dimensionalen affinen Raum A ⁴ ¨ uber dem K¨ orper K = F 3 . Weiter sei P ∈ A ⁴ ein beliebiger fixierter Punkt.

(a) Wie viele affine Geraden gibt es in A ⁴ ? (b) Wie viele dieser Geraden gehen durch P ?

Zusatzaufgabe: Wie viele Elemente hat eine Geraden-lose, maximale Teilmenge von A ⁴ ?

[Tipp: Dies ist eine sehr schwere kombinatorische Herausforderung. Versuchen

Sie einfach, eine m¨ oglichst große solche Teilmenge zu finden. Ein SET-Spiel hilft

dabei.]

Klausur (Abschluß Lineare Algebra I)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P

Multiple Choice: 1 Punkt pro richtiger Antwort; -1 Punkt pro falscher Antwort;

negative Gesamtpunkte werden nicht in andere Aufgaben ¨ ubertragen.

1. (3 Punkte ) F¨ ur welche komplexen Zahlen z gilt z ³ = −11 + 2i?

(a) z = 1 + 2i ja nein

(b) z = 2 + i ja nein

(c) z = 1 − 2i ja nein

2. (3 Punkte ) F¨ ur welche Elemente n von F 11 = Z /11 Z gilt n ³ = 9?

(a) n = −7 ja nein

(b) n = 5 ja nein

(c) n = 4 ja nein

3. (4 Punkte ) Gegeben sei die folgende Permutation aus S ₉ : σ =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3 2 1 9 5 6 4 7

.

(a) Der Zykeltyp von σ ist (2, 2, 5). ja nein

(b) Der Zykeltyp von σ ist (2, 3, 4). ja nein

(c) Der Zykeltyp von σ ist (3, 3, 3). ja nein

(d) Das Signum von σ ist −1. ja nein

4. (4 Punkte ) F¨ ur welche z ∈ C ist die Matrix





1 2 i 0 1 z



 invertierbar?

sind f¨ ur den Durchschnitt U ₁ ∩ U ₂ m¨ oglich?

(a) 0 ja nein

(b) 1 ja nein

(c) 2 ja nein

(d) 3 ja nein

(e) 4 ja nein

6. (5 Punkte ) Es sei f : R ⁵ → R ⁴ eine lineare Abbildung. Dann gilt:

(a) dim(im(f )) + dim(ker(f )) = 5 ja nein

(b) dim(im(f )) + dim(ker(f )) = 4 ja nein

(c) f ist nicht surjektiv. ja nein

(d) f ist surjektiv. ja nein

(e) Der Kern von f ist nicht trivial (ungleich 0). ja nein 7. (6 Punkte) Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum sowie U 1 , U 2 ⊂ V zwei Unterr¨ aume. Dann gilt stets:

(a) dim(V /U ₁ ) ≥ dim(U ₁ ) ja nein

(b) dim(V /U ₁ ) ≥ dim(V ) − dim(U ₁ ) ja nein

(c) dim(V /(U ₁ + U ₂ )) ≥ dim(V ) − dim(U ₁ ) − dim(U ₂ ) ja nein

(d) dim(V /(U ₁ + U ₂ )) ≥ dim(V /U ₁ ) ja nein

(e) dim(V /(U ₁ ∩ U ₂ )) ≥ dim(V ) − dim(U ₁ ) − dim(U ₂ ) ja nein

(f) dim(V /(U ₁ ∩ U ₂ )) ≥ dim(V /U ₁ ) ja nein

8. (6 Punkte) Es sei ϕ : V → W eine surjektive lineare Abbildung zwischen K-Vektorr¨ aumen. Weiterhin seien S ⊂ V linear unabh¨ angig, E ⊂ V ein Erzeu- gendensystem und B ⊂ V eine Basis. Dann gilt:

(a) ϕ(S) ⊂ W ist linear unabh¨ angig. ja nein

(b) ϕ(E) ⊂ W ist ein Erzeugendensystem. ja nein

10. (3 Punkte) Es sei f : V → W eine surjektive lineare Abbildung von K- Vektorr¨ aumen. Zeigen Sie, dass die induzierte Abbildung auf den Dualr¨ aumen, f ^∗ : W ^∗ → V ^∗ dann injektiv ist.

11. (6 Punkte ) Die reelle Matrix A =





3 2 4 6 1 2 8 2 2 1 1 4





wird als Abbildung A : R ⁴ → R ³ aufgefasst. Geben Sie Basen f¨ ur den Kern und das Bild dieser Abbildung an.

12. (6 Punkte ) Wir betrachten den R -Vektorraum V = R [x] ≤2 aller reellen Poly- nome vom Grad h¨ ochstens 2. Berechnen Sie Rang und Signatur der symmetrischen Bilinearform

b : V × V → R , b(p, q) =

1

Z

−1

p(x)q(x) dx.

13. (6 Punkte ) Sei V = M(2, 2, R ) der R -Vektorraum aller 2 × 2-Matrizen mit reellen Eintr¨ agen. Berechnen Sie die Determinante des Endomorphismus

ϕ : V → V, A 7→ A ^t − A + tr(A) · E.

Dabei ist A ^t die transponierte Matrix zu A, tr(A) die Spur von A und E = ¹ ₀ ⁰ ₁ die Einheitsmatrix.

14. (6 Punkte ) Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden komplexen Matrix:

B =





1 1 −3

2 1 2

−1 3 1



 .

15. (6 Punkte ) Wir betrachten die folgenden zwei Unterr¨ aume von R ³ :

U ₁ = {(x, y, z) ∈ R ³ | x + y = 0},

mit L¨ osungen

1. (3 Punkte ) F¨ ur welche komplexen Zahlen z gilt z ³ = −11 + 2i?

(a) z = 1 + 2i ja ×

(b) z = 2 + i ja ×

(c) z = 1 − 2i × nein

2. (3 Punkte ) F¨ ur welche Elemente n von F ¹¹ = Z /11 Z gilt n ³ = 9?

(a) n = −7 × nein

(b) n = 5 ja ×

(c) n = 4 × nein

3. (4 Punkte ) Gegeben sei die folgende Permutation aus S ₉ : σ =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 8 3 2 1 9 5 6 4 7

.

(a) Der Zykeltyp von σ ist (2, 2, 5). ja ×

(b) Der Zykeltyp von σ ist (2, 3, 4). × nein

(c) Der Zykeltyp von σ ist (3, 3, 3). ja ×

(d) Das Signum von σ ist −1. ja ×

4. (4 Punkte ) F¨ ur welche z ∈ C ist die Matrix





1 2 i 0 1 z 0 i 3



 invertierbar?

(a) z = 3i × nein

(b) z = −3i ja ×

(c) z = ₃ ⁱ × nein

(d) z = ³ _i ja ×

6. (5 Punkte ) Es sei f : R ⁵ → R ⁴ eine lineare Abbildung. Dann gilt:

(a) dim(im(f )) + dim(ker(f )) = 5 × nein

(b) dim(im(f )) + dim(ker(f )) = 4 ja ×

(c) f ist nicht surjektiv. ja ×

(d) f ist surjektiv. ja ×

(e) Der Kern von f ist nicht trivial (ungleich 0). × nein 7. (6 Punkte) Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum sowie U ₁ , U ₂ ⊂ V zwei Unterr¨ aume. Dann gilt stets:

(a) dim(V /U ₁ ) ≥ dim(U ₁ ) ja ×

(b) dim(V /U ₁ ) ≥ dim(V ) − dim(U ₁ ) × nein

(c) dim(V /(U ₁ + U ₂ )) ≥ dim(V ) − dim(U ₁ ) − dim(U ₂ ) × nein

(d) dim(V /(U ₁ + U ₂ )) ≥ dim(V /U ₁ ) ja ×

(e) dim(V /(U ₁ ∩ U ₂ )) ≥ dim(V ) − dim(U ₁ ) − dim(U ₂ ) × nein

(f) dim(V /(U ₁ ∩ U ₂ )) ≥ dim(V /U ₁ ) × nein

L¨ osung: dim(V /U ) = dim(V ) − dim(U ); dim(U ₁ + U ₂ ) = dim(U ₁ ) + dim(U ₂ ) − dim(U ₁ ∩ U 2 )

8. (6 Punkte) Es sei ϕ : V → W eine surjektive lineare Abbildung zwischen K - Vektorr¨ aumen. Weiterhin seien S ⊂ V linear unabh¨ angig, E ⊂ V ein Erzeugendensys- tem und B ⊂ V eine Basis. Dann gilt:

(a) ϕ(S) ⊂ W ist linear unabh¨ angig. ja ×

(b) ϕ(E) ⊂ W ist ein Erzeugendensystem. × nein

(c) ϕ(B) ⊂ W ist eine Basis. ja ×

(d) ϕ(B) ⊂ W ist linear unabh¨ angig. ja ×

(e) ϕ(B) ⊂ W ist ein Erzeugendensystem. × nein

(f) Das h¨ angt davon ab, ob V oder W endlich-dimensional sind. ja × L¨ osung: Teil (f) ist irref¨ uhrend formuliert. Bei Antwort ’ja’ wurde kein Punkt abgezogen.

9. (3 Punkte) Es seien A, B ∈ M(n, n, R ) zwei quadratische Matrizen mit AB = 0.

W ^∗ → V ^∗ dann injektiv ist.

L¨ osung: Das folgt direkt aus der Definition der dualen Abbildung: f ^∗ (α)(v) = α(f(v)) f¨ ur α ∈ W ^∗ . Aus f ^∗ (α) = 0 folgt α ◦ f = 0; d.h. α verschwindet auf dem Bild von f.

Wegen der Surjektivit¨ at von f muss dann α = 0 sein, d.h. f ^∗ ist injektiv.

11. (6 Punkte) Die reelle Matrix

A =





3 2 4 6 1 2 8 2 2 1 1 4





wird als Abbildung A : R ⁴ → R ³ aufgefasst. Geben Sie Basen f¨ ur den Kern und das Bild dieser Abbildung an.

L¨ osung: Bestimmung des Kernes mit Gauß-Algorithmus (Zeilenstufenform). Dabei sieht man gleichzeitig, dass rk(A) = 2 (es gibt zwei Stufen). Alle vier Spalten bilden ein Erzeugendensystem des Bildes; eine Basis wird von den Stufenspalten gebildet. (In diesem Fall kann man einfach zwei linear unabh¨ angige Spalten der Matrix A nehmen, also zwei beliebige.)

12. (6 Punkte ) Wir betrachten den R-Vektorraum V = R[x] ≤2 aller reellen Poly- nome vom Grad h¨ ochstens 2. Berechnen Sie Rang und Signatur der symmetrischen Bilinearform

b : V × V → R, b(p, q) =

1

Z

−1

p(x)q(x) dx.

L¨ osung: Zun¨ achst m¨ ussen wir eine Basis w¨ ahlen, etwa P = {1, x, x ² } =: {p ₁ , p 2 , p 3 } um damit die Matrix der SBLF zu bestimmen; eine 3 × 3-Matrix, der (i, j)-Eintrag gegeben ist durch b(p i , p j ) = R ₁

−1 x ⁱ⁻¹ x ^j−1 dx = R ₁

−1 x ^i+j−2 dx = ^x _i+j−1

| ¹ ₋₁ = ¹⁻⁽⁻¹⁾ _i+j−1

, also

M _P

_P (b) =





2 0 ² ₃ 0 ² ₃ 0

2 3 0 ² ₅



 .

Den Rang kann man jetzt schon ablesen, er ist 3. Ein Schritt mit dem symmetrischen

Gauß-Algorithmus bringt die Matrix in Diagonalform mit drei positiven Diagonaleintr¨ agen,

M _BB (ϕ) =









1 0 0 1

0 −1 1 0

0 1 −1 0

1 0 0 1







 .

Dann ist det(ϕ) = det(M _BB (ϕ)) = 0.

Alternative: Der Vektor A = ¹ _{0 −1} ⁰

liegt im Kern von ϕ, also kann ϕ kein Isomorphismus sein und es gilt det(ϕ) = 0.

14. (6 Punkte) Berechnen Sie die Eigenwerte der folgenden komplexen Matrix:

B =





1 1 −3

2 1 2

−1 3 1



 .

L¨ osung: Zun¨ achst ist

χ B (t) = det





1 − t 1 −3

2 1 − t 2

−1 3 1 − t



 = −t ³ + 3t ² + 8t − 30.

Ganzz¨ ahlige Nullstellen sind Teiler des konstanten Terms, also ±1, ±3, ±5 usw. Einset- zen ergibt −3 als Nullstelle, anschließende Polynomdivision f¨ uhrt auf

(−t ³ + 3t ² + 8t − 30) : (t + 3) = −t ² + 6t − 10

und die Nullstellen dieser quadratischen Funktion sind 3 ± i. Insgesamt sind die Eigen- werte von B also −3, 3 + i und 3 − i.

15. (6 Punkte) Wir betrachten die folgenden zwei Unterr¨ aume von R ³ : U ₁ = {(x, y, z) ∈ R ³ | x + y = 0},

U ₂ = span _R ((1, 1, 3), (3, −1, 1)).

Berechnen Sie Basen f¨ ur die folgenden Vektorr¨ aume:

(i) U 1 (1 Punkt)

(ii) R ³ /U 2 (2 Punkte)

(iii) U ₁ ∩ U ₂ (3 Punkte)

L¨ osung: Basis von U ₁ mit Gauß-Algorithmus, z.B. {(1, −1, 0), (0, 0, 1)}.

F¨ ur (ii) erg¨ anzen Basis von U ₂ (das Erzeugendsystem {(1, 1, 3), (3, −1, 1)} ist schon eine!) durch einen dritten Vektor v zu einer Basis von ganz R ³ ; z.B. v = (1, 0, 0). Dann ist {v}

eine Basis von ³ /U . (D.h. der Quotientenraum ist 1-dimensional und die Restklasse

Nachklausur (Abschluss Lineare Algebra I)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 P

Multiple Choice: 1 Punkt pro richtiger Antwort; -1 Punkt pro falscher Antwort;

negative Gesamtpunkte werden nicht in andere Aufgaben ¨ ubertragen.

1. (3 Punkte ) Beantworten Sie folgende Fragen ¨ uber die komplexen Zahlen C.

(a) Gilt (3 − 4i)(2 − i) = 2 − 11i? ja nein

(b) Gibt es vier komplexe Zahlen z ∈ C mit z ⁴ = 1? ja nein (c) Besitzt jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel? ja nein

2. (3 Punkte ) Beantworten Sie die folgenden Fragen ¨ uber den endlichen K¨ orper F 7 = Z /7 Z .

(a) Gilt 2 · 4 · 6 = 1 in F 7 ? ja nein

(b) Gibt es drei Elemente n ∈ F 7 = Z/7Z mit n ³ = 1? ja nein (c) Existiert f¨ ur a ∈ F 7 mit a 6= 0 stets 1/a ∈ F 7 ? ja nein

3. (4 Punkte) Bewerten Sie folgende Aussagen ¨ uber die Permutationsgruppe S ₅ .

(a) S 5 hat 120 Elemente. ja nein

(b) S 5 hat genau f¨ unf Zykeltypen. ja nein

(c) (13452)(13)(245) = (1425). ja nein

(d) Die Permutation (124)(35) ist gerade. ja nein

4. (4 Punkte) Es seien A, B ∈ GL(2, R ). Bewerten Sie die folgenden Aussagen.

(a) A : R ² → R ² ist surjektiv. ja nein

(b) A : R ² → R ² ist injektiv. ja nein

(c) rk(A + B) = 2. ja nein

f¨ ur den Durchschnitt U 1 ∩ U 2 m¨ oglich?

(a) 0 ja nein

(b) 1 ja nein

(c) 2 ja nein

(d) 3 ja nein

(e) 4 ja nein

6. (5 Punkte) Es seien f : V ₁ → V ₂ eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorr¨ aumen sowie U 1 ⊂ V 1 und U 2 ⊂ V 2 Unterr¨ aume. Welche der folgenden Abbildungen werden kanonisch durch f induziert?

(a) V 1 → U 2 ja nein

(b) U 1 → V 2 ja nein

(c) V ₁ → V ₂ /U ₂ ja nein

(d) V ₁ /U ₁ → V ₂ , falls U ₁ ⊆ ker(f). ja nein

(e) V 1 /U 1 → V 2 , falls U 1 ⊇ ker(f). ja nein

7. (6 Punkte) Es sei ϕ : V → W eine injektive lineare Abbildung zwischen K - Vektorr¨ aumen endlicher Dimension. Weiterhin seien S ⊂ V linear unabh¨ angig, E ⊂ V ein Erzeugendensystem und B ⊂ V eine Basis. Dann gilt:

(a) ϕ(S) ⊂ W ist linear unabh¨ angig. ja nein

(b) ϕ(E) ⊂ W ist ein Erzeugendensystem. ja nein

(c) ϕ(B) ⊂ W ist eine Basis. ja nein

(d) ϕ(B) ⊂ W ist linear unabh¨ angig. ja nein

(e) ϕ(B) ⊂ W ist ein Erzeugendensystem. ja nein

(f) dim(V ) ≤ dim(W ). ja nein

8. (6 Punkte) Welche der folgenden Teilmengen von R ² sind affine Unterr¨ aume?

(a) {(x, y) | x = 0 und y = 0} ja nein (b) {(x, y) | x = 0 oder y = 0} ja nein

(c) {(x, y) | xy = 0} ja nein

(d) {(x, y) | x + y = 0} ja nein

(e) {(x, y) | xy = 1} ja nein

ist.

10. (3 Punkte ) F¨ ur einen endlich-dimensionalen K-Vektorraum V mit Unterr¨ aumen U 1 , U 2 ⊂ V beweise man die Formel

dim(U ₁ + U ₂ ) = dim(U ₁ ) + dim(U ₂ ) − dim(U ₁ ∩ U ₂ ).

11. (6 Punkte ) Wir betrachten den Vektorraum R ³ mit der geordneten Basis B = {(1, 0, 2), (−1, 1, 0), (3, 2, 1)}.

(i) Geben Sie die zu B duale Basis von ( R ³ ) ^∗ an. (3 Punkt) (ii) Stellen Sie das Funktional f : R ³ → R, f (x, y, z) = 2x − y + 4z

in der zu B dualen Basis dar. (3 Punkte)

12. (6 Punkte) Wir betrachten den R -Vektorraum V = R [x] ≤2 aller reellen Polynome vom Grad h¨ ochstens 2. Berechnen Sie Spur und Determinante des Endomorphismus

ϕ : V → V, p(x) 7→ p ⁰ (x) + p(2) · x ² , wobei p ⁰ (x) die Ableitung des Polynoms p(x) bezeichnet.

13. (6 Punkte ) Sei W = M _symm (2, R ) := {A ∈ M (2, 2, R ) | A = A ^t } der R -Vektorraum aller symmetrischen 2 × 2-Matrizen mit reellen Eintr¨ agen. Berechnen Sie Rang und Signatur der symmetrischen Bilinearform

b : W × W → R, b(A, B) = tr(AB).

F¨ ur M ∈ M (2, 2, R ) bezeichnen M ^t die transponierte Matrix und tr(M ) die Spur.

14. (6 Punkte) Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden kom- plexen Matrix:

B =

−2 −1 13 4

.

15. (6 Punkte) Wir betrachten die folgenden zwei Unterr¨ aume von R ³ :

mit L¨ osungen

1. (3 Punkte ) Beantworten Sie folgende Fragen ¨ uber die komplexen Zahlen C .

(a) Gilt (3 − 4i)(2 − i) = 2 − 11i? × nein

(b) Gibt es vier komplexe Zahlen z ∈ C mit z ⁴ = 1? × nein (c) Besitzt jede komplexe Zahl eine Quadratwurzel? × nein

2. (3 Punkte ) Beantworten Sie die folgenden Fragen ¨ uber den endlichen K¨ orper F 7 = Z/7Z.

(a) Gilt 2 · 4 · 6 = 1 in F 7 ? ja ×

(b) Gibt es drei Elemente n ∈ F 7 = Z /7 Z mit n ³ = 1? × nein (c) Existiert f¨ ur a ∈ F 7 mit a 6= 0 stets 1/a ∈ F 7 ? × nein

3. (4 Punkte) Bewerten Sie folgende Aussagen ¨ uber die Permutationsgruppe S ₅ .

(a) S 5 hat 120 Elemente. × nein

(b) S 5 hat genau f¨ unf Zykeltypen. ja ×

(c) (13452)(13)(245) = (1425). × nein

(d) Die Permutation (124)(35) ist gerade. ja ×

4. (4 Punkte) Es seien A, B ∈ GL(2, R ). Bewerten Sie die folgenden Aussagen.

(a) A : R ² → R ² ist surjektiv. × nein

(b) A : R ² → R ² ist injektiv. × nein

(c) rk(A + B) = 2. ja ×

(d) rk(AB) = 2. × nein

f¨ ur den Durchschnitt U 1 ∩ U 2 m¨ oglich?

(a) 0 ja ×

(b) 1 ja ×

(c) 2 ja ×

(d) 3 × nein

(e) 4 × nein

6. (5 Punkte) Es seien f : V 1 → V 2 eine lineare Abbildung zwischen K-Vektorr¨ aumen sowie U ₁ ⊂ V ₁ und U ₂ ⊂ V ₂ Unterr¨ aume. Welche der folgenden Abbildungen werden kanonisch durch f induziert?

(a) V ₁ → U ₂ ja ×

(b) U ₁ → V ₂ × nein

(c) V ₁ → V ₂ /U ₂ × nein

(d) V ₁ /U ₁ → V ₂ , falls U ₁ ⊆ ker(f). × nein

(e) V 1 /U 1 → V 2 , falls U 1 ⊇ ker(f). ja ×

7. (6 Punkte) Es sei ϕ : V → W eine injektive lineare Abbildung zwischen K - Vektorr¨ aumen endlicher Dimension. Weiterhin seien S ⊂ V linear unabh¨ angig, E ⊂ V ein Erzeugendensystem und B ⊂ V eine Basis. Dann gilt:

(a) ϕ(S) ⊂ W ist linear unabh¨ angig. × nein

(b) ϕ(E) ⊂ W ist ein Erzeugendensystem. ja ×

(c) ϕ(B) ⊂ W ist eine Basis. ja ×

(d) ϕ(B) ⊂ W ist linear unabh¨ angig. × nein

(e) ϕ(B) ⊂ W ist ein Erzeugendensystem. ja ×

(f) dim(V ) ≤ dim(W ). × nein

8. (6 Punkte) Welche der folgenden Teilmengen von R ² sind affine Unterr¨ aume?

(a) {(x, y) | x = 0 und y = 0} × nein (b) {(x, y) | x = 0 oder y = 0} ja ×

(c) {(x, y) | xy = 0} ja ×

(d) {(x, y) | x + y = 0} × nein

ist.

L¨ osung: λ Eigenwert = ⇒ Av = λv f¨ ur ein v 6= 0. W¨ are λ = 0, dann v ∈ ker(A) und A w¨ are nicht invertierbar — Widerspruch. Av = λv = ⇒ v = A ⁻¹ (λv) = ⇒ A ⁻¹ v = _λ ¹ v.

10. (3 Punkte ) F¨ ur einen endlich-dimensionalen K-Vektorraum V mit Unterr¨ aumen U ₁ , U ₂ ⊂ V beweise man die Formel

dim(U 1 + U 2 ) = dim(U 1 ) + dim(U 2 ) − dim(U 1 ∩ U 2 ).

L¨ osung: W¨ ahle Basis B ⊂ U ₁ ∩ U ₂ und erg¨ anze zu Basen B ₁ = B ∪ C ₁ ⊂ U ₁ und B 2 = B ∪ C 2 ⊂ U 2 . Dann ist B ∪ C 1 ∪ C 2 ⊂ V erzeugend und frei. ( ¨ Ubungsaufgabe 8.4.)

11. (6 Punkte ) Wir betrachten den Vektorraum R ³ mit der geordneten Basis B = {(1, 0, 2), (−1, 1, 0), (3, 2, 1)}.

(i) Geben Sie die zu B duale Basis von (R ³ ) ^∗ an. (3 Punkt) (ii) Stellen Sie das Funktional f : R ³ → R , f (x, y, z) = 2x − y + 4z

in der zu B dualen Basis dar. (3 Punkte)

L¨ osung: (i), indem die Basisvektoren von B spaltenweise als Matrix aufgeschrieben werden (die hier auch B heißt); dann sind die Zeilen von B ⁻¹ die duale Basis.

(ii) Mit B = {b ₁ , b 2 , b 3 } ist die Darstellung f = λ 1 b ^∗ ₁ + λ 2 b ^∗ ₂ + λ 3 b ^∗ ₃ gesucht. Setzt man in diese Gleichung die Vektoren b _i ein, so erh¨ alt man: f (b _i ) = λ _i , also λ ₁ = 10, λ ₂ = −3, λ 3 = 8 — Kenntnis der dualen Basis ist f¨ ur (ii) nicht n¨ otig.

12. (6 Punkte) Wir betrachten den R -Vektorraum V = R [x] ≤2 aller reellen Polynome vom Grad h¨ ochstens 2. Berechnen Sie Spur und Determinante des Endomorphismus

ϕ : V → V, p(x) 7→ p ⁰ (x) + p(2) · x ² , wobei p ⁰ (x) die Ableitung des Polynoms p(x) bezeichnet.

L¨ osung: W¨ ahlen als Basis B = {1, x, x ² }, dann sind ϕ(b 1 ) = x ² = b 3 , ϕ(b 2 ) = 1 + 2x ² = b 1 + 2b 3 , ϕ(b 3 ) = 2x + 4x ² = 2b 2 + 4b 3 und M BB (ϕ) =

_{0 1 0}

0 0 2 1 2 4

. Somit tr(ϕ) = tr(M BB (ϕ)) = 4 und det(ϕ) = det(M BB (ϕ)) = 2.

13. (6 Punkte ) Sei W = M _symm (2, R ) := {A ∈ M (2, 2, R ) | A = A ^t } der R -Vektorraum

aller symmetrischen 2 × 2-Matrizen mit reellen Eintr¨ agen. Berechnen Sie Rang und

und Signature 0.

14. (6 Punkte) Berechnen Sie alle Eigenwerte und Eigenvektoren der folgenden kom- plexen Matrix:

B =

−2 −1 13 4

.

L¨ osung: Charakteristisches Polynom: χ _B (t) = det ^−2−t _{13 4−t} ⁻¹

= (−2 − t)(4 − t) + 13 = t ² − 2t + 5. Die Nullstellen dieses Polynoms sind die komplexen Zahlen λ ₁ = 1 + 2i und λ ₂ = 1 − 2i. Eigenvektoren liegen im Kern von B − λ _j E. Etwa B − λ ₁ E = ⁻³⁻²ⁱ _{13 3−2i} ⁻¹ mit _3+2i ⁻¹

als einem Eigenvektor f¨ ur λ 1 .

15. (6 Punkte) Wir betrachten die folgenden zwei Unterr¨ aume von R ³ : U 1 = {(x, y, z) ∈ R ³ | x + y − z = 0},

U ₂ = span _R ((2, 3, −4), (1, 2, −2)).

Berechnen Sie Basen f¨ ur die folgenden Vektorr¨ aume:

(i) U ₁ (1 Punkt)

(ii) R ³ /U ₂ (2 Punkte)

(iii) U 1 ∩ U 2 (3 Punkte)

L¨ osung: Analog zur L¨ osung der Aufgabe 15 der vorigen Klausur.