PD Dr. S. Orlik SS 09

PD Dr. S. Orlik SS 09

Einf¨ uhrung in die komplexe Analysis 4. ¨ Ubungsblatt

Aufgabe 1: Man bestimme den Konvergenzradius der folgenden Potenzrei- hen:

a) P ^∞

j=0

j!

2 ^j (2j)! (z − 1) ^j b) P ^∞

j=1

j 1 ² z ^j .

Aufgabe 2: Sei f = P _∞

n=0 a _n z ⁿ eine Potenzreihe, die gleichm¨aßig auf einer unbeschr¨ankten Teilmenge M ⊂ C gegen f konvergiert. Zeigen Sie, dass f ein Polynom ist.

Aufgabe 3: Sei U ⊂ C offen und f, g ∈ C ⁰ (U ). Seien γ, ψ ∈ C ¹ ([0, 1], U) und α ∈ C. Man beweise die Identit¨aten

a) R

γ (f + αg)(z)dz = R

γ f(z)dz + α R

γ g(z)dz.

b) R

γ·ψ f (z)dz = R

γ f (z)dz + R

ψ f (z)dz.

c) R

γ

f (z)dz = − R

γ f (z)dz.

Aufgabe 4: Es sei f (z) = |z| ² z. Berechnen Sie R

γ f(z)dz f¨ur a) γ die Stecke von i nach 1 + 2i.

b) γ den Halbkreisbogen durch 1, i und −1.