PD Dr. S. Orlik SS 09
Einf¨ uhrung in die komplexe Analysis 11. ¨ Ubungsblatt
Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Laurent-Reihen von a) f
1(z) = 1
z
2+ 1 auf A(i, 0, 2) und A(i, 2, ∞).
b) f
2(z) = 1
(z
3+ 2)
2auf kleinen punktierten Kreisscheiben mit Mittelpunkt in den Polen von f
2.
Aufgabe 2: Berechnen Sie f¨ur die folgenden Funktionen die Residuen in allen Polen:
f (z) = z
2+ z + 5
z(z
2+ 1)
2und g(z) = cos(1 − z z ).
Aufgabe 3: F¨ur eine offene Teilmenge U ⊂ C sei M(U ) die Menge der meromorphen Funktionen auf U. Man zeige, dass M(U ) eine C-Algebra ist, welche O(U) enth¨alt. Ist U zusammenh¨angend, so ist M(U ) ein K¨orper Aufgabe 4: Berechnen Sie die Integrale
a) Z
∂E
sin z z
4(z
2+ 2) dz,
Z
∂4(0,2)
dz sin
2z · cos z .
b) Z
∞−∞
x
2x
4+ 1 dx,
Z
2π0
