Die Jordansche Normalform

Lineare Algebra und Analytische Geometrie II ♦ Prof. Dr. Peter Benner ♦ SS07

Die Jordansche Normalform

Camille Jordan (1838-1922)

Jordansche Normalform:

Sei V K-Vektorraum, dimV = n, A ∈ End(V) mit k verschiedenen Eigen- werten λ₁, . . . , λ_k. Zerf¨allt das charakteristische Polynom von A in Linear- faktoren,

p_A(x) =

k

Y

j=1

(x−λ_j)^rj mit r_j = µ(λ_j), dann hat A eine Matrixdarstellung J ∈ K^n×n der Form

J =





λ₁I_r1 +N₁ . . .

λ_kI_rk +N_k



 ≡

k

M

j=1

(λ_jI_rj +N_j), mit

N_j = J_dj ⊕ · · · ⊕J_dj

| {z }

s^(j)_dj-mal

⊕J_dj−1 ⊕ · · · ⊕J_dj−1

| {z }

s^(j)_dj−1-mal

⊕ · · · ⊕J₁ ⊕ · · · ⊕J₁

| {z }

s^(j)₁ -mal

und

J_` =















0 1 0 . . . 0 ... ... ... ... ...

... . . . ... 0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 0















∈ K^`×`.

Dabei gilt

µ(λj) ≥ min{` ∈ N|N<sub>j</sub><sup>`</sup> = 0} = dj ≥ 1, ν(λj) =

dj

X

i=1

s^(j)_i , n =

k

X

j=1 dj

X

i=1

is^(j)_i

| {z }

=µ(λj)

,

m_A(x) = (x−λ₁)^d1· · ·(x−λ_k)^dk. Die Zahlen µ(λ_j), ν(λ_j), d_j, s^(j)₁ , . . . , s^(j)_d

j , j = 1, . . . , k, sind Invarianten von A bzgl. ¨Ahnlichkeit, d.h., sie sind konstant f¨ur alle A∈ [A].

J heißt Jordansche Normalform von A, λ_jI_m +J_m Jordanblock der L¨ange m zu λ_j.