TU-Chemnitz, Fakult¨at f¨ur Mathematik WS 2006/2007 Prof. Dr. P. Benner
Lineare Algebra/Analytische Geometrie I
6. Hausaufgabe, Abgabe: 06.12.2006
1. Berechnen Sie f¨ur folgende Matrizen die Treppennormalform und (falls sie existiert)
die Inverse. (9 P.)
A=
1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0
, B =
3 −3 9 3 −3
−2 2 −9 4 −1 1 −1 4 −1 2
−3 3 −12 3 −2
, C=
1 8 7 2 0 6 3 4 5
,
Zusatzaufgabe: (+4 P.)
Z =
0 −2 −4 −4 −1
0 2 4 4 −2
−1 −3 −2 −7 5 2 6 1 17 −19
−2 −4 1 −8 11
,
2. Ermitteln Sie den Rang der folgenden Matrizen in Abh¨angigkeit von a, b, c∈R:
A =
0 a b
−a 0 c
−b −c 0
∈R
3,3, B =
0 0 a 1
0 b 1 −1
c 1 −1 1
∈R
3,4.
(4 P.) 3. Es soll die statische Auslenkung eines linearen Torsionsschwingers (siehe Abbildung)
bei gegebenen ¨außeren Drehmomenten (Kraftwirkung) untersucht werden.
c1 c2 c3 c4
q1 q2 q3
q4
M1 M2 M3
M4
ci Wellensteifigkeiten
qi Auslenkungen (Drehwinkel) Mi angreifende Drehmomente Schwungmasse
elastische Welle
feste Einspannung
Aus den Newtonschen Axiomen ist bekannt, dass die Summe aller an einem K¨orper angreifenden Momente Null ist. Betrachtet man also eine einzelne Schwungmasse, so ergibt sich f¨ur das Momentengleichgewicht die Beziehung
0 = −ci(qi−qi−1)−ci+1(qi−qi+1) +Mi.
Diese Beziehung muss nat¨urlich f¨ur jede einzelne Schwungmasse (i= 1, . . . ,4) erf¨ullt sein (wobei q0 = 0 undc5 = 0 gesetzt wird).
1
ci ci+1
qi−1
qi
qi+1
Mi
Auslenkung Auslenkung
(a) Aus einem Messversuch wurden unter einer gegebe- nen Belastung (gegebene MomenteMi siehe Tabelle) die zugeh¨origen Auslenkungen (Drehwinkel qi siehe Tabelle) ermittelt. Daraus sollen durch Aufstellung eines linearen Gleichungssystems der FormQc =M die Steifigkeiten ci der elastischen Wellen bestimmt werden.
i Mi [Nm] qi [rad] 1 −80 −0.3
2 30 −0.1
3 15 0.4
4 5 0.5
(b) Nach endg¨ultigem Einbau des Torsionsschwingers in die Maschine wird dieser an den vier Schwungmassen durch die Momente
M1 = 55 Nm, M2 =−13 Nm, M3 =−22 Nm, M4 = 10 Nm
belastet. Hierzu sollen (mit den nun bekannten Steifigkeiten ci) die endg¨ulti- gen Auslenkungen qi mittels linearem Gleichungssystem Cq = M bestimmt
werden. (8 P.)
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