Rang einer Matrix
F¨ur eine m×n-MatrixAstimmt die maximale Anzahl linear unabh¨angiger Zeilen ujt mit der maximalen Anzahl linear unabh¨angiger Spaltenvk
¨
uberein und wird Rang der Matrix genannt:
RangA= dim span(u1, . . . ,um)
| {z }
U
= dim span(v1, . . . ,vn)
| {z }
V
.
Bezeichnet L: Rn3x 7→Ax ∈Rm die durch Adefinierte lineare Abbildung, so ist
U = (KernL)⊥, V = BildL
mit W⊥ dem orthogonalen Komplement eines Unterraums W (w⊥∈W⊥ ⇐⇒ hw⊥,wi= 0 ∀w ∈W).
Offensichtlich gilt
RangA≤min(m,n),
Der Rang von Al¨asst sich bestimmen, indem man mit dem
Gram-Schmidt-Verfahren eine orthogonale Basis f¨ur U oderV konstruiert.
Alternativ kann man Aauf Zeilenstufen-Form (Echelon-Form) transformieren. Die dazu n¨otigen Operationen, Addition von
Zeilenvielfachen und Permutationen von Zeilen oder Spalten, lassen den Rang unver¨andert. RangAist dann die Anzahl der Pivots.
2 / 9
Beweis zu zeigen:
dimU = dimV (= RangA)
Satz ¨uber die Dimension von Bild und Kern der mit Aassoziierten linearen Abbildung L: Rn→Rm =⇒
dimV = dim BildA=n−dim KernA
w ∈KernA ⇐⇒
ut1
... utm
w1
... wn
=
0
... 0
, d.h.utjw = 0∀j
=⇒ U = (KernA)⊥ (orthogonales Komplement)
=⇒ Dimensionen addieren zun:
n = dimU+ dim KernA
Beispiel
Rang von m×n-Matrizen mitm,n≤3 (i) 2×2-MatrixA= (v1,v2):
RangA=
0, fallsv1=v2 = (0,0)t 1, fallsv1kv2
2, fallsv16kv2 z.B.
Rang
1 2 2 4
= 1, Rang
1 2 4 2
= 2 (ii) 2×3-MatrixA=
u1t u2t
, 3×2-MatrixA= (v1,v2):
gleiches Kriterium f¨ur die beiden, die Matrix definierenden Vektoren, wie im Fall (i), z.B.
Rang
1 2 1 2 4 2
= 1, Rang
2 1 2 2 2 4
= 2
4 / 9
(iii) 3×3-Matrix A= (v1,v2,v3):
RangA=
0, fallsv1 =v2=v3 = (0,0,0)t 1, fallsv1 kv2 kv3
2, fallsvklinear abh¨angig,nicht alle parallel 3, fallsvklinear unabh¨angig
z.B.
Rang
1 1 1 2 2 2 3 3 3
=1,Rang
1 1 2 2 2 1 3 3 3
=
(1)2,Rang
1 2 3 3 1 2 2 3 1
=
(2)3 (1) Zeilen linear abh¨angig:
(1,1,2) + (2,2,1)−(3,3,3) = (0,0,0)
(2) Berechnung des Rangs durch Transformation auf Dreiecksform durch Addition von Zeilenvielfachen:
1 2 3 3 1 2 2 3 1
→
(a)
1 2 3
0 −5 −7
0 −1 −5
→
(b)
1 2 3
0 −1 −5
0 0 18
(a) (Zeile 2)-3·(Zeile 1), (Zeile 3)-2·(Zeile 1)
(b) Vertauschen von Zeile 2 und Zeile 3, (Zeile 3)-5·(Zeile 2)
Diagonalelemente der Dreiecksform ungleich 0 =⇒ RangA= 3
6 / 9
Beispiel
Rang der Matrix
A=
1 1 1 1 2 1 1 3 2 3 2 1 1 2 2 2 1 3 3 3
(i) Gram-Schmidt-Verfahren:
Konstruktion einer orthogonalen Basis {b1,b2, . . .}f¨ur den durch die Spalten v1, . . . ,v5 von Aaufgespannten Bildraum V der linearen Abbildung x 7→Ax (RangA= dimV)
Schritt 1:
b1=v1 = (1,1,2,2)t Schritt 2:
b2=v2−bbt1tv2
1b1b1= (1,1,1,1)t−(1,1,2,2)(1,1,1,1)t
(1,1,2,2)(1,1,2,2)t(1,1,2,2)t= (1,1,1,1)t− 6(1,1,2,2)t= (2/5,2/5,−1/5,−1/5)t
Schritt 3:
bt1v3 = (1,1,2,2)(1,3,1,3)t= 12, bt1b1 = 10,
bt2v3 = (2/5,2/5,−1/5,−1/5)(1,3,1,3)t= 4/5, bt2b2 = 10/25 b3=v3−bbt1tv3
1b1b1−bb2ttv3 2b2b2=
(1,3,1,3)t−1210(1,1,2,2)t−10/254/5 (2/5,2/5,−1/5,−1/5)t= (−1,1,−1,1)t
Schritte 4 und 5:
v4−P3
k=1 bktv4
btkbkbk = (0,0,0,0)t =⇒ v4∈span(b1,b2,b3), d.h. kein weiterer Basisvektor, ebenso wie f¨ur v5
=⇒ RangA= dimV = 3
(ii) Transformation auf Zeilenstufenform:
Gauß-Operationen
1 1 1 1 2 1 1 3 2 3 2 1 1 2 2 2 1 3 3 3
→
(1)
1 1 1 1 2
0 0 2 1 1
0 −1 −1 0 −2
0 −1 1 1 −1
→
(2)
8 / 9
1 1 1 1 2
0 −1 −1 0 −2
0 0 2 1 1
0 0 2 1 1
→
(3)
1 1 1 1 2
0 −1 −1 0 −2
0 0 2 1 1
0 0 0 0 0
(1) (Zeile 2) −(Zeile 1), (Zeile 3) −2·(Zeile 1), (Zeile 4)−2·(Zeile 1) (2) Vertauschen von (Zeile 2) und (Zeile 3), (Zeile 4) −(Zeile 2) (3) (Zeile 4) −(Zeile 3)
3 Pivots,1, −1 und 2 =⇒ RangA= 3
