Mathematik erstes Semester 2011

Semesterprüfung Mathematik 2011

1

Dr. F. Raemy

Mathematik erstes Semester 2011

NAME:_______________________ Vorname :___________________________

Bemerkungen: Schreiben Sie die Lösungen sauber und lesbar.

Geben Sie die Nummer der Aufgabe an. Unterstreichen Sie die Resultate.

Viel Glück!

Aufgabe 1 (7 Punkte)

Gegeben ist die Funktion f x

( ) ⁼

^4x

⁺

¹

2x!6 und die Gerade g x

( )

⁼¹³

4x!9 2^.

a) Berechnen Sie den Definitionsbereich, die Pole und die horizontalen Asymptoten der Funktionf x

( )

^.

D_x=!

\ 3 { } ^,

^Pol

^:

^x=

^{3 ,}

^horiz.!As

^:! (

^x+

⁴ ) ^: (

^x

^{! 2} )

⁼

²

⁺

¹³

2x ! 6 "

y=

2

[3]

b) Stellen Sie im gleichen Koordinatensystem f x

( )

und die Gerade g x

( )

^dar.

[2]

c) Berechnen Sie die Schnittpunkte der Geraden g x

( )

mit der Funktionf x

( )

^.

f x

( )

⁼

^4x

⁺

¹

2x ! 6

=g x

( )

⁼

¹³

4

x

! 9

2 " 4x

+

1

=

( 2x ! 6 ) ¹³

4

x

! 9 2

#

$% &

'(

"16x

+

4

=

26x

²

! 114x

+

108 "

x²

! 5x

+

4

=

0 " 3x x ( ! 3 )

=

0

"

x_1;2=⁵₂± ²⁵₄

!

¹⁶₄ =⁵₂±³₂

"

S₁

( 1;!

⁵₄

) ⁾

^S2

( ) 4;

¹⁷₂

[2]

Semesterprüfung Mathematik 2011

2

Dr. F. Raemy

Aufgabe 2 (8 Punkte)

a) Ein Kreis mit dem Radius 20 cm befindet sich in einem regelmässigen Sechseck. Zeichnen Sie die Situation. Das Sechseck bildet die Grundfläche einer geraden Pyramide. Berechnen Sie die Höhe h der Pyramide, wenn das Volumen der Pyramide wie folgt bekannt ist.

V

=2000

!

3 !cm³ Lösung:

s

=2r!tan 30

( )

^{0 =2r} ₃^{3 !}

^F

^"=

^s#

₂

^r

⁼

^r

^{2!tan 30}

( )

^{0 =}

^r

² ₃³

V

=6F_"

h

3 =2F_"

h

!

h

=

V

2F_"=4, 5345!cm

[4]

b) Aus den Kenntnissen der nachfolgenden Figur bestimme man die Höhe des Berges.

Lösung:

x

900m = sin 35

⁰

sin12

⁰ !

x = 900m sin 35

⁰

sin12

⁰

sin 47

⁰

= h

x

!

h = xsin 47

⁰

h

_Berg

= h + 2m

!

h

_Berg

= 1817, 86!m

[4]

Aufgabe 3 (9 Punkte)

a) Bestimmen Sie aus der Darstellung der Parabel die Funktion vom zweiten Grade in der Form y

=

f x

( ) =

a!x²

+

b!x

+

c.

Lösung:

P₁

( ) 0;6 ^{!k "}

^c

^{= 6}

P₂

( ) 0;2 ^!

^k

^{" 4a + 2b + 6 = 0}

P₃

( ) 0;6 ^{!k " 36a + 6b + 6 = 0}

#

$ %

&

% " 4a + 2b + 6 = 0 36a + 6b + 6 = 0

# $

& " 12a + 6b + 18 = 0 36a + 6b + 6 = 0

# $

& " 24a = 12

"

a

= 1

2

b

= '4

c

= 6 "

y

=

f x

( ) ^{= 1}

2 (

x²

' 4 (

x

+ 6

[3]

Semesterprüfung Mathematik 2011

3

Dr. F. Raemy b) Bestimmen Sie die Geradengleichung durch die Punkte A

(

!1; 3

)

^{und B}

( )

^4;1.

gesucht:g: y

=

m!x

+

b

A ( !1; 3 ) ^{"g # 3 = !m + b}

B ( ) 4;1 ^{"g # 1 = 4m + b}

$ %

&

'& # 5m = !2 # m = ! 2 5 b = 13

5 y = ! 2 5 x + 13

5

^[3]

c) Bestimmen Sie den Definitionsbereich der folgenden Funktion:

y = f x ( ) =

1

1

2

x

²!4x

+

6

1

2

x

²!

4x + 6 > 0 Berechnung!der!Nullstellen :!

¹₂

x

²!

4x + 6 = 0

"

x

²!

8x + 12 = 0 x

1;2

= 4 ± 16

!

12 = 4 ± 2

"

x

1

= 2

#

x

2

= 6

"

D

_x

= { x | x < 2

#

x > 6 }

[3]

Erklärung:

Aufgabe 4 (10 Punkte)

a) Zeichnen Sie im folgenden Koordinatensystem die Funktionen

y = f x ( ) ⁼

^log2

( x +

4

)

^und

^{y = f x} ( ) ⁼

^log2

( ) x ⁺

⁴

[2]

b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Gleichung: lg

(

x

+

3

) ⁺

^lg

( )

^x

⁼

¹

gesucht:

L

_x!

D

_x

D

_x

=

!⁺

lg !" ( x + 3 ) ^x #$ = 1 % x

²

+ 3x = 10 % x

²

+ 3x & 10 = 0 % x

_1;2

= & 3 2 ± 9

4 + 10 x

1;2

= & 3

2 ± 7

2 % x

1

= 2 'D

x

x

2

= &5 ( D

x

% L

x

= { } 2

[4]

c) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion der Funktion

y = f x ( ) ^{= !2 "}

^3x+4

gesucht: f^!1

( )

x

x = !2 "

3^y+4

# ! x

2

=

3^y+4

# y +

4

=

log3

! x

2

$ %& '

() # y = f

^!1

( ) x =

log3

! x

2

$ %& ' () !

4

[4]

Semesterprüfung Mathematik 2011

4

Dr. F. Raemy

Aufgabe 5 (10 Punkte)

Gegeben sind die drei PunkteA

(

4;2;!6

)

^{, B}

(

^!2;8;12

)

^und

C

(

10; 4;2

)

eines Dreiecks im Raum.

a) Bestimmen Sie den Winkel

!

=!(ACB).

! = arccos

!e

"

! b e

"

b

#

$%

&

'( = arccos

r!_A

)

!

r_C

( ) ^"

^r!B

)

! r_C

( )

e

"

b

#

$%

&

'(

!e

=

! r_A

)

!

r_C

= 4 2 )6

#

$

% %

&

' ( ( )

10 4 2

#

$

% %

&

' ( ( =

)6 )2 )8

#

$

% %

&

'

( ( *

e

= 36 + 4 + 64 = 104 = 2 26

b!

=

! rB

)

!

rC

= )2

8 12

#

$

% %

&

' ( ( )

10 4 2

#

$

% %

&

' ( ( =

)12 4 10

#

$

% %

&

'

( ( *

b

= 144 + 16 + 100 = 260 = 2 65

* ! = arccos )6 )2 )8

#

$

% %

&

' ( ( "

)12 4 10

#

$

% %

&

' ( (

104 260 = arccos 72 ) 8 ) 80

104 260 * ! = 95, 5837

⁰

[5]

b) Bestimmen Sie D so, dass das Viereck ABCD ein Parallelogramm ist.

!r_D=! r_A

!

!

r_B

!

! r_C

( )

^=r!A

!

! b=

4 2

!6

"

#

$ $

%

&

' ' !

!2 8 12

"

#

$ $

%

&

' ' ! 10

4 2

"

#

$ $

%

&

' ' (

)

* *

*

+ , - - -

=

4 2

!6

"

#

$ $

%

&

' ' !

!12 4 10

"

#

$ $

%

&

' ' .

!

r_D=

16

!2

!16

"

#

$ $

%

&

' '

^[2]

c) Berechnen Sie den Umfang des Parallelogramms ABCD.

U = a + b + c + d = 2a + 2b a

!

=

!

r

_B

!

!

r

_A

=

!2 8 12

"

#

$ $

%

&

' ' ! 4 2

!6

"

#

$ $

%

&

' ' =

!6 6 18

"

#

$ $

%

&

' ' ( a = 36 + 36 + 324 = 396 = 6 11

von!Aufgabe!a) b = 144 + 16 + 100 = 260 = 2 65

U = 12 11 + 4 65 ( U = 72, 0485

[3]