Physikalisches Institut Ubungsblatt 13¨
Universit¨at Bonn 29.01.2016
Theoretische Physik WS 15/16
Ubungen zu Theoretische Physik IV ¨
Prof. Dr. Hans Kroha, Christoph Liyanage, Jonas Reuter Abgabe: 05.02.2016, Besprechung: 09.02.-10.02.2016
http://www.kroha.uni-bonn.de/teaching/
–Hausaufgaben–
H 13.1 Ising-Modell (6+8=14) Punkte
Der Hamilton-Operator des Ising-Modells mit ¨außerem Magnetfeld B ist gegeben durch Hˆ =−JX
hi,ji
σiσj−µBX
i
σi.
σi bezeichnet die z-Komponente des Spins am Gitterplatziund kann die Werte±12 annehmen.
Summiert wird ¨uber alle N Gitterpl¨atze i. hi, ji im ersten Term bedeutet, dass j nur jeweils
¨uber dieq n¨achsten Nachbarn vonisummiert wird, wobei q von der Art des Gitters abh¨angt.
(a) Molekularfeld-N¨aherung
Die Wechselwirkung eines Spins σi mit den n¨achsten Nachbarn wird durch das (noch zu bestimmende) mittlere Feldhσi der anderen Spins ersetzt:
HˆM F =X
i
Hˆi,M F =−X
i
(J qhσi+µB)σi
Berechne in dieser N¨aherung die Zustandssumme ZC und zeige anschließend, dass der mittlere Spinhσi pro Gitterplatz durch die selbstkonsistente Gleichung
hσi= 1 2tanh
1
2β(J qhσi+µB)
bestimmt ist. Diskutiere diese implizite Gleichung f¨ur B = 0 graphisch. Was ergibt sich daraus f¨ur die kritische TemperaturTc, bei der ein Phasen¨ubergang vom paramagnetischen (hσi = 0 f¨ur T > Tc) zum ferromagnetischen Zustand mit spontaner Magnetisierung (hσi 6= 0 f¨urT < Tcund B = 0) auftritt?
(b) Bethe-N¨aherung
Nun wird die Wechselwirkung zwischen einem beliebigen zentralen Spin σ0 mit seinen q n¨achsten Nachbarn exakt behandelt, w¨ahrend die Wechselwirkung zwischen diesen q Nachbarn und den weiteren Spins des Gitters durch ein mittleres Feld B0 n¨aherungsweise beschrieben wird:
HˆBethe=−µBσ0−µ(B+B0)
q
X
j=1
σj−J
q
X
j=1
σ0σj
1
Zeige analog zu Aufgabenteil (a) mit Hilfe der Zustandssumme ZC, dass hσji=
* 1 q
q
X
j=1
σj
+
= 1
2ZeC
h
eβµB/2coshq−1(α+) sinh(α+) +e−βµB/2coshq−1(α−) sinh(α−) i
und
hσ0i= 1 2ZeC
h
eβµB/2coshq(α+)−e−βµB/2coshq(α−) i
,
wobeiZC = 2qZeC undα±=βµ(B+B0)/2±βJ/4. Da kein Gitterplatz vor den anderen ausgezeichnet ist, muss hσ0i = hσji gelten. Durch diese Gleichung erh¨alt man wiederum eine transzendente Gleichung f¨ur B0. Bestimme daraus Tc, indem du B = 0 setzt, die Gleichung f¨ur den Grenzfall B0 → 0 betrachtest (Warum?) und zur 1. Ordnung in B0 entwickelst. Zeige schließlich, dass man f¨urq → ∞dasselbe Ergebnis erh¨alt wie in (a).
H 13.2 Ginzburg-Landau Theorie des Heisenberg-Modell (2+4+2+3=11) Punkte Die Hamiltonfunktion des Heisenberg-Modells im Magnetfeld B lautet
H=−J X
<ij>
S~i·S~j−µ ~B·X
i
S~i, J >0.
In der Vorlesung wurde die freie Energie des Heisenberg-Modells (in der Mean-Field-Theorie) berechnet:
F =N
−kBTln(2 cosh(x))−JZ
8 tanh2(x) +kBT(x−h) tanh(x)
mit x = µ(B+B2k M F)
BT , dem dimensionslosen Magnetfeld h = 2kµB
BT und der Zahl der n¨achsten NachbarnZ. Der Ordnungsparameter des ferromagnetischen ¨Ubergangs ist die Magnetisierung M =µPN
i=1hS~ii.
(a) Wie h¨angt M mit dem effektiven Magnetfeld BM F zusammen?
(b) Zun¨achst sei das externe Magnetfeld h = 0. Leite die Ginzburg-Landau-Form der freien Energie her:
F(M)−F0=a(T)M2+bM4
das heißt, entwickleF bisO(M4). Warum m¨ussen die ungeraden Koeffizienten der Entwick- lung verschwinden? Gib die Koeffizienten a(T) und b an. Wie bestimmt a(T) die kritische TemperaturTC? Gib TC an und skizziere F(M) f¨urT > TC undT < TC.
(c) BestimmeM(T) in der N¨ahe des ferromagnetischen Phasen¨ubergangs.
(d) Sei T < TC und M in negative z-Richtung orientiert. Nun wird ein externes Magnetfeld B >0 in positive z-Richtung angelegt. Berechne wieder die Ginzburg-Landau freie Energie F(M)−F0 bis O(M4). Skizziere F(M) f¨ur T > TC und T < TC. Was ist qualitativ die Bedingung anB, sodass die Magnetisierung durchB geflippt wird? Skizziere f¨ur diesen Fall F(M)−F0.
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