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1. ¨Ubung Mathematische Logik Abgabe : bis Donnerstag, den 26.10. um 8:15 Uhr am Lehrstuhl oder in der Vorlesung

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Lehr- und Forschungsgebiet

Mathematische Grundlagen der Informatik RWTH Aachen

Prof. Dr. E. Gr¨adel, V. Barany, T. Ganzow, L. Kaiser, M. Ummels

WS 2006/07

1. ¨Ubung Mathematische Logik

Abgabe : bis Donnerstag, den 26.10. um 8:15 Uhr am Lehrstuhl oder in der Vorlesung

Aufgabe 1 10 Punkte

Geben Sie an, ob die folgenden Formeln ¨uber den Aussagenvariablen X und Y Tautologien, erf¨ullbar oder unerf¨ullbar sind (mit Begr¨undung).

(a) (X→Y)→(¬Y → ¬X) (b) (X →Y)→(Y →X) (c) (X→ ¬Y)→ ¬Y (d) (¬X∧(X∨Y))↔(Y →X) (e) (Y ∧ ¬Y)→1

Aufgabe 2 6 Punkte

(a) Eine AL-Formel heißtkontingent wenn sie erf¨ullbar aber keine Tautologie ist. Gibt es kon- tingente Formeln, deren Negation nicht kontingent ist?

(b) Seif ∈B3 eine Boolsche Funktion, f¨ur die gilt:

f(x,¬x, x) =f(x,0,0) = 1 und f(x, x,¬x) =f(x,1,1) = 0.

Zeigen Sie, dassf eindeutig bestimmt ist, geben Sie eine AL-Formelϕ(X1, X2, X3) an, dief definiert, und zeigen oder widerlegen Sie, dass{f} funktional vollst¨andig ist.

Aufgabe 3 8 Punkte

Jedem (ungerichteten) Graphen mit Knoten 1, . . . , nordnen wir eine aussagenlogische Interpre- tation in folgender Weise zu : Jedem Paari < kvon Knoten wird eine Variable Xik zugeordnet, die genau dann den Wert 1 erh¨alt, wenn es eine Kante zwischeni undk gibt.

(a) Geben Sie f¨urn= 5 eine Formel an, welche beschreibt, dass der Grad des Graphen minde- stens drei ist, d. h. es gibt einen Knoten mit mindestens drei Nachbarn.

(b) Konstruieren Sie f¨ur beliebige n und k Formeln ϕn,k, die ausdr¨ucken, dass der Graph k- regul¨ar ist.

(c) Geben Sie f¨ur beliebigeneine Formelψnan, die beschreibt, dass der Graph ein vollst¨andiger bipartiter Graph ist.

http://www-mgi.informatik.rwth-aachen.de/Teaching/MaLo-WS06/

(2)

Aufgabe 4 6 Punkte Marion und Lothar haben einige Freunde zum Essen eingeladen und folgende R¨uckmeldungen erhalten:

(a) Wenn Antonia kommt, bringt sie Benjamin mit;

(b) Mindestens einer der Zwillinge Claudius und Desir´ee kommt;

(c) Entweder kommt Benjamin oder Emil, aber nicht beide;

(d) Entweder kommen Emil und Desir´ee oder beide nicht;

(e) Wenn Claudius kommt, dann kommen auch Desir´ee und Antonia.

Finden Sie durch geeignete Formalisierung in der Aussagenlogik heraus, wer zum Abendessen kommt und wer nicht.

http://www-mgi.informatik.rwth-aachen.de/Teaching/MaLo-WS06/

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