Bachelorarbeit
Parallelisierte Modellgenerierung zur interaktiven Simulation
von Gefäÿkathetern
Josepha Kersten
Betreuer:
Prof. Dr.-Ing. Bernhard Preim
Dr. Simon Adler
besondere versichere ich, dass ich alle wörtlichen und sinngemäÿen Übernahmen aus anderen Werken als solche kenntlich gemacht habe.
Ort, Datum:
Unterschrift:
Inhaltsverzeichnis
1. Einleitung 6
1.1. Motivation . . . 6
1.2. Anforderungen und Zielsetzung . . . 7
1.3. Aufbau der Arbeit . . . 7
2. Grundlagen 8 2.1. Aufbau eines Führungskatheters . . . 8
2.2. Beispiel eines endovaskulären Eingris . . . 8
2.3. Verwandte Arbeiten . . . 11
2.4. Mathematische und physikalische Grundlagen . . . 12
2.4.1. Catmull-Rom Splines . . . 12
2.4.2. Feder-Masse-Systeme . . . 14
2.4.3. Zeitintegration . . . 15
2.5. Gefäÿsimulation . . . 17
3. Simulation von Gefäÿkathetern 20 3.1. Erfassung von Katheterdaten . . . 20
3.2. Erzeugen der Grundform . . . 22
3.3. Generierung eines 3D-Modells zum Rendern . . . 23
3.4. Simulation . . . 25
3.4.1. Physikbasiertes Modell . . . 25
3.4.2. Kombination mehrerer Modelle . . . 29
3.4.3. Benutzerinteraktion . . . 30
3.5. Parallelisierung . . . 32
3.5.1. Parallelisierung der Modellgenerierung . . . 34
3.5.2. Parallelisierung der Simulationsberechnungen . . . 35
4. Zusammenfassung 37
5. Ausblick 38
Anhang 39
A. XML-Datensatz eines Katheters 39
Abbildungsverzeichnis 40
1. Einleitung
1.1. Motivation
Ein Trend in der modernen Medizin ist es Gefäÿ- und Herzerkrankungen durch mi- nimalinvasive endovaskuläre Methoden zu untersuchen und behandeln. Dies zeigt sich darin, dass in Deutschland die Zahl der Herzkatheter-Interventionen jährlich zunimmt [15][13]. Minimal invasive Eingrie bieten den Vorteil, dass die Belastung für den Patienten minimiert wird und dadurch eine schnellere Genesung erfolgt.
So konnten bei der Behandlung von Neugeborenen mit Herzfehler durch derartige Eingrie groÿe Fortschritte erzielt werden [10].
Die Nachteile bei Katheter-Interventionen liegen vor allem in der eingeschränk- ten Sicht für den Arzt. Er kann den Verlauf des Eingris nur über Röntgenaufnah- men verfolgen, welche eine reduzierte (zweidimensionale) Abbildung der Anatomie ermöglichen. Eine bessere Übersicht bieten moderne Angiographie-CTs, welche die Darstellung der Gefäÿe in frei rotierbaren 3D-Szenen ermöglichen. Beide Abbil- dungsverfahren führen jedoch zu einer Belastung des Patienten durch Röntgen- strahlung und Kontrastmittel. Ein Optimierungsziel für Katheter-Eingrie liegt dementsprechend darin, die benötigte Anzahl an Aufnahmen und die damit ver- bundene Strahlenbelastung für Patient und Arzt zu reduzieren. Dies erfordert ein umfangreiches Wissen der komplexen anatomischen Strukturen und eine hohe Ge- schicklichkeit und Erfahrung im Umgang mit den Instrumenten und Techniken.
Bevor Ärzte endovaskuläre Eingrie durchführen dürfen, müssen sie ein umfang- reiches Training absolvieren. Die Ausbildung erfolgt nach dem Halsted-Modell, bei dem ein auszubildender Arzt direkt von einem erfahrenen Arzt angelernt wird.
Die verwendeten Trainingsmethoden umfassen Live Demonstrationen durch Vi- deokonferenzen, Beobachtung von Eingrien im Operationsraum, Übung anhand von mechanischen Modellen und praktische Versuche an Tieren und Leichen. Di- rektes Üben von Eingrien an Tieren ist momentan die beste Trainingsmethode [21][22], sie ist jedoch kostenintensiv (Anschaung/Entsorgung von Versuchstieren, Verwendung von Instrumenten), führt zu einer Strahlenbelastung für den Arzt und ist ethisch bedenklich.
Eine Möglichkeit Ausbildung, Training und Validierung von Ärzten, die Planung von Eingrien und die Entwicklung neuer Methoden zu unterstützen, bietet die virtuelle Simulation. Die Vorteile medizinischer Simulatoren sind vielfältig. Auszu- bildende Ärzte können unabhängig von der Verfügbarkeit ihres Lehrers trainieren.
Sachverhalte können anschaulich vermittelt werden, z.B. die Abbildung dreidi- mensionaler Anatomie auf eine zweidimensionale Anzeige. Sie bieten Ärzten die Möglichkeit Fehlerquellen zu erproben und neue Techniken ohne Risiko für den Patienten auszuprobieren. Ein Problem bei Katheter-Interventionen wird darin gesehen, dass mitunter komplexe Interventionen in Krankenhäusern durchgeführt
werden, die nur geringe Fallzahlen aufweisen [13]. Simulatoren können Ärzten in Krankenhäusern mit niedrigen Durchlaufzahlen die Möglichkeit geben, ihre Fähig- keiten zu verbessern, indem sie Abläufe trainieren.
Simulatoren können und sollten die praktische Ausbildung nicht ersetzen, kön- nen sie jedoch gut ergänzen. Wird die virtuelle Simulation durch instrumenten- ähnliche Eingabegeräte erweitert, können nicht nur Verständnis und Erfahrung sondern auch motorische Fähigkeiten trainiert werden. Wesentlich ist das Training der Hand-Augen-Koordination, welches mit Hilfe von Simulatoren ohne Patienten- risiko patientenfern durchgeführt werden kann.
Damit ein Simulator tatsächlich von Ärzten angenommen wird und in das Trai- ning integriert werden kann, muss er vielen Anforderungen gerecht werden. Er sollte leicht zu bedienen sein, der Benutzer muss mit der dynamischen Simulations- umgebung in Echtzeit interagieren können, es muss ein hoher Grad an Realismus erreicht werden und die Anschaungskosten sollten vertretbar sein.
1.2. Anforderungen und Zielsetzung
Ziel dieser Arbeit ist es zu untersuchen, inwieweit sich ein neu entwickeltes Ver- fahren zur Simulation von dynamischen Blutgefäÿen [1][2][3][4] auf die Simulation von endovaskulären Interventionen erweitern lässt. Einer der Schwerpunkte der Betrachtung soll dabei auf der Parallelisierung der Modellgenerierung und Simu- lationsberechnungen liegen. Es soll eine Testumgebung implementiert werden, die es ermöglicht, ein kombiniertes Modell (Katheter und Führungsdraht) durch Be- nutzerinteraktion entlang eines einfachen (unverzweigten) Gefäÿes zu bewegen.
1.3. Aufbau der Arbeit
Kapitel 2 gibt einen Überblick über medizinische, mathematische und physikalische Grundlagen. Der Ablauf eines endovaskulären Eingris wird erläutert, die Ansätze verwandter Arbeiten werden vorgestellt und diskutiert. Es erfolgt eine kurze Ein- führung in das physikbasierte Simulationsverfahren von Blutgefäÿen, welches als Basis für das in dieser Arbeit vorgestellte Verfahren zur Simulation von Gefäÿka- thetern dient.
In Kapitel 3 wird das Konzept des Kathetersimulationsverfahrens vorgestellt. Es wird die Erfassung der benötigten Daten, das Erzeugen von Grundformen und die Modellgenerierung erörtert. Es erfolgt eine detaillierte Beschreibung der entwickel- ten Kathetersimulation anhand der einzelnen Entwicklungsschritte. Im Anschluss wird der Schwerpunkt der Parallelisierung der verwendeten Algorithmen zur Be- schleunigung der Berechnungszeit dargelegt.
In Kapitel 4 erfolgt eine Zusammenfassung und Auswertung des vorgestellten Verfahrens und Kapitel 5 gibt einen Ausblick auf weiterführende Ansätze.
2. Grundlagen
2.1. Aufbau eines Führungskatheters
Abbildung 2.1: Innerer Aufbau eines Führungskatheters
Ein Führungskatheter ist üblicherweise ein dünner elastischer Kunststoschlauch, der von einem feinem Drahtgeecht und einer Ummantelung umgeben ist (Abbil- dung 2.1). Die Oberäche ist glatt, um die Reibung gering zu halten. Er besitzt auf Grund des Drahtgeechts eine hohe Drehstabilität, damit kleinste Drehbewegun- gen vom Ende bis in die Spitze übertragen werden und eine hohe Knickstabilität, um ein Abknicken bei starken Verformungen zu verhindern. Die innere Hülse be- sitzt eine hohe Gleitfähigkeit und ein groÿes Lumen, um die Durchspülung mit Flüssigkeiten und das Einführen von Führungsdrähten zu ermöglichen. Führungs- katheter sind standardmäÿig mit Durchmessern von 4 bis 10 French (1 French entspricht 13 Millimeter) verfügbar.
Die Spitze eines Führungskatheters kann über eine vorgebogene Grundform (Konguration) verfügen oder manuell verformt werden. Kongurationen sind in verschiedenen Gröÿen erhältlich (Abbildung 2.2).
2.2. Beispiel eines endovaskulären Eingris
In diesem Abschnitt wird ein endovaskulärer Eingri unter Verwendung eines Ge- fäÿkatheters erläutert. Als Beispiel wurde eine perkutane koronare Intervention gewählt.
Bei der perkutanen koronaren Intervention (PCI, auch PTCA) handelt es sich um ein therapeutisches Verfahren der Kardiologie, welches zur Behandlung eines
Abbildung 2.2: Zwei unterschiedliche Kongurationen eines Führungskatheters in verschiedenen Gröÿenausführungen
breiten Spektrums lebensbedrohlicher Herzerkrankungen von der instabilen An- gina pectoris (anfallsartiger Schmerz in der Brust) bis hin zum Myokardinfarkt (Herzinfarkt) verwendet wird. Das Ziel einer perkutanen Koronarintervention ist die Erweiterung von stenosierten (verengten) oder vollständig verschlossenen Ko- ronarien (Herzkranzgefäÿen).
Zum Beginn des Eingris wird unter lokaler Betäubung ein Zugang zu einer geeigneten Arterie gelegt, z.B. über die A. femoralis (Leistenarterie) oder die A.
radialis (Unterarmarterie). Dazu wird eine Schleuse angebracht, welche als exible Führungsschiene dient, durch deren Inneres der Katheter in das Blutgefäÿ gleiten kann (Seldinger-Technik). Sie dient zusätzlich als Abdichtung der Einstichstelle.
Über den Zugang kann nun ein Führungskatheter entlang der Arterien bis zum betroenen Herzgefäÿ geführt werden.
Um die Steifheit des Führungskatheters zu erhöhen und somit die Navigation durch die Gefäÿe zu ermöglichen, wird in den Führungskatheter ein Führungs- draht eingeführt. Die Spitze des Drahtes besteht aus sehr weichem Material, um die Gefahr der Beschädigung der Blutgefäÿe zu minimieren. Da der Draht in der Regel aus Metall ist, ist er im Gegensatz zum Führungskatheter intraoperativ gut bei einer Durchleuchtung mit Röntgenstrahlen zu erkennen. Der Arzt kann da- durch die aktuelle Position des Katheters überprüfen. Die Oberäche des Drahtes ist beschichtet, um den Reibungswiderstand gering zu halten. Die Blutgefäÿe sind auf Röntgenaufnahmen kontrastschwach. Durch wiederholte Gabe von Kontrast- mittel, welches durch den Katheter verabreicht wird, können die Gefäÿinnenräume kurzzeitig hervorgehoben werden.
Die Spitze des Katheters ist normalerweise gebogen, um entlang der Gefäÿab- zweigungen navigieren zu können. Der eingeführte Draht kann die gebogene Spitze des Katheters bei Bedarf begradigen. Wird der Draht stückweise herausgezogen,
Abbildung 2.3: Konguration des Katheters (blau) in Abhängigkeit der Abgangs- konguration der Koronaraterie (a) horizontal (b) superior (c) inferior
nimmt die Spitze des Führungskatheters ihre ursprüngliche gebogene Form an.
Durch wiederholtes Vorschieben, Zurückziehen und Drehen kann der Arzt Draht und Katheter entlang der Gefäÿverzweigungen bewegen und sich an die gewünsch- te Stelle vorarbeiten. Die Form des Katheters wird anhand der anvisierten Gefäÿe und der patientenspezischen Anatomie gewählt (Abbildung 2.3).
Mitunter werden während der Untersuchung mehrere Katheter benötigt, um an den Zielpunkt zu gelangen. Der Wechsel erfolgt indem der Führungskatheter lang- sam herausgezogen wird, während der Führungsdraht an seiner Position verbleibt.
Anschlieÿend kann der neue Führungskatheter entlang des Drahtes an die Ur- sprungsposition geschoben werden.
Wenn das Zielgefäÿ erreicht ist, wird ein Ballon an der Spitze des Katheters in einer vorliegenden Stenose (Gefäÿverengung) expandiert, sodass die Verengung er- weitert und eine Verbesserung des Blutusses erreicht wird. Bei der Erweiterung werden die im Bereich der Ablagerung bendlichen Kalkanteile in die elastische Wand der Koronargefäÿe (Herzkranzgefäÿe) gedrückt und verbleiben dort. Um ei- ne Restenosierung (erneute Verengung des Gefäÿes) zu verhindern, wird in der Regel ein Stent (Gefäÿstütze) implantiert.
Nach Beendigung des Eingris werden Katheter und Zugang entfernt und die Ein- stichstelle durch einen Druckverband verschlossen [18].
Im Verlauf des 20 wöchigen Praktikums am Fraunhofer-Institut für Fabrik- betrieb und -automatisierung konnte eine ähnliche Intervention (endovaskulären Aneurysmabehandlung an einem Versuchstier) im INKA Angiographie-Labor der Experimentellen Fabrik Magdeburg verfolgt werden, um eine Übersicht über den Ablauf eines derartigen Eingris zu erhalten.
2.3. Verwandte Arbeiten
Umfangreiche kommerzielle Simulatoren endovaskulärer Interventionen werden be- reits erfolgreich genutzt [12][24][17]. Es hat sich gezeigt, dass das Training von Ärz- ten durch den Einsatz von Simulationsumgebungen unterstützt werden kann [11]
[25]. Einen detaillierten Überblick über den Umfang der Simulation kommerzieller Systeme zu erstellen erweist jedoch sich als schwierig, da nur begrenzte Informatio- nen über die technische Umsetzung zur Verfügung stehen. Einige Systeme verfügen über interaktive Kathetermodelle, die komplexe Interaktion von Katheter und Ge- fäÿwänden wird jedoch vernachlässigt.
Ein Ansatz für das Kathetermodell basiert auf Multi-Body-Systemen [8] [12], be- stehend aus starren Körpern welche durch Gelenke verbunden sind. Dieses diskrete Modell ermöglicht eine Approximation des Verhaltens eines Katheters, benötigt je- doch viele Gelenke. Um einen hohen Grad an Flexibilität zu erreichen ist deshalb ein hoher Rechenaufwand erforderlich, wodurch das Verfahren wenig für Echtzeit- Simulationen geeignet ist.
Aktuelle Arbeiten, welche die Katheter-Führungsdraht-Interaktion umsetzten [9]
[19][20] basieren auf einer statischen FEM-Repräsentation, bei der eine Menge von Stabelementen verknüpft werden. Jedes Stabelement ist biegbar und verfügt über Freiheitsgrade für Translation und Rotation. Diese Art der Umsetzung ermöglicht die Kombination von Katheter und Führungsdraht zu einem Kompositionsmo- dell [20], welches die Kollisionsbehandlung von Katheter und Draht umgeht. Für die Berechnung der Stabelemente werden Elementmatrizen erstellt, welche zu einer Systemmatrix zusammengefasst werden. Die Gröÿe des zu lösenden Gleichungssys- tems hängt von der Anzahl der Stab-Elemente ab, um eine Simulation in Echtzeit zu ermöglichen muss es zerlegt und inkrementell gelöst werden.
Alderliesten et. al [5][6][7] verfolgen den Ansatz der Energieminimierung zur Si- mulation eines Führungsdrahtes basierend auf quasi-statischer Mechanik. Die in- terne und externe Energie (Biegung und Gefäÿinteraktion) des Führungsdrahtes wird anhand des Hookeschen Gesetzes zur Bestimmung der potenziellen Energie von Federn ermittelt. Die Basis des Modells bilden starre, gerade Segmente, als Ruhelänge der Federn wird der Winkel zwischen zwei Segmenten in Ruhelage ver- wendet. Die Lage der Segmente wird durch Berechnen einer expliziten analytischen Lösung des Energieminimums iterativ angepasst (Relaxation). Die Interaktion von Führungskatheter und Führungsdraht wird jedoch nicht betrachtet. Das Verfahren verfolgt durch die Verwendung von Federkräften einen ähnlichen Ansatz zu dem in dieser Arbeit vorgestellten Simulationsverfahren. Allerdings ist auch dieser Ansatz durch das Bestimmen einer analytischen Lösung mit einem hohen Rechenaufwand verbunden und somit für eine umfangreiche Simulationsumgebung weniger geeig- net.
2.4. Mathematische und physikalische Grundlagen
In diesem Abschnitt wird ein Interpolationsverfahren zum Erzeugen glatter Kurven anhand von Kontrollpunkten und die Grundlagen für die Berechnung von Feder- Masse-Systemen vorgestellt. Des weiteren wird eine Übersicht über verschiedene Verfahren zur Zeitintegration gegeben.
2.4.1. Catmull-Rom Splines
Abbildung 2.4: Ein Segment eines Catmull-Rom-Splines (grün) deniert über die Punkte C1 bis C4 mit den dazugehörigen Tangenten (gepunktet) und zwei angrenzenden Segmenten (rot)
Splines sind eine Form der mathematischen Darstellung von Kurven. Sie werden aus Polynomen gebildet, welche in gegebenen Knotenpunkten (nach festgelegten Bedingungen) stückweise zusammengefügt werden. Ihre Form wird durch ein Kon- trollpolygon beschrieben und kann durch Verschieben der Kontrollpunkte mani- puliert werden. Eine Unterklasse der Splines bilden die Catmull-Rom-Splines [14].
Ihre Besonderheiten ist, dass sie ihre Kontrollpunkte interpolieren.
Catmull-Rom-Splines werden aus stückweise kubische Polynomen gebildet, wel- che erzeugt werden, indem die Tangente in einem Kontrollpunkt über den Vorgän- ger und Nachfolger gebildet wird. Ein Spline-Segment zwischen zwei Kontrollpunk- ten Cn und Cn+1 wird dadurch über vier Kontrollpunkte Cn−1 bis Cn+2 deniert (Abbildung 2.4). Ein zusätzlicher Tensionsfaktor s bestimmt, wie stark sich die Kurve an die Tangenten annähert.
Ein Punkt P auf einem Kurvensegment, welchen zwischen zwei Punkten C2 und C3 verläuft, kann über einen Wert t ∈ [ 0 1 ] durch die Geometriematrix berechnet werden mit
PCatmull−Rom(t) =
t3 t2 t 1
−s 2−s s−2 s 2s s−3 3−2s −s
−s 0 s 0
0 1 0 0
C1 C2 C3 C4
(1)
Eine Kurve kann aus beliebig vielen Kontrollpunkten (bzw. Segmenten) beste- hen. Die Kurve ist in den Segmentübergängen tangentenstetig (C1-stetig), da zwei Segmentenden einen Kontrollpunkt mit einer zugehörigen Tangente teilen. Die Segmentübergänge sind jedoch weder krümmungs- (C2-) noch torsionsstetig (C3- stetig). Kontrollpunkte haben einen lokalen Einuss auf den Kurvenverlauf, jeder Kontrollpunkt beeinusst vier benachbarte Segmente (jeweils zwei Vorgänger- und Nachfolgesegmente).
Die Enden des Catmull-Rom-Splines müssen gesondert betrachtet werden. Die Tangenten im ersten und letzten Kontrollpunkt sind nicht deniert, da die Punkte jeweils nur über einen Nachbarpunkt verfügen. Es müssen deswegen Randbedin- gungen festgelegt werden, um den Kurvenverlauf im ersten und letzten Segment zu beschreiben. Die einfachste Lösung besteht darin eine Tangente der Länge 0 zu erzeugen, indem der Vorgänger des ersten Kontrollpunkts und der Nachfolger des letzten Punktes als der Punkt selbst festgelegt wird.
Ein Catmull-Rom-Spline lässt sich in ein (stückweise kubisches) Bezier-Spline umwandeln, welches die gleiche Kurve beschreibt. Bezier-Splines haben im Gegen- satz zu Catmull-Rom-Splines die Eigenschaft, dass sie nicht alle Kontrollpunkte interpolieren. Es müssen zusätzliche Punkte erzeugt werden, damit das Kontroll- polygon vollständig deniert ist.
Die Geometriematrix eines kubischen Bezier-Splinessegmentes ist deniert als
PBezier(t) =
t3 t2 t 1
−1 3 −3 1
3 −6 3 0
−3 3 0 0
1 0 0 0
B1 B2 B3 B4
(2)
Die Kontrollpunkte können durch Invertieren der Bezier-Basismatrix umgewan- delt werden über
Abbildung 2.5: Catmull-Rom-Splinesegment (links) und das äquivalenten Bezier- Splinesegments (rechts) mit den jeweiligen Kontrollpunkten
B1 B2 B3 B4
=
Bezier Basis M atrix
−1
Catmull−Rom Basis M atrix
C1 C2 C3 C4
(3)
Für ein Catmull-Rom-Spline mit einen Tensionsfaktor von s = 13 ergeben sich daraus die Punkte des Bezier-Kontrollpolygons mit
B1
B2 B3 B4
=
C2
C2+ 16(C3−C1) C3− 16(C4−C2)
C3
(4)
Die Endpunkte des Bezierkontrollpolygons entsprechen den mittleren Kontroll- punkten des Catmull-Rom-Splines. Die neu erzeugten Kontrollpunkte liegen auf den Tangenten (Abbildung 2.5).
2.4.2. Feder-Masse-Systeme
Ein Feder-Masse-System ist ein Modell, welches zur Simulation des Deformations- verhaltens elastischer Objekte verwendet wird. Massepunkte werden durch Federn verbunden und bilden dadurch ein System, welches sich durch Krafteinwirkung dynamisch verformen kann. Es wird in der Computergrak unter anderem für die Simulation von Stoen und Haut verwendet. Feder-Masse-Systeme bieten vie- le Vorteile: ein leichtverständliches physikalisches Konzept, eine einfache Imple- mentierung und relativ niedrige Rechenanforderungen (verglichen z.B. mit FEM- Methoden). Es ergeben sich jedoch auch Nachteile. Einige Parameter (z.B. die Federsteife) sind nicht oensichtlich und schwierig auf reale Parameter abbildbar.
Wird eine Feder gestreckt oder gestaucht, entsteht eine Kraft, welche die Feder zurück in ihre Ruhelage versetzt. Die Berechnung der Federkräfte basiert auf dem
Hookschen Gesetz zur Beschreibung linear-elastischen Verhaltens, gegeben durch F =−K~x. Die erzeugte KraftF ergibt sich aus der FederkonstanteK(Steifheit der Feder) und der Verschiebung~xbezogen auf die Ruhelage der Feder. Für ein System bestehend aus zwei unxierten Massepunkten Pi und Pj und einer Ruhelänge L0 der zugehörigen Feder ergibt dies
F~(Pi, Pj) = KL0− ||P~iPj||
L0
P~iPj
||P~iPj|| (5) 2.4.3. Zeitintegration
Die Berechnung einer Simulation in diskreten Zeitschritten macht eine Zeitinte- gration notwendig. Man unterscheidet dabei zwischen explizite und implizite Inte- grationsverfahren.
Das einfachste explizite Integrationsverfahren ist die Euler-Integration, bei der eine numerische Lösung für ein Anfangswertproblem ermittelt wird. Bezogen auf die Simulation von Massepunkten muss die Positionsänderung der einzelnen Punk- te anhand von externen Kräften und aktueller Geschwindigkeit pro Zeitschritt ∆t ermittelt werden. Jedem Massepunkt werden dafür zu Beginn der Simulation zum Startzeitpunktt0 eine Startpositionx(t0) = x0und Startgeschwindigkeitv(t0) = v0 zugeordnet.
Durch Newtons zweites Gesetz F~ = m~a lässt sich anhand der Krafteinwirkung F~ die Beschleunigung~a eines Massepunktes mit der Masse m zum Zeitpunkt tk ableiten mit
a(tk) = F(tk)
m = ˙v(tk) (6)
Die Geschwindigkeit~v kann nun anhand der ermittelten Beschleunigung aktua- lisiert werden durch
v(tk+ ∆t) =v(tk) + ∆tv(t˙ k) =v(tk) + ∆tF(tk)
m = ˙x(tk) (7) Aus der aktuellen Geschwindigkeit des Massepunktes ergibt sich die neue Posi- tion ~x nach einem Zeitschritt ∆t mit
x(tk+1) =x(tk+ ∆t) =x(tk) + ∆tx(t˙ k) = x(tk) + ∆t
v(tk) + ∆tF(tk) m
(8) Der berechnete Wert stellt auf Grund der expliziten Zeitintegration eine Appro- ximation der tatsächlichen Lösung des Anfangswert-Problems dar. Das Ergebnis
der Dierentialgleichung wird abgeschätzt, indem die Tangente zu einem bekann- ten Zeitpunkt tk ermittelt wird und ein Schritt der weite ∆t vollzogen wird. Die ermittelte Lösung weicht dadurch von der exakten Lösung um einen Fehler der GröÿenordnungO(∆t2) ab. Problematisch ist dabei, dass sich der Fehler im Laufe der wiederholten Berechnungen aufsummieren kann. Eine kleinere Zeitschrittwei- te führt zu einer höheren Genauigkeit der Lösung, erhöht jedoch gleichzeitig den Rechenaufwand (durch mehr Integrationsschritte).
Es gibt verschiedene Verfahren, die entwickelt wurden, um die Konvergenzord- nung (Annäherung an die exakte Lösung) zu steigern. Ein Integrationsverfahren, welches den Fehler zu O(∆t4) reduziert, ist die Verlet-Integration [26]. Bei der Verlet-Integartion wird zur Abschätzung der Tangente der Kurvenverlauf zum ak- tuellen Zeitpunkt und zum letzten Zeitpunkt herangezogen. Die beiden Zeitrich- tungen sind gegeben durch
x(tk+ ∆t) = x(tk) + ∆tx(t˙ k) + 1
2∆t2x(t¨ k) + 1 6∆t3...
x(tk) +O(∆t4) (9) für den Vorwärtsschritt und analog
x(tk−∆t) = x(tk)−∆tx(t˙ k) + 1
2∆t2x(t¨ k)−1
6∆t3...x(tk) +O(∆t4) (10) für den Rückwärtsschritt. Addiert man (9) und (10), erhält man
x(tk+ ∆t) = 2x(tk)−x(tk−∆t) + ∆t2x(t¨ k) +O(∆t4) (11) Ein zusätzlicher Vorteil dieses Integrationsverfahrens(neben der Reduzierung des Fehlers) ist die Eliminierung der Geschwindigkeit~v = ˙x(tk) aus der Berechnung.
Die Geschwindigkeit wird implizit durch den Abstand der letzten und der aktuellen Position einbezogen. Das Verfahren ist dadurch gut für die Berechnung von Syste- men mit Nebenbedingungen (z.B. Abstandsbedingungen) geeignet, da Positions- anpassungen durch die Nebenbedingungen nicht separat für die Geschwindigkeiten der einzelnen Massepunkte berücksichtigt werden müssen.
Im Gegensatz zu expliziten Integrationsverfahren bieten implizite Integrations- verfahren den Vorteil, unabhängig von der Wahl der Gröÿe von ∆t stabil zu sein und eine exakte Lösung zu liefern. Die Berechnung erfolgt über
x(tk+1) =x(tk) + ∆tv(tk+1) (12)
v(tk+1) = v(tk) + ∆t1
mF(tk+1) (13)
mit den unbekannten x(tk+1) und v(tk+1) pro Massepunkt. Das gesammte Sys- tem bestehend aus n Massepunkten lässt sich als eine Matrix der Gröÿe M3n×3n
aufstellen als
M v(tk+1) = M v(tk) + ∆tF(x(tk) + ∆tv(tk+1)) (14) Die Lösung des erzeugten linearen Gleichungssystems muss ermittelt werden (z.B. über iterative Verfahren), um die neuen Positionen der Massepunkte zu be- stimmen. Im Vergleich zu expliziten Integrationsverfahren ist ein höherer Rechen- aufwand notwendig, da sich das gesamte System pro Berechnungsschritt ändert und erneut gelöst werden muss. Hinzu kommt, dass Randbedingungen sehr viel schwieriger einbezogen werden können.
2.5. Gefäÿsimulation
Abbildung 2.6: 2D-Ansicht eines vereinfachten Blutgefäÿes (grün), der zugehörigen Mittellinien (rot) und der lokalen Radien (gepunktet)
In diesem Abschnitt wird ein physikbasiertes Modell zur ezienten, dynami- schen und realistischen Simulation von Blutgefäÿen [1][2][3][4] detailliert beschrie- ben, da es die Grundlage der in dieser Arbeit vorgestellten Kathetersimulation bil- det. Das Verfahren basiert von der Grundidee her auf dem Prinzip des elastischen
Stabs nach Kircho [16]. Bei der Beschreibung wird vorallem auf das Deforma- tionsverhalten und die Oberächensynchronisation eingegangen. Weitere Aspekte des Gefäÿmodells, wie Querschnittsänderungen und Gefäÿverzweigungen werden ausgelassen, da sie für die Betrachtungen zur Simulation von Gefäÿkathetern nicht relevant sind.
Grundlage für die Modellgenerierung bilden Gefäÿmittellinien, welche aus der Segmentierung diagnostischer Bilddaten (z.B. MRT) generiert werden. Die Mittel- linien bestehen aus Liniensegmenten, deren Endpunkten Radien zugeordnet wer- den. Der gesamte Gefäÿbaum kann demnach durch eine Menge von Punkten (mit den jeweiligen Radien) und der zugehörigen Topologie vereinfacht repräsentiert werden (Abbildung 2.6).
Abbildung 2.7: Berechnung des Deformationsverhaltens der Mittellinie anhand lo- kaler Frames in den aufeinanderfolgenden Berechnungsschritten A bis E [4]
Zur Berechnung von Krafteinwirkungen auf das Gefäÿ wird auf die Mittellinien- segmente ein Feder-Masse-Modell angewendet. Die Verschiebung eines Segment- punktes führt zu Streckungen/Stauchungen in den Segmentfedern, die daraus re- sultierenden Kräfte bringen die Segmente zurück in ihre Ruhelage.
Um Winkelkräfte (Torsion) zwischen Segmenten erzeugen zu können, muss das Feder-Masse-Modell erweitert werden. Jedem Segmentpunkt wird ein lokales Ko- ordinatensystem (Materialframe) Kn zugeordnet, dessen z-Achse in Richtung des nachfolgenden Punkts Pn+1 zeigt (Abbildung 2.7, A). Die xy-Ebene des Materi- alframes entspricht der Prolebene. Aus den Materialframes können nun Rotati- onsmatrizen Rn erzeugt werden, welche die Transformation eines Frames in den nachfolgenden Frame in Ruhelage beschreiben durch Kn−1 =RnKn.
Die Verschiebung eines Mittellinienpunktes Pn+1 führt zur Anpassung (Rotati- on) des benachbarten Materialframes Kn, damit seine z-Achse wieder in Richtung des Punktes zeigt (Abbildung 2.7, B). Dies führt dazu, dass die Positionen der Nachbarframes Kn−1 und Kn nach Transformation durch die Ruherotation Rn nicht mehr übereinstimmen Kn−1 6=RnKn. Um die Ruhelage wieder herzustellen, werden zwischen den Endpunkten der Achsenvektoren der Materialframes Kn−1
und KnRot = RnKn Federn mit einer Ruhelänge L0 = 0 deniert. Die resultie- renden Kräfte führen zu einer Verschiebung der Achsen, die Frames nähern sich wieder an (Abbildung 2.7, C). Nach Orthonormierung und Rücktransformation Kn =R−1n KnRot (Abbildung 2.7, D) kann nun anhand der veränderten z-Achse von Kn die Position von Pn+1 neu bestimmt werden (Abbildung 2.7, E).
Das Verfahren wird iterativ auf alle Materialframes angewendet, woraus ein plausibles Deformationsverhalten des Gefäÿes resultiert. Die Berechnung für das gesamte System umfasst pro Simulationsschritt demnach folgende Berechnungs- schritte:
• Integration aller Mittellinienpunkte (Verschiebung durch externe Kräfte)
• Ausrichten aller Materialframes (z-Achse in Richtung des Nachfolgepunktes)
• Kräfte zwischen allen Nachbarframes berechnen (Abweichung von der Ruhe- lage)
• Frame-Kräfte integrieren (Materialframes neu ausgerichten)
• Anpassen der Mittellinienpunkte (Punkte entlang der z-Achsen der Materi- alframes ausrichten)
3. Simulation von Gefäÿkathetern
Bei Simulationsumgebungen muss ein Kompromiss zwischen Realismus und Re- chenaufwand gefunden werden. Eine Grundvoraussetzung bei medizinischen Si- mulationen zu Trainingszwecken ist die Berechnung und Darstellung in Echtzeit.
Die Simulation muss auf Benutzereingaben reagieren und die Ergebnisse zeitnah abbilden, damit vom Anwender Rückschlüsse zwischen Aktion und Reaktion gezo- gen werden können. Eine Möglichkeit, den Rechenaufwand zu minimieren, bietet die physikbasierte Simulation. Im Gegensatz zu physikalischen Simulationen, wel- che auf möglichst exakte Berechnungen der realen physikalischen Vorgänge mit dem damit verbundenen hohen Rechenaufwand abzielen, wird für physikbasierte Simulationen eine Vereinfachung des zu Grunde liegenden (Berechnungs-)Modells vorgenommen. Das Ziel von physikbasierten Simulationen ist demnach die Ab- bildung eines plausiblen, realitätsnahen Verhaltens, welches vom Anwender als wirklichkeitstreu wahrgenommen werden soll.
Im folgenden Abschnitt wird der Ansatz für ein Verfahren vorgestellt, welches die Grundlage für eine Echtzeit-Simulation von Gefäÿkathetern bildet. Ziel des Ver- fahrens ist es, das Deformationsverhalten von Kathetern plausibel zu simulieren, die Interaktion von Katheter und Führungsdraht zu ermöglichen und Benutzerin- teraktionen zu integrieren.
3.1. Erfassung von Katheterdaten
Als Vorraussetzung für die Generierung eines virtuellen Modells werden Eigen- schaften des zu Grunde liegenden Katheters benötigt. Diese Eigenschaften umfas- sen die Form, physikalische und visuelle Eigenschaften. Aus den Formparametern kann eine Grundform erzeugt werden, welche anhand der physikalischen Parame- ter simuliert wird. Die visuellen Angaben dienen der Darstellung (Rendering) des erzeugten Modells.
Einige Formparameter, wie Länge und Durchmesser, sind auf der Verpackung angegeben (Abbildung 3.1). Durchmesser und Länge werden in Millimeter, Inch, French oder einer Kombination aus diesen aufgelistet.
Die physikalischen Eigenschaften müssen anhand von Messungen von Steifheit und Masse der realen Katheter ermittelt werden. Im Rahmen dieser Arbeit wurden jedoch keine Untersuchungen durchgeführt, wie derartige Messungen erfolgen kön- nen und inwieweit sich die Daten auf die Parameter der physikbasierten Simulation übertragen lassen.
Um die Erfassung der Daten zu vereinfachen und zu vereinheitlichen, wurde im Rahmen dieser Arbeit ein Programm entwickelt, mit dem Gefäÿkatheter an- hand der benötigten Eigenschaften eingetragen, editiert und in einer XML-Datei gespeichert werden können.
Abbildung 3.1: Verpackungsbeschriftung eines Katheters mit Durchmesser- und Längenangaben
Über das Hauptfenster kann ein Datensatz (XML-Datei) geladen und bearbeitet oder neu erzeugt werden. Die Einträge werden nach Hersteller und Produktname sortiert angezeigt. Über ein Unterfenster kann ein vorhandener Eintrag editiert oder ein neuer Eintrag eingefügt werden (Abbildung 3.2).
Für einen neuen Eintrag werden zuerst Hersteller und Produktname erfasst. Ka- theter können über mehrere Abschnitte mit unterschiedlichen Eigenschaften (z.B.
variierende Durchmesser) verfügen, weswegen Form, physikalische und visuelle Ei- genschaften abschnittsweise eingetragen werden.
Die benötigten Daten pro Abschnitt umfassen:
• Form: Länge, Krümmung, Durchmesser
• Physikalische Eigenschaften: Masse, Steifheit
• Visuelle Eigenschaften: Farbe
Eine der Schwierigkeiten beim Erfassen der Daten ist eine geeignete Parame- trisierung der gebogenen Grundformen (Kongurationen). Es hat sich gezeigt, dass eine Konguration gut über eine weitere Zerlegung der Eigenschaftsabschnitte
Abbildung 3.2: Die Benutzeroberäche des Programms zur Erfassung der Daten eines Katheters
in Krümmungsabschnitte approximiert werden kann. Jeder Krümmungsabschnitt wird über seine (Kreis)Länge und den zugehörigen Winkel deniert und schlieÿt tangential an das Vorgängersegment an. Die gegenwärtige Parametrisierung geht von einer planaren Konguration aus, sie kann jedoch für komplexere Grundfor- men erweitert werden. Anhang A zeigt den Aufbau eines XML-Datensatzes anhand eines einzelnen Eintrags.
3.2. Erzeugen der Grundform
Anhand der Abschnittsliste kann die Mittellinie der Grundform mit den zugehö- rigen Kontrollpunkten generiert werden. Dazu werden die Abschnitte stückweise tangential aneinandergefügt. Die Länge eines Abschnitts wird geteilt, bis die Teil- längen kleiner als der denierte Punktabstand sind und Kontrollpunkte gemäÿ auf dem Linien- oder Kreissegment verteilt (Abbildung 3.3). Jedem Kontrollpunkt wird der zugehörige Abschnittsradius zugewiesen, welcher dem Radius des Kathe- ters an der zugehörenden Stelle entspricht. Als Starttangente kann ein beliebiger Vektor gewählt werden. Die Punkte werden aufsteigend von der Spitze bis zum Ende zugefügt.
Um das spätere Zusammenfügen mehrerer Modelle zu vereinfachen, müssen alle Kontrollpunkte einen äquidistanten Abstand haben. Dies kann realisiert werden, indem die Segmentlängen vielfache des festgelegten Abstandsmaÿes sind. Sie kön-
Abbildung 3.3: Zerlegung der Konguration einer Führungskatheterspitze in Krümmungsabschnitte (rot, grün und blau) mit zwei markierten Segmenten, deniert über die Winkel α1 und α2 und den zugehö- rigen Kreislängenl1 und l2, und den zugehörigen Kontrollpunkten
nen dadurch in identische Teillängen zerteilt werden, welche der denierten Äqui- distanz entsprechen. Durch das Platzieren der Punkte auf Kreissegmenten kann es zu leichten Längenabweichungen kommen (der direkte Punktabstand ist klei- ner als das zugehörige Kreissegment). Es sollte deswegen vermieden werden, kurze Segmente mit groÿem Winkel zu denieren, um die Abweichung gering zu halten.
Nachdem alle Kontrollpunkte platziert sind, wird für jeden Kontrollpunkt ein Frame (lokale Koordinatensystem) erzeugt. Da die Grundform planar ist, können die Frames eindeutig ausgerichtet werden: die x- und z-Achsen liegen in der Ebene der Grundform, die y-Achsen stehen senkrecht dazu, die z-Achse zeigt in Richtung des nächsten Punktes (Abbildung 3.4). Anschlieÿend kann die Rotationen zwischen zwei Frames in Ruhelage berechnet werden. Das Grundmodell ist nun vollständig deniert.
3.3. Generierung eines 3D-Modells zum Rendern
Die Simulation erfolgt ausschlieÿlich auf den Kontrollpunkten der Mittellinie, wel- chen jeweils ein Radius zugeordnet ist. Zum Rendern des Modells muss aus diesen Daten ein 3D-Model erzeugt werden, welches die Oberäche des Katheters reprä- sentiert.
Abbildung 3.4: Die Kontrollpunkte (schwarz) mit den Koordinatenachsen X, Y und Z (rot, grün und blau) der zugehörigen Frames (links) und das zugehörige Oberächenmodell (rechts)
Als erster Schritt wird die Mittellinie geglättet, indem eine Kurve durch die Punkte gelegt und in Kurvenpunkte diskretisiert wird. Ein erster Ansatz war es, ein stückweise kubisches Bezier-Spline zu erzeugen, welche durch die Mittellinien- punkte verläuft. Da das Bezier-Spline (genauer das Erzeugen des Kontrollpolyg- ons) aus Catmull-Rom-Splines abgeleitet ist, wurde im zweiten Ansatz die Kurve direkt über das Catmull-Rom-Verfahren erzeugt. Catmull-Rom-Splines haben (im Gegensatz zu anderen Spline-Typen) die Eigenschaft das sie ihre Kontrollpunkte interpolieren und somit kein zusätzliches Kontrollpolygon berechnet werden muss (Abschnitt 2.4.1).
Abbildung 3.5: Die Mittellinie mit den entsprechenden Kontrollpunkten (schwarz) und die zugehörige Spline-Kurve mit drei erzeugten Kurvenpunk- ten pro Segment (rot)
Es entsteht eine glatte Kurve bestehend aus Kurvensegmenten, welche in den Kontrollpunkten tangential verbunden sind. Jedes Kurvensegment kann nun be- liebig oft abgetastet werden (Abbildung 3.5). Die Abhängigkeiten der zusätzlichen Kurvenpunkte zu den jeweiligen Kontrollpunkten können während der initialen Modellgenerierung vorberechnet werden. Im Verlauf der Simulation können die zugefügten Kurvenpunkte dann anhand der veränderten Mittellinienpunktpositio- nen unter Verwendung der Abhängigkeiten neu platziert werden.
Im nächsten Schritt wird ein Kreisprol in jedem der Kurvenpunkte erzeugt un- ter Verwendung der lokalen Frames. Die z-Achsen (welche in Richtung des nächsten Punktes zeigen) bilden die Normale, die x- und y-Achsen spannen die Prolebene auf. Da nur die Mittellinienpunkte über Frames und Radien verfügen, werden in jedem Kurvenpunkt die Prolebenen und Radien durch lineare Interpolation der beiden benachbarten Mittellinienpunkte bestimmt. In der xy-Ebene eines Frames kann nun ein Kreisprol in der gewünschten Auösung mit dem lokalen Radius erzeugt werden (Abbildung 3.6).
Abbildung 3.6: Oberächenmodell, ungeglättet (links) und geglättet mit drei zu- sätzlichen Kurvenpunkten pro Segment (rechts)
3.4. Simulation
3.4.1. Physikbasiertes Modell
Vorgänger: Nachbarpunkt in Richtung der Katheterspitze
Nachfolger: Nachbarpunkt in Richtung des (xierten) Katheterendes
Das Grundprinzip zur Simulation des Deformationsverhaltens wurde in ange- passter Form von der Gefäÿsimulation (Abschnitt 2.5) übernommen. Das gesam- te Modell wird durch Massepunkte mit zugehörigen Radien repräsentiert, welche über das physik-basierte Verfahren bewegt werden. Es mussten einige Änderungen vorgenommen werden, um den Unterschieden der Materialeigenschaften zwischen
Kathetern und Gefäÿen gerecht zu werden. Die Federn, welche die Längenänderung der Segmente kontrollieren, wurden durch Abstandsbedingungen ersetzt. Katheter verfügen über eine sehr geringe Längenelastizität. Die Abstandsbedingungen sor- gen für einen konstanten Abstand der Kontrollpunkte und somit für eine konstante Länge des Katheters.
Der Ansatz zur Deformation der Gefäÿprole wurden aus dem Kathetermodell weggelassen. Führungskatheter sind derart aufgebaut (Abschnitt 2.1), dass Pro- länderungen möglichst gering gehalten werden. Das Prol wird deshalb als un- veränderlich angenommen und in den Berechnungen der Simulation nicht weiter betrachtet.
Die Verwendung der lokalen Koordinatensysteme (Frames) in den Kontrollpunk- ten wurde übernommen. Es hat sich gezeigt, dass sich das Deformationsverhalten durch das gewählte Verfahren plausibel abbilden lässt. Es waren jedoch auch hier Anpassungen nötig, um die veränderten Eigenschaften umsetzen zu können. Das Verfahren wird deshalb nochmals erläutert, um detailliert auf die Änderungen ein- gehen zu können.
Im ersten Berechnungsschritt erfolgt eine Integration der Kontrollpunkte, bei der anhand externer Kräfte und der aktuellen Geschwindigkeit die neue Position jedes Kontrollpunktes ermittelt wird (Abbildung 3.7, A2). Die Zeitintegration erfolgt über das Verlet-Verfahren (Abschnitt 2.4.3), da es gut dazu geeignet ist, Systeme mit Nebenbedingungen mit möglichst geringem Rechenaufwand zu integrieren.
Als nächstes werden alle lokalen Koordinatensysteme (Frames) neu ausgerichtet, damit ihre z-Achsen wieder in Richtung des nachfolgenden Punktes zeigen (Abbil- dung 3.7,A3). Dazu wird eine Rotation der aktuellen z-Achse eines Frames auf das zugehörige Liniensegment ermittelt und der komplette Frame entsprechend rotiert.
Anschlieÿend werden für je zwei benachbarte Frames die aus der Deformation re- sultierenden Kräfte berechnet. Hierzu werden die Ruherotationen herangezogen, welche während der Generierung der Grundform erstellt wurden (Abschnitt 3.2) und die Lage zweier Frames zueinander in Ruhestellung beschreiben. Weichen die (zueinander ausgerichteten) Frames voneinander ab, folgt eine Annäherung der Frame-Achsen, um die Ruhelage wieder herzustellen. Das Ausrichten der Frames anhand von Federn (an den Achsenendpunkten) hat sich als zu instabil erwiesen um die gewünschte Steifheit des Kathetermodells zu erreichen. Die Integration der Kraftberechnung der Frames wurde deshalb gegen ein Contraint-basiertes Verfah- ren eingetauscht. Die Abweichung der Enden der zueinander gehörender Achsen zweier Frames wird ermittelt und daraus (über einen Steifheitsfaktor skalierte) Vektoren berechnet, welche die Achsen an den Mittelwert annähern (Abbildung 3.7, A4).
Eine entscheidende Änderung erfolgte in der Anpassung der Ruherotationen. Da der Katheter im Gegensatz zu Gefäÿen frei bewegt werden kann und nur an einem
Abbildung 3.7: Schematische Darstellung der Berechnungsschritte des Deforma- tionsverhalten anhand der Mittellinie mit den Kontrollpunkten (schwarz) und den lokalen Frames (rot). In einer ersten Umsetzung (A1 bis A6) erfolgt ein Abknicken des Modells beim Verschieben eines Kontrollpunktes durch eine externe Kraft (grün). Die Spitze (blau) bewegt sich nach mehreren Iterationen (A6) entgegengesetzt zur wirkenden Kraft (rosa). Nach einer Anpassung des Verfahrens (B1 bis B6) erfolgt nach mehreren Iterationen eine korrekte Aus- richtung des Modells (B6), die Spitze bewegt sich mit der Richtung der wirkenden Kraft
Ende (durch den Gefäÿzugang) xiert ist, müssen die Ruherotationen an die verän- derte Lage angepasst werden. Um die initiale Lage des Katheters zu beschreiben, muss ein Startvektor deniert werden, an dem der Frame (genauer die z-Achse) des letzten Punktes ausgerichtet und xiert wird. Dieser Startvektor entspricht der Eintrittsrichtung des Katheters in ein Blutgefäÿ. Da der Startvektor frei im Raum ausgerichtet sein kann, müssen die Ruherotationen angepasst werden. Dies geschieht über die Denition von Referenzpunkten. Jede Ruherotation wird mit Hilfe des nächsten (Richtung Katheterende gelegenen) Referenzpunktes ausgerich- tet. Dazu wird die Rotation zwischen dem Frame des Referenzpunktes in initialer und aktueller Lage ermittelt und auf die Ruherotationen angewendet. Dies führt zu einer Neuausrichtung der Ruherotationen von der Anfangslage auf die aktuelle
Position des Katheters. Als erster Referenzpunkt wird der xierte Endpunkt der Referenzpunktliste zugefügt, da er am Startvektor ausgerichtet ist.
Im nächsten Schritt wird der Frame jedes Kontrollpunktes durch Integration der Achsenverschiebungen neu ausgerichtet. Da die Abweichung für jede Achse einzeln ermittelt wird, muss der Frame anschlieÿend orthogonalisiert und normalisiert wer- den, damit er wieder ein kartesisches Koordinatensystem bildet.
Im letzten Schritt werden die Positionen der Kontrollpunkte mit Hilfe der verän- derten Frames angepasst (Abbildung 3.7, A5). Dazu wird vom xierten Ende des Katheters ausgehend jeder Punkt entlang der z-Achse des Nachfolgeframes mit dem denierten Punktabstand platziert (Längenbedingungen).
Es hat sich gezeigt, dass diese Berechnungsschritte allein nicht ausreichen um das Verhalten zu simulieren, das entsteht, wenn eine externe Kraft auf den Katheter einwirkt. Da das Modell nur an einem Ende xiert ist, führt eine Verschiebung eines Kontrollpunktes zu einer Bewegung der gesamten Katheterspitze. Eine Integration der lokalen Frames nach den genannten Schritten führt zu einem Abknicken des Kathetermodells in einem durch Krafteinwirkung verschobenen Punkt und einer Verzerrung der Grundform durch die veränderte Lage der Katheterspitze und somit falschen Ausrichtung der Ruherotationen (Abbildung 3.7, A1 bisA6).
Abbildung 3.8: Das am vorderen Ende xierte Modell in Ruhelage (links) wird durch Krafteinwirkung auf einen Kontrollpunkt (Pfeil) deformiert (rechts), die gesamte Katheterspitze wird bewegt und behält ihre gebogene Grundform.
Um das Abknicken des Katheters zu verhindern und die Kathteterspitze frei bewegen zu können, muss ein zusätzlicher Schritt eingefügt werden. Der Frame des Nachfolgepunktes, der von der Verschiebung seines Vorgängers betroen ist, wird zuerst neu ausgerichtet (Abbildung 3.7, B2) und alle nachfolgenden Punk- te neu platziert (Abbildung 3.7, B3). Erst danach erfolgt eine Berechnung der
Frame-Abweichungen und Neuausrichtung von Frames (Abbildung 3.7, B4) und Kontrollpunkten (Abbildung 3.7, B5).
Um die Ruherotationen an die veränderte Lage der Katheterspitze anzupassen, wird ein weiterer Referenzpunkt hinzugefügt: der Nachfolger des verschobenen Punktes. Die Frames der Punkte der Katheterspitze werden nun in Bezug auf den veränderten Frame des Referenzpunktes, welcher in Richtung des verschobenen Punktes zeigt, ausgerichtet.
Durch die beiden Anpassungen erfolgt eine Bewegung der gesamten Katheter- spitze (Abbildung 3.9). Das Modell kann durch externe Kräfte deformiert werden und kehrt nach Beenden der Krafteinwirkung in seine Ruhelage zurück.
Das Modell ermöglicht die Simulation der Deformation eines 7 cm langen Modells mit 10 Iterationen (Simulationsschritten) pro Frame bei einer Auösung (Kontroll- punktabstand) von 1 mm mit 50 FPS auf einem Intel Core I5 (3,4 GHz).
3.4.2. Kombination mehrerer Modelle
Um die Interaktion von Führungskatheter und Führungsdraht zu simulieren, bie- tet es sich an mehrere Modelle zu einem Kompositionsmodell zusammenzufassen ähnlich zu dem Ansatz von [20]. Da der Draht komplett in den Führungskatheter eingebettet ist, kann die aufwendige Kollisionsberechnung beider Modelle dadurch umgangen werden. Die Zusammenführung wurde umgesetzt, indem zwei Model- le auf eine einzelne Mittellinie aufgesetzt werden. Für diesen Ansatz werden die Kräfte beider Modelle jeweils nacheinander berechnet und auf die Mittellinie über- tragen.
Die Berechnungen, welche für einen Simulationschritt durchgeführt werden:
• Integration der Mittellinienpunkte
• Führungsdraht-Modell an die Mittellinie anpassen
• Deformationskräfte für Führungsdraht-Modell berechnen und integrieren
• Führungsdraht-Modell neu ausrichten
• Mittellinie an Führungsdraht-Modell anpassen
• Führungskatheter-Modell an die Mittellinie anpassen
• Deformationskräfte für Führungskatheter-Modell berechnen und integrieren
• Führungskatheter-Modell neu ausrichten
• Mittellinie an Führungskatheter-Modell anpassen
Durch das wiederholte Anpassen der Mittellinie anhand der aufgesetzten Mo- delle erfolgt eine wechselseitige Kraftverteilung. Die Biegung der Spitze des Füh- rungskatheters wird durch die zusätzlichen Kräfte des geraden Führungsdrahtes in Abhängigkeit zur Steifheit von Katheter und Draht verringert oder aufgehoben.
(Abbildung 3.9).
Abbildung 3.9: Die Interaktion von Führungskatheter und Führungsdraht. Der Katheter (grün) besitz eine (um 90 Grad) gebogene Spitze (oben).
Durch das Einführen des Führungsdrahtes (blau) wird die Biegung verringert (Mitte). Ein steiferer Draht führt zu einer stärkeren Re- duzierung der Biegung (unten).
3.4.3. Benutzerinteraktion
Intraoperativ kann während einer Katheterintervention die Position des Kathe- ters nur über Drehbewegungen und Vor- und Zurückziehen von Führungskatheter, Führungsdraht oder beidem verändert werden (Abschnitt 2.2).
Um das Vor- und Zurückbewegen umzusetzen, wurde der Simulationsumgebung
eine unverzweigte Gefäÿmittellinie zugefügt. Sie dient als Grundlage der (verein- fachten) Katheternavigation.
Als Startposition werden alle Kontrollpunkte im Startpunkt der Gefäÿmittelli- nie zusammengefasst und alle Frames anhand eines festgelegten Startframes gleich ausgerichtet. Die z-Achse des Startframes zeigt dabei in Richtung des ersten Gefäÿ- mittelliniensegmentes, die Rotation der x- und y-Achsen kann beliebig festgelegt werden. Das Modell wird von dieser Startposition ausgehend entlang der Gefäÿ- mittellinie bewegt.
Weil für die Simulation der Katheternavigation nur die Katheterspitze von Be- deutung ist, wird der Rest des Kompositionsmodells (von Katheter und Draht) an der Gefäÿmittellinie xiert und der Rechenaufwand für das Deformationsverhalten dadurch reduziert. Das Modell wird dazu in zwei Teile geteilt: die Katheterspitze wird bis zu einem festgelegten Kontrollpunkt (Fixpunkt) durch das physikbasierte Verfahren simuliert, alle nachfolgenden Punkte folgen dem Verlauf der Gefäÿmit- tellinie (Abbildung 3.10). Der Benutzer kann dabei durch Eingaben festlegen, wie weit die Spitze des Modells von der Gefäÿmittellinie gelöst wird. Die Position des Gesamtmodells kann nun über das Vor- und Zurückverschieben des Fixpunktes verändert werden, was einer gemeinsamen Bewegung von Katheter und Draht ent- spricht.
Abbildung 3.10: Die Kontrollpunkte des Kathetermodells (schwarz) werden bis zu einem denierten Punkt (Pfeil) an die Gefäÿmittellinie (rot) - xiert. Die Spitze (Kontrollpunkte links von der Markierung) wird anhand des Deformationsmodells simuliert.
Um ein einzelnes Modell zu bewegen, muss die Position des Modells auf der Modellmittellinie angepasst werden. Die Bewegungsweite wird dabei durch den Abstand der Kontrollpunkte vorgegeben, da ein Modell in Relation zu dem zwei- ten Modell verschoben wird und die Kontrollpunkte auf Grund der gemeinsamen Mittellinie deckungsgleich bleiben müssen. Anhand der Modellposition auf der Mittellinie wird zwischen zwei Szenarien unterschieden:
• Wird das Model verschoben, welches bis zur Spitze des Kompositionsmodells reicht, wird die gesamte Mittellinie und somit die Position des Fixpunktes bewegt. Die Position des zweiten Modells muss entsprechend angepasst wer- den.
• Wird das hintere Modell verschoben, muss nur seine Position auf der Mittel- linie angepasst werden.
Auf Grund der hohen Torsionssteife (Abschnitt 2.1) wird für das Modell eine perfekte Torsionskontrolle angenommen. Drehungen werden vom Katheterende di- rekt bis zur Spitze übertragen. Die Rotation eines einzelnen Modells erfolgt in zwei Schritten:
• Rotieren der Frames aller xierten Punkte um ihre lokalen z-Achsen, was einer Rotation um die Modellmittellinie entspricht
• Rotieren der beweglichen Punkte um den Nachfolger des Fixpunkt mit seiner z-Achse, was einer freien Rotation der beweglichen Katheterspitze entspricht Die Frames der frei beweglichen Kontrollpunkte müssen nicht angepasst werden, da der Frame des Fixpunktes als Referenzrotation für die Ausrichtung der Frames während der Deformationsberechnung dient.
3.5. Parallelisierung
Im Rahmen dieser Arbeit soll untersucht werden, inwieweit sich die Oberächen- synchronisation und das Simulationsmodell für Parallelberechnungen anpassen las- sen. Für Parallelberechnungen werden Rechenoperationen gleichzeitig auf mehre- ren Haupt- oder Grak-Prozessoren durchgeführt, mit dem Ziel regelmäÿig auf- gebaute Datensätze (Arrays) ezient zu bearbeiten und somit die Arbeitszeit zu verkürzen. Um eine parallele (gleichzeitige) Verarbeitung zu ermöglichen, müssen die Datensätze (Array-Einträge) unabhängig voneinander aktualisiert werden kön- nen.Die Parallelisierung des Oberächensynchronisation konnte umgesetzt werden.
Für die Parallelisierung des Simulationsmodells erfolgt eine theoretische Betrach- tung.
Die Implementierung erfolgte in OpenCL [23]. OpenCL ist ein oenes Framework zur Entwicklung von Programmen auf heterogenen Plattformen. Das Grundmodell einer OpenCL-Anwendung besteht aus einem Host, auf dem das Hauptprogramm ausgeführt wird und Devices, welche für die Berechnung der Kernel zuständig sind. Kernel sind (meist einfache) Funktionen, welche parallel auf dem Device aus- geführt werden und Eingabedaten in Ausgabedaten umwandeln (Abbildung 3.11).
Das Ausführungsmodell von OpenCL deniert dabei, wie Kernel erstellt und um- gesetzt werden: Ein Kernel-Programm wird auf dem Host erzeugt und auf ein oder mehrere Devices übertragen. Dabei wird ein Adressraum erzeugt und eine Instanz des Kernel-Programms (Work-Item) für jeden Adresseintrag ausgeführt.
Jedes Work-Item kann eindeutig über seine Position im Adressraum identiziert werden (Global-Id). Die Eingabedaten, welche durch das Kernel-Programm bear- beitet werden sollen, müssen vom Host in Form von Speicherobjekten (Memory Objects) auf den jeweiligen Device übertragen werden. Nach Beenden des Kernel- Programms können dann die Ergebnisse zurück auf den Host geladen werden.
Dabei muss beachtet werden, dass die Datenübertragung von Host zu Device (und zurück) relativ zeitintensiv sein kann und deswegen möglichst gering gehalten wer- den sollte.
Abbildung 3.11: Blockdiagramm der Komponenten des OpenCL-Modells mit den Programmablauf einer OpenCL-Anwendung [23]
3.5.1. Parallelisierung der Modellgenerierung
Die Oberächenmodelle (von Führungskatheter und Führungsdraht), welche zum Rendern benötigt werden, müssen nach jedem Simulationsschritt neu an die Verän- derte Lage der Modellmittellinie angepasst werden. Dazu müssen zuerst die Kur- venpunkte der geglätteten Mittellinie neu positioniert werden, danach erfolgt eine Neuausrichtung der Kreisprole. Beide Schritte werden für jeden Kurvenpunkt einzeln ausgeführt und können dadurch parallel berechnet werden.
Um die Position eines Kurvenpunktes zu bestimmen, wird die Abhängigkeit zu den vier Mittellinienpunkten, welche das zugehörige Kurvensegment denie- ren, benötigt (Abschnitt 2.4.1). Diese Abhängigkeiten können vorberechnet, in Arrays gespeichert und einmalig zu Beginn der Simualtion auf die GPU (Devi- ce) übertragen werden. Zur Aktualisierung nach einem Simulationsschritt werden dementsprechend nur die neuen Positionen der Mittellinienpunkte benötigt und als Speicherobjekt von der CPU (Host) auf die GPU geladen. Aus diesen Daten können durch ein Kernel-Programm nun die Positionen aller Kurvenpunkte paral- lel neu berechnet werden. Als Grundvorraussetzung für die Parallelisierung wird ein vollständiges Oberächenmodell pro Kathetermodell deniert, dessen Topo- logie sich im Verlauf der Simulation nicht ändert, um eine Neuübertragung der Abhängigkeiten zu vermeiden.
Kernel 1 kann somit zusammengefasst werden zu:
• Eingabe: Positionen der Kontrollpunkte, Abhängigkeiten der Kurvenpunkte von den Kontrollpunkten
• Berechnung pro Kurvenpunkt
• Ausgabe: Positionen der Kurvenpunkte (geglättete Mittellinie)
Um die Prole des Modells neu auszurichten, wird ein Stützvektor benötigt, welcher die Rotation eines Prols (und somit des Modells um seine Mittelachse) vorgibt. Die Ausrichtung der Prole erfolgt an den lokalen Frames der Mittellinien- punkte. Die Normalenrichtung eines Prols entspricht der z-Achse des zugehörigen Frames, welche in Richtung des nächsten Punktes ausgerichtet ist. Diese ist schon implizit gegeben, da die Positionen der Kurvenpunkte im ersten Schritt berechnet wurden. Es wird lediglich einer der Tangentialvektoren benötigt (x- oder y-Achse des Frames), um die Rotation des Prols anzupassen. Anhand der Daten können nun die Kreisprole aufgespannt werden, welches die Oberäche des Kathetermo- dells bilden. Die zum Rendern zusätzlich benötigten Oberächennormalen lassen sich leicht aus dem Abstandssvektor von Kurvenpunkt zu Oberächenpunkt be- rechnen.
Für Kernel 2 ergibt dies:
• Eingabe: Positionen der Kurvenpunkte, Radien der Kurvenpunkte, Stütz- vektoren der Kurvenpunkte
• Berechnung pro Kurvenpunkt
• Ausgabe: Oberächenpunkte und -normalen
Die Trennung der Berechnungen in zwei Kernel erfolgte, da eine Abhängigkeit der Daten vorliegt. Die Ausgabedaten des ersten Kernels (Positionen der Kurven- punkte) müssen vollständig vorliegen, da sie als Eingabedaten des zweiten Kernels verwendet werden. Die Ausführung von Kernel-Programmen garantiert keine ex- akt gleichzeitige Ausführung aller Kernel-Instanzen, durch die Trennung erfolgt somit eine Zwischensynchronisation der Daten.
Neben der Zeitersparnis durch die parallele Berechnung bietet die Implemen- tierung auf der GPU den Vorteil, dass das aktualisierte Oberächenmodell direkt von der GPU gerendert werden kann und somit (neben der Parallelisierung) eine zusätzliche Zeitersparnis ergibt. Die Datenübertragung von CPU zu GPU wird verringert, es müssen nach jedem Simulationsschritt nur die aktualisierten Mittel- linienpunkte und Stützvektoren übertragen werden im Gegensatz zu einer reinen CPU-Implementierung bei der die gesammten Oberächenpunkte und -normalen auf die GPU geladen werden müssten.
3.5.2. Parallelisierung der Simulationsberechnungen
Die Umsetzung der Parallelisierung der Simulationsberechnungen konnte im Rah- men dieser Arbeit nicht umgesetzt werden. Das Verfahren zur Deformationsbe- rechnung stellt in seiner aktuellen Form nur einen Ansatz dar, es muss für die Simulation endovaskulärer Eingrie noch erweitert werden (Abschnitt 5). Anhand der Struktur der Berechnungen lässt sich jedoch folgern, das eine Parallelisierung des Deformationsmodells durchaus sinnvoll wäre. Die Integration der Mittellini- enpunkte erfolgt für jeden Punkt einzeln und ist somit gut für eine parallele Be- rechnung geeignet. Als Eingabe könnte ein Array von Vektoren verwendet werden, welches aus den externen Kräften pro Kontrollpunkt (resultierend aus der Kol- lision mit Gefäÿwänden) besteht. Auch die Ausrichtung der lokalen Frames und Integration der Frame-Kräfte erfolgt für jeden Kontrollpunkt unabhängig und kann somit parallelisiert werden. Einzig die Neuausrichtung der Kontrollpunkte durch die verschobenen Frames ist für eine parallele Berechnung ungeeignet, da die neue Position jedes Punktes von seinem Vorgänger abhängt. Allerdings wäre es mög- lich, die Neuplatzierung über einen Kernel mit einer einzigen Instanz auch auf
der GPU iterativ durchzuführen. Es müsste jedoch untersucht werden, inwieweit sich die Zeitersparnis durch die Parallelisierung in Relation zum Zeitaufwand der Datenübertragung von Host zu Device verhält.
4. Zusammenfassung
In dieser Arbeit wurde ein Ansatz für die Simulation endovaskulärer Eingrie vor- gestellt. Es konnte gezeigt werden, dass das Verfahren zur Simulation von Gefäÿen auf die Simulation von Gefäÿkathetern angepasst werden kann und gut für eine Echtzeit-Simulationsumgebung geeignet ist.
Die Generierung von Kongurationen wurde erläutert. Dazu wurde eine Parame- trisierung deniert, welche das Erzeugen beliebiger Grundformen ermöglicht. Aus den Kongurationen können Modelle erzeugt werden, welche anhand des physikba- sierten Simulationsverfahrens deformiert werden. Die Benutzerinteraktion konnte umgesetzt werden und es wurde gezeigt, dass das Simulationsverfahren die Inter- aktion zweier Kathetermodelle ermöglicht.
Es erfolgte eine Betrachtung zur Parallelisierung der Oberächensynchronisation und des Simulationsmodells, wobei gezeigt werden konnte, dass der Zeitaufwand für die Oberächenanpassung reduziert werden kann.
5. Ausblick
Die Parametrisierung der Katheterdaten bildet die Grundlage der Simulationsum- gebung. Der Aufbau einer umfangreichen Katheterdatenbank ist notwendig, um den Ansprüchen an eine einsatzbereite Simulationsumgebung gerecht zu werden.
Es muss untersucht werden, inwieweit Daten aus vorhandene Datenbanken über- tragen werden können, um die Datenerfassung zu vereinfachen. Zusätzlich können Messverfahren auf ihre Eignung zur Erfassung der physikalischen Eigenschaften von Führungskathetern und -drähten getestet werden.
Die Simulation muss um eine Kollisionserkennung und -behandlung erweitert werden. In einem ersten Schritt sollte eine Kollisionsbehandlung mit statischen Gefäÿwänden erfolgen. Ein wichtiges Ziel ist danach das Zusammenführen von Katheter- und Gefäÿsimulation in einer einzigen Simulationsumgebung. Die Inter- aktion von Katheter und dynamischen Gefäÿwänden stellt einen wichtigen (und bisher vernachlässigten) Schwerpunkt in der realistischen Simulation endovasku- lärer Eingrie. Da beide Verfahren auf dem gleichen Grundmodell basieren, kann untersucht werden, inwieweit sich die Betrachtungen zur Parallelisierung der Be- rechnungen auf die Gefäÿsimulation anwenden lassen.
Um eine wirklichkeitsnahe Abbildung zu erzeugen, bietet es sich an, das Rende- ring der virtuellen Szene auf die Darstellungsformen medizinischer Bilderfassung anzupassen (z.B. Röntgen-Shading). Dazugehörend sollte getestet werden, wie eine Umsetzung der Simulation von Kontrastmittel realisiert werden kann (z.B. über Partikelsimulation).
Nachdem die genannten Erweiterungen vorgenommen wurden, sollte eine umfas- sende Evaluierung durch Anwender erfolgen. Wichtig ist dabei die Bewertung der Wirklichkeitstreue der Simulationsumgebung und der Bedienbarkeit. Die Bewer- tung sollte von erfahrenen Ärzten erfolgen, welche das Verhalten der Simulation mit realen Szenarien vergleichen können. Eine Evaluierung macht jedoch erst Sinn, nachdem die genannten Erweiterungen in die Simualtionsumgebung integriert sind.
Anhang
A. XML-Datensatz eines Katheters
<?xml version=1.0 ?>
<Root>
<PhysMaterial>
<Material name=M01 id=1 stiness=2 mass=0.02 />
</PhysMaterial>
<VisMaterial>
<Material name=blue id=1 r=0 g=128 b=192 />
</VisMaterial>
<Daten>
<Katheter>
<Name>Guiding Catheter</Name>
<Hersteller>ACME</Hersteller>
<Bild></Bild>
<Abschnitt length=2 curvature=0 outerdiameter=0 innerdiameter=0 physMaterial=1 visMaterial=1 />
<Abschnitt length=20 curvature=10 outerdiameter=0 innerdiameter=0 physMaterial=1 visMaterial=1 />
<Abschnitt length=10 curvature=-30 outerdiameter=0 innerdiameter=0 physMaterial=1 visMaterial=1 />
<Abschnitt length=2 curvature=50 outerdiameter=0 innerdiameter=0 physMaterial=1 visMaterial=1 />
<Abschnitt length=20 curvature=45 outerdiameter=0 innerdiameter=0 physMaterial=1 visMaterial=1 />
<Abschnitt length=4 curvature=122 outerdiameter=0 innerdiameter=0 physMaterial=1 visMaterial=1 />
<Abschnitt length=2 curvature=0 outerdiameter=0 innerdiameter=0 physMaterial=1 visMaterial=1 />
<Abschnitt length=16 curvature=88 outerdiameter=0 innerdiameter=0 physMaterial=1 visMaterial=1 />
</Katheter>
</Daten>
</Root>
Abbildungsverzeichnis
2.1. Innerer Aufbau eines Führungskatheters . . . 8 2.2. Zwei unterschiedliche Kongurationen eines Führungskatheters in
verschiedenen Gröÿenausführungen . . . 9 2.3. Konguration des Katheters (blau) in Abhängigkeit der Abgangs-
konguration der Koronaraterie (a) horizontal (b) superior (c) infe- rior . . . 10 2.4. Ein Segment eines Catmull-Rom-Splines (grün) deniert über die
Punkte C1 bis C4 mit den dazugehörigen Tangenten (gepunktet) und zwei angrenzenden Segmenten (rot) . . . 12 2.5. Catmull-Rom-Splinesegment (links) und das äquivalenten Bezier-
Splinesegments (rechts) mit den jeweiligen Kontrollpunkten . . . 14 2.6. 2D-Ansicht eines vereinfachten Blutgefäÿes (grün), der zugehörigen
Mittellinien (rot) und der lokalen Radien (gepunktet) . . . 17 2.7. Berechnung des Deformationsverhaltens der Mittellinie anhand lo-
kaler Frames in den aufeinanderfolgenden Berechnungsschritten A bis E [4] . . . 18 3.1. Verpackungsbeschriftung eines Katheters mit Durchmesser- und Län-
genangaben . . . 21 3.2. Die Benutzeroberäche des Programms zur Erfassung der Daten
eines Katheters . . . 22 3.3. Zerlegung der Konguration einer Führungskatheterspitze in Krüm-
mungsabschnitte (rot, grün und blau) mit zwei markierten Segmen- ten, deniert über die Winkelα1 undα2 und den zugehörigen Kreis- längen l1 und l2, und den zugehörigen Kontrollpunkten . . . 23 3.4. Die Kontrollpunkte (schwarz) mit den Koordinatenachsen X, Y und
Z (rot, grün und blau) der zugehörigen Frames (links) und das zu- gehörige Oberächenmodell (rechts) . . . 24 3.5. Die Mittellinie mit den entsprechenden Kontrollpunkten (schwarz)
und die zugehörige Spline-Kurve mit drei erzeugten Kurvenpunkten pro Segment (rot) . . . 24 3.6. Oberächenmodell, ungeglättet (links) und geglättet mit drei zu-
sätzlichen Kurvenpunkten pro Segment (rechts) . . . 25
3.7. Schematische Darstellung der Berechnungsschritte des Deformati- onsverhalten anhand der Mittellinie mit den Kontrollpunkten (schwarz) und den lokalen Frames (rot). In einer ersten Umsetzung (A1bisA6) erfolgt ein Abknicken des Modells beim Verschieben eines Kontroll- punktes durch eine externe Kraft (grün). Die Spitze (blau) bewegt sich nach mehreren Iterationen (A6) entgegengesetzt zur wirkenden Kraft (rosa). Nach einer Anpassung des Verfahrens (B1 bis B6) er- folgt nach mehreren Iterationen eine korrekte Ausrichtung des Mo- dells (B6), die Spitze bewegt sich mit der Richtung der wirkenden Kraft . . . 27 3.8. Das am vorderen Ende xierte Modell in Ruhelage (links) wird
durch Krafteinwirkung auf einen Kontrollpunkt (Pfeil) deformiert (rechts), die gesamte Katheterspitze wird bewegt und behält ihre gebogene Grundform. . . 28 3.9. Die Interaktion von Führungskatheter und Führungsdraht. Der Ka-
theter (grün) besitz eine (um 90 Grad) gebogene Spitze (oben).
Durch das Einführen des Führungsdrahtes (blau) wird die Biegung verringert (Mitte). Ein steiferer Draht führt zu einer stärkeren Re- duzierung der Biegung (unten). . . 30 3.10. Die Kontrollpunkte des Kathetermodells (schwarz) werden bis zu
einem denierten Punkt (Pfeil) an die Gefäÿmittellinie (rot) xiert.
Die Spitze (Kontrollpunkte links von der Markierung) wird anhand des Deformationsmodells simuliert. . . 31 3.11. Blockdiagramm der Komponenten des OpenCL-Modells mit den
Programmablauf einer OpenCL-Anwendung [23] . . . 33
