In der Vorlesung haben wir u.a. die folgenden drei Grundgleichungen des Sternaufbaus kennen gelernt:

Einf¨ uhrung in die Theoretische Astrophysik

WS 18/19 Hausaufgabenblatt II Abgabe bis 15.11., 14:00 Uhr

In der Vorlesung wurden die Grundgleichungen des Sternaufbaus entwickelt, dessen Folgerungen auf diesem Hausaufgabenzettel betrachtet werden sollen. Insbesondere soll dabei die Lane-Emden- Gleichung untersucht werden, aus welcher sich analytisch l¨ osbare Modelle des Sternaufbaus er- geben.

Aufgabe 4:

In der Vorlesung haben wir u.a. die folgenden drei Grundgleichungen des Sternaufbaus kennen gelernt:

(I) dP

dr = − GM _r ρ

r ² ; (II ) dM _r

dr = 4πr ² ρ ; (V a) P = Kρ ^γ ; K = const.

Robert Emden’s (1862 – 1940) Hauptwerk ist das Buch ‘Gasku- geln - Anwendungen der mechanischen W¨ armetheorie auf kosmologische und meteorologische Proble- me.’

(a) Leiten Sie aus diesen Gleichungen folgende Differentialgleichung f¨ ur die Dichte her:

d dr

Kγr ² ρ ^γ−2 dρ dr

= −4πGr ² ρ

(b) Transformieren Sie diese Gleichung nun gem¨ aß der drei folgen- den Substitutionen:

(i) x = ρ

ρ ₀ ; ρ ₀ = ρ(r = 0) (ii) x = Θ

= Θ ⁿ

(iii) ξ = r

α ; α = s

K(n + 1)ρ

1 n

−1 0

4πG so dass Sie die Lane-Emden-Gleichung 1

ξ ² d dξ

ξ ² dΘ

dξ

= −Θ ⁿ erhalten.

(c) Interpretieren Sie die zur Lane-Emden-Gleichung geh¨ orenden Randbedingungen, n¨ amlich:

Θ(ξ = 0) = 1 und dΘ dξ

ξ=0 = 0.

Aufgabe 5:

Die Lane-Emden-Gleichung ist f¨ ur einige n analytisch l¨ osbar:

(a) Bestimmen Sie die L¨ osung f¨ ur n = 0.

(b) Bestimmen Sie die L¨ osung f¨ ur n = 1. Hinweis: Die Substitution Θ(ξ) = Ψ(ξ)/ξ ist hilfreich.

(c) Interpretieren Sie die berechneten L¨ osungen hinsichtlich des Dichteverlaufs im Stern.

Aufgabe 6:

In dieser Aufgabe sollen unter Anwendung weiterer, physikalischer Grundgleichungen (wie der Newtonschen Bewegungsgleichung oder dem Virialsatz) einige charakteristische Zeitskalen der Sonne bestimmt werden.

(a) Die Freifallzeitskala

τ F =

s 3 4π G ρ _∗

gibt an, welche Zeit ein Stern der mittleren Massendichte ρ _∗ im freien Fall zum Kollabieren ben¨ otigt.

Leiten Sie die Zeitskala her und berechnen Sie τ _F f¨ ur die Sonne (ρ = 1, 4 g cm ⁻³ ).

Sch¨ atzen Sie die dabei auftretenden Differentialausdr¨ ucke durch ihre charakteristischen Gr¨ oßen ab – wie aus der Vorlesung bekannt.

(b) Ermitteln Sie die Schallzeitskala τ _S f¨ ur die Sonne (T = 10 ⁶ K, R = 7 · 10 ⁸ m) und ver- gleichen Sie diese mit τ _F . Mittels τ _F und τ _S l¨ asst sich die Schwingungszeitskala der Sonne absch¨ atzen. Kann diese die beobachteten 5-Minuten-Oszillationen der Sonne erkl¨ aren?

(c) In (nicht-statischen) Teilchensystemen werden st¨ andig potentielle und kinetische Energie ineinander umgewandelt. Dabei l¨ asst sich zeigen, dass im Mittel −E _pot = 2 E _kin , das sogenannte Virialtheorem, welches aus der klassischen Mechanik bekannt sein sollte.

Begr¨ unden Sie damit, wie sich die bei einer gravitativen Kontraktion eines Sterns abge- strahlte Energie zu

E _rad = 3 10 G M _∗ ²

R _∗

ergibt. Sch¨ atzen Sie anschließend die maximale Kontraktionszeitskala (oder auch Helmholtz-

Kelvin-Zeitskala) τ _HK eines Sterns der Leuchtkraft L _∗ ab. Bestimmen Sie τ _HK f¨ ur die

Sonne und vergleichen Sie diese Zeitskala mit dem Mindestalter der Sonne.