Hutzenthaler/L¨ohr Wintersemester 2014/15
Ubungen zur Vorlesung ¨ Stochastische Differentialgleichungen
Ubungsblatt 9¨
L´ evys Charakterisierung & Explizit l¨ osbare SDEs
Sei (Wt)t≥0 eine standard Brown’sche Bewegung.
Aufgabe 9.1 (L´evys Charakterisierung der Brown’schen Bewegung). (4 Punkte) Betrachte
Bt:=
Z t
0
1{W
s6=0}
Ws
|Ws| dWs, t≥0.
Zeige, dass (Bt)t≥0 eine standard Bron’sche Bewegung ist.
Aufgabe 9.2. (4 Punkte)
Betrachte f¨ur b, x0 ∈Rdie stochastische Differentialgleichung dXt = 1+2tXt+b(1 +t)2
dt+b(1 +t)2dWt, X0 =x0. Zeige, dass durch
Xt:= (1 +t)2x0+b(1 +t)2(Wt+t), t≥0 eine L¨osung gegeben ist.
Hinweis:Verwende die zeitabh¨angige Itˆo-Formel.
Aufgabe 9.3 (Ornstein-Uhlenbeck Prozess). (4 Punkte) Betrachte f¨ur σ >0 undx0 ∈R die stochastische Differentialgleichung
dXt = −Xtdt+σdWt, X0 = x0. (1)
(a) SeiX = (Xt)t≥0 eine L¨osung von (1). Gib eine explizite Darstellung f¨urX an, die keine stochastischen Integrale enth¨alt.
Hinweis: Wende die zeitabh¨angige Itˆo-Formel an, um etXt zu ,,berechnen”.
(b) Benutze die Darstellung aus (a) um nachzurechnen, dass (1) tats¨achlich eindeutig l¨osbar ist.
(c) Sei wieder (Xt)t≥0 die L¨osung. Zeige, dass Xt f¨ur alle t ≥ 0 normalverteilt ist und bestimme Varianz und Erwartungswert f¨ur alle t≥0.
Abgabe Di, 16.12. am Anfang der ¨Ubungsstunde
