Andr´eFuhrmann DL-Theorien Theoriendes¨Uberzeugungswandels

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Theorien des ¨ Uberzeugungswandels

Zweiter Teil:

DL-Theorien

Andr´ e Fuhrmann

epistemDynamik2 090623.1801

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Ubersicht ¨

(Erster Teil) Epistemische Rechtfertigung

· Synchronische versus diachronische Rechtfertigung

· Das grundlegende Problem diachronischer Rechtfertigung AGM klassisch

· Die klassische Theorie der ¨Uberzeugungsdynamik: AGM

· Postulate f¨ur Kontraktionen und Revisionen

· Der Ramsey Test f¨ur kontrafaktische Konditonals¨atze

· Meet contractions

· Sph¨arensysteme

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Zweiter Teil AGM als Modallogik

· AGM und Elementare Dynamische Aussagenlogik (EPDL)

· Dynamische Doxastische Logic (DDL)

· Dynamische Epistemischen Logik (DEL) Anhang ¨uber Bisimulation

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AGM und EPDL

Einen Satz wie

A ∈ K ∗ B lesen wir so:

Nachdem K seine ¨Uberzeugungen nach B revidiert hat, glaubt er A

Die LF des Satzes kann auf verschiedene Weise analysiert werden. Eine, recht nat¨urliche, sieht so aus:

• Ein Satz A steht

• im Skopus eines epistemischen Operators und dieser wiederum

• im Skopus eines Handlungsoperators, der mit einem Satz B parametrisiert ist.

Das deutet auf folgende Kombination hin:

• Epistemische Logik (mit Glaubensoperator B) und

• Dynamische Logik (mit Programmoperatoren [a₀],[a₁],[a₂], . . . )

• jedes Programm a_i von der Form ∗hF ormeli (d.i. Revision) oder −hF ormeli (d.i.

Kontraktion).

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Dynamische Logik (Erinnerung)

Multimodale Logik ist eine Verallgemeinerung der Modallogik mit unären Modalitä- ten [a_i] (i ∈ N), die jede durch eine binäre Relation R_i auf W × W modelliert wird.

Elemantare Dynamische Logik (EPDL) ist eine multimodale Logik unter der Stan- dardinterpretation, daß f¨ur jeden Operator [a] der Index a f¨ur eine Handlung (ein Pro- gramm) steht.

[a]B

soll dann bedeuten, daß B nach jedem Ablauf von a wahr ist. (Und haiB soll bedeuten, daß es Abl¨aufe von a gibt, nach denen B wahr ist.)

Dynamische Logik im eigentlichen Sinne erlaubt es, Resultate komplexer Programme zu beschreiben. Die Komplexit¨at wird erzeugt durch

· Verkettung: [a;b]C – b gefolgt von a resultiert immer in C.

· Auswahl: [a ∪ b]C – a und b resultieren immer in C.

· Loop: [^∗a]C – Beliebige (endliche) Wiederholung von a resultiert immer in C.

Es stellt sich heraus, daß nur Loop eine echte Erweiterung von EPDL ist. Loop wird im folgenden nicht betrachtet: Wir bleiben also im Bereich elementarer DL.

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Dynamische Doxastische Logic (DDL)

... the driving idea of DDL is that formulæ such as [∗A]B are used to express doxastic actions on the same linguistic level on which also the arguments and the outcomes of these doxastic actions are expressed. Since DDL is furthermore motivated by the strong analogy of the operators [∗A] with standard modal operators, the intended semantics of DDL will be a possible worlds semantics ... Leitgeb & Segerberg (2007), 169.

Erste Versuche: Fuhrmann (1988, 1989), van Eick (199?), van Benthem (1994).

Vorteile von DDL gegen¨uber AGM:

• DDL ist in gutem Sinne ausdrucksst¨arker als AGM.

· Zum Beispiel: B[∗A]BB — (B ∈ K ∗ A) ∈ K ??

• DDL ist in gutem Sinne ausdruckschw¨acher als AGM.

· Die Notation A ∈ K ∗B täuscht vor, daß der Parameter K genauso variiert werden kann wie A und B. Tatsächlich ist das eine “leere” Möglichkeit, da AGM über solche Variationen nichts zu sagen hat.

/...

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.../

• DDL gibt weiterreichende beweistheoretische Kontrolle ¨uber Aussagen betreffend Uberzeugungs¨¨ anderungen.

· Zum Beispiel regieren die logischen Gesetze f¨ur B auch Formeln wie B[∗A]BB.

• DDL erlaubt die Anwendung semantischer Theorien aus der Modallogik.

Vorsicht:

• Der Ramsey-Test

A > B ∈ K ⇔ B ∈ K ∗ A trivialisiert die AGM Theorie.

• Kein Schema der Form

BC(A, B) ↔ [∗A]BB

(f¨ur alle A und B) darf also Theorem von DDL sein, wenn DDL ¨Ubersetzungen der AGM-Postulate Preservation und Consistency enthalten soll. (C(A, B): eine Formel C mit Teilformeln A und B.)

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Einfachste DDL (Leitgeb & Segerberg 2007.)

• Nur “faktische” ¨Uberzeugungen

• Uberzeugungs¨¨ anderungen nur im Hinblick auf faktische Aussagen.

Syntax

ATM seien die atomaren Aussagen einer Sprache, FKT seien die faktischen Aussagen, FML die Formeln, so definiert:

1. ATM ⊆ FKT.

2. Wenn A, B ∈ FKT dann ist jede Boolesche Verkn¨upfung von A und B in FKT.

3. FKT ⊆ FML.

4. Wenn A ∈ FKT, dann BA,KA ∈ FML.

5. Wenn A ∈ FKT und B ∈ FML, dann [A]B ∈ FML.

6. [−A]B := B ∧ [∗¬A]B (“Harper”).

Anmerkung: Der Wissensoperator K soll nicht revidierbare ¨Uberzeugungen wiedergeben.

(Also das, was zum “Urkorpus” (Levi) geh¨ort; bei AGM ist Cn(∅) das Urkorpus.)

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Axiome

Kleinste Erweiterung der klassischen Aussagenlogik so, daß f¨ur 2 ∈ {B,K,{[∗A] : A ∈ FKT}}, h∗Ai := ¬[∗A]¬ :

2(A ∧ B) ↔ (2A ∧ 2B) 2>

A ↔ B 2A ↔ 2B Ferner:

K(A → B) → ([∗C]BA → [∗C]BB) (redundant) Closure

[∗A]BA Success (r2)

[∗>]BA → BA Inclusion (r3)

¬B⊥ → (BA → [∗>]BA Preservation (r4)

[∗>]B⊥ → K¬A Consistency (r5)

K[A ↔ B] → [∗A]BC ↔ [∗B]BC Congruence (r6)

[∗(A ∧ B)]BC → [∗A]B(B → C) Supp.1 (r7)

¬[∗A]B¬B → ([∗A]B(B → C) → [∗(A ∧ B)BC]) Supp.2 (r8)

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Sowie:

h∗AiB ↔ [∗A]B (Funktion)

KA → BA (KB)

KA ↔ [∗B]KA (K*K)

Wir nennen das so definierte System BDD (“Basis Doxastic Dynamics”).

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Semantik

Die Idee ist recht einfach: Wir fassen BDD als eine multimodale Logik auf. Dann erwarten wir f¨ur jeden Operator 2ⁱ eine Interpretation der Art:

x |= 2ⁱA gdw ∀y : R_ixy ⇒ y |= A Im uns interessierenden Fall hat 2 Struktur: [∗B].

• Die Theoreme von BDD werden aufgrund dieser Struktur bestimmt;

• also muß in der Semantik die zu 2 passende Relation R diese Struktur wiedergeben, irgendwie so:

x |= [∗B]A gdw ∀y : R_[B]xy ⇒ y |= A, wobei [B] eine die Formel B repr¨asentierende Proposition ist.

• Lösung: Wir adaptieren die Sphärenmodelle für AGM.

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(Im folgenden nehmen wir an, daß die Grundmengen W unter Vereinigung und end- lichem Schnitt abgeschlossen sind.)

Ein Sph¨arensystem S in W ist eine Mengenfamilie in W [6= ∅] so, daß 1. wenn S eine nichtleere Menge in S ist, dann T

S ∈ S;

2. S ist vollst¨andig geordnet unter ⊆ (d.h. ∀S₁, S₂ ∈ σ : entweder S₁ ⊆ S₂ oder S₂ ⊆ S₁).

3. ∀P ⊆ W: wenn P 6= ∅, dann gibt es eine kleinste Sph¨are S ∈ S mit P ∩ S 6= ∅ (Notation min(S • P), s.u.).

Eine Revisionsstruktur (W,Σ, R_P_:P_⊆W) besteht aus

• einer nichtleeren Menge W,

• einer Menge Σ von Sph¨arensystemen in W,

• f¨ur jede Menge P ⊆ W (“Proposition”) eine Relation R_P ⊆ Σ × Σ.

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• Bedingungen:

Sei S • P = {S ∈ S : S ∩ P 6= ∅}

(Menge aller P-Sph¨aren; falls S • P =, dann ist P in S“nicht vorstellbar”, d.h. ¯P ist im Urkorpus).

1. Wenn R_PSS⁰, dann T

S⁰ =

P ∩ min(S • P), falls (S • P) 6= ∅

{∅} anderenfalls. (Revision)

2. W \ S

S = W \ S

S⁰ (∀S, S⁰ ∈ Σ). (Sph¨arensysteme groß genug.) 3. ∀S∃S⁰ : RSS⁰. (Revisionen immer m¨oglich.)

4. Wenn RSS⁰ und RSS⁰⁰, dann S⁰ = S⁰⁰. (Revisionen eindeutig bestimmt.)

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Ein Modell ist eine Revisionsstruktur mit einer Bewertung V der atomaren Formeln.

• Wahrheit in einem Modell (relativ zu einem Sph¨arensystems an einem Punkt):

S, w |= P gdw w ∈ V (P), usw. f¨ur ¬, ∧, etc.

S, w |= BA gdw \

S ⊆ [A], S, w |= KA gdw [

S ⊆ [A],

S, w |= [∗A]B gdw S⁰, w |= B, wenn R_[A]SS⁰.

• G¨ultig in einem Modell: Wahr relativ zu allen Paaren (S, w).

Theorem (Segerberg 2005). Eine Formel A ist gd beweisbar in BDD, wenn A in allen Modellen g¨ultig ist.

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Dynamische Epistemische Logik (DEL)

Wie DDL sitzt DEL auf einer epistemischen Logik auf. Im Gegensatz zu DDL ist der wichtige epistemische Operator in DEL nicht ein Glaubens-, sondern ein Wissensoper- ator, K. F¨ur diese Wahl gibt es einen Grund, den wir gleich kennenlernen werden.

Auf eine Kurzformel gebracht, ist DDL = DL + DL, d.h. Dynamische Logik (mit Revisionsprogrammen) auf einer doxastischen (Glaubens-) Logik.

Ahnlich ist DEL = DL + EL: Dynamische Logik (mit Expansionsprogrammen) auf¨ einer epistemischen (Wissens-) Logik.

Die Kurzformel zeigt an, daß DEL deutlich weniger ambitioniert ist als DDL: Sie be- handelt den einfachsten Fall von epistemischer Dynamik, nämlich Expansionen, und beginnt gleich mit starken Annahmen über epistemische Zustände, nämlich daß sie veridisch sind.

Genauer gesagt, kombiniert DEL eine multimodale Wissenslogik mit der Logik ¨offent- licher Verlautbarungen (Public Announcement Logic, PAL). Letzteres ist die dynamische Komponente von DEL.

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Literaturhinweise

[1] Alexandru Baltag and Lawrence S. Moss. Logics for Epistemic Programs. Synthese, 139:165–224, 2004.

[2] Alexandru Baltag, Lawrence S. Moss, and Slawomir Solecki. The logic of public announcements, common knowledge, and private suspicions. In TARK ’98: Pro- ceedings of the 7th conference on Theoretical aspects of rationality and knowledge, pages 43–56, San Francisco, CA, USA, 1998. Morgan Kaufmann Publishers Inc.

[3] Johan van Benthem. Dynamic logic for belief revision. Journal of Applied Non- Classical Logics, 14:1–26, 2004.

[4] Hans van Ditmarsch, W. van der Hoek, and B. P. Kooi. Playing Cards with Hintikka:

An introduction to dynamic epistemic logic. The Australasian Journal of Logic, 3:108–134, 2005.

[5] Hans van Ditmarsch, Wiebe van der Hoek, and Barteld Kooi. Dynamic Epistemic Logic. Springer, Dordrecht, 2008.

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Sprache und Modelle

ATM seien die atomaren Aussagen (p, q, r, ...) einer Sprache. Es sei I eine (nichtleere und abz¨ahlbare) Indexmenge (= “Wissenssubjekte”). Die Menge FML der Formeln definieren wir so:

1. ATM ⊆ FML.

2. Jede Boolesche Verkn¨upfung von Formeln ist eine Formel.

3. F¨ur alle A ∈ FML und i ∈ I ist K_iA ∈ FML.

4. F¨ur alle A, B ∈ FML ist [A]B ∈ FML.

5. Das ist alles.

Die Idee ist folgende:

◦ K_iA soll ausdr¨ucken, daß Subjekt i weiß, daß A.

◦ Eine Formel [A]B soll ausdrücken, daß B der Fall ist, nachdem A wahrheitsgemäß verkündet wurde.

Also soll zB eine Formel wie [A]KA in unseren Modellen g¨ultig werden. (Wir schreiben schematisch KA wo immer ein beliebiger Index erg¨anzt werden kann.)

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Ein epistemisches Modell sieht so aus:

M = (S,∼_i∈I, V ).

S ist eine nichtleere Menge von Punkten (Welten, “states”);

jedes ∼_i ist eine Aquivalenzrelation¨ (transitiv, symmetrisch und reflexiv) zwischen Punk- ten;

V verteilt Atome ¨uber Punkte.

Dann ...

M, s |= p gdw s ∈ V (p) . . .

M, s |= KA gdw ∀t ∈ S : wenn s ∼ t, dann M, t |= A M, s |= [A]B gdw wenn M, s |= A, dann M_A, s |= B.

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Das Modell M_A in der letzten Bedingung ist die Einschr¨ankung von M auf A-Punkte.

D.h. wenn M = (S,∼, V ), dann M_A = (S_A,∼_A, V_A) mit S_A = {s ∈ M : s |= A},

∼_A= ∼ ∩ (S_A × S_A), V_A = V ∩ (ATM × S_A).

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Frage: Warum ist ∼ eine ¨Aquivalenzrelation?

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Frage: Warum ist ∼ eine ¨Aquivalenzrelation?

Antwort: Dadurch wird K zu einer S5-Modalität. Das gilt als guter und besonders einfacher Kandidat für die Repräsentation von Wissen. Insbesondere gilt dann aufgrund der Reflexivität von ∼, daß KA → A — was für Glauben natürlich nicht gilt!

(Wir schreiben gelegentlich es f¨ur die ¨Aquivalenzklasse eines Punktes s unter der Relation

∼.)

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Frage: Warum statt

M, s |= [A]B gdw wenn M, s |= A, dann M_A, s |= B nicht die einfachere Bedingung

M, s |= [A]B gdw wenn M, s |= A, dann M, s |= B ?

Denn M_A ist doch gerade die Beschr¨ankung auf A-Punkte, die im Antezedent der rechten Seite schon ausgedr¨uckt ist.

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Frage: Warum statt

M, s |= [A]B gdw wenn M, s |= A, dann M, s |= B ?

Denn M_A ist doch gerade die Beschr¨ankung auf A-Punkte, die im Antezedent der rechten Seite schon ausgedr¨uckt ist.

Antwort: Wenn B in dieser Klausel eine nichtepistemische Formel ist, zB ein Atom p, dann ist die rechte Seite ¨aquivalent zu

wenn M, s |= A, dann M, s |= p.

Denn s ist ja genau dann in M_A, wenn s |= A in M.

Bei der Betrachtung epistemischer Formeln kommen die ∼-Partitionen ins Spiel. Genau die können sich aber beim Übergang von M zu M_A—also beim Wegschneiden der A- Punkte—ändern (siehe die Illustration oben). Hier ist ein Beispiel:

Sei B die Formel KA; A kann wahr und KA falsch sein in (M, s). In (M_A, s) hat KA jedoch keine Chance falsch zu sein: Denn in M_A enth¨alt die Partion, die in M

¬A-Punkte zuließ, nur noch A-Punkte!

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Frage: Warum statt

M, s |= [A]B gdw M_A, s |= B ?

(Also B ist gd wahr in s nach Ansage A, wenn B in s wahr ist, nachdem die nicht- A-Punkte weggeschnitten wurden? Das Wegfallen der nicht-A-Punkte ist ja der Effekt der Ansage.)

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Frage: Warum statt

M, s |= [A]B gdw M_A, s |= B ?

(Also B ist gd wahr in s nach Ansage A, wenn B in s wahr ist, nachdem die nicht- A-Punkte weggeschnitten wurden? Das Wegfallen der nicht-A-Punkte ist ja der Effekt der Ansage.)

Antwort: s könnte ein ¬A-Punkt sein. In dem Fall wäre s /∈ S_A und also |= für (M_A, s) nicht definiert. Deshalb erst der Test: M, s |= A? Falls nein, dann gilt M, s |= [A]B trivialerweise; anderenfalls gehen wir weiter zu M_A.

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Die letzte Frage macht zwei Beschr¨ankungen von DEL deutlich.

1. Falsche Ansagen trivialisieren.

2. Ansagen l¨osen nur Expansionen, keine Revisionen aus.

Ad 1) Nach Ansage von etwas Falschem, ist beliebiges der Fall:

¬A → [A]B.

Die Theorie hat über falsche Ansagen (Lügen oder Irrtümer) nichts interessantes zu sagen. Aufgrund von

KA → A T.

gilt somit ¨ubrigens auch, daß “knowledge-contravening announcements” trivialisieren:

K¬A → [A]B. (∗)

Wenn wir davon ausgehen, daß alle Ansagen wahrheitsgem¨aß sind—die Ansagerin ein Orakel ist—, dann ist das harmlos: Der Fall K¬A und eine Ansage von A kann nicht vorkommen. Also kann das trivialisierende Konsequens von (*) nie abgel¨ost werden.

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Ad 2) Alle Updates in DEL sind Expansionen, nicht Revisionen. Das kommt deutlich in der G¨ultigkeit des Schemas

KA → [B]KA

zum Audruck. (F¨ur nichtepistemische (“faktive”) Formeln F gilt sogar F → [B]F.)

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Unter der Annahme eines Orakels und f¨ur zumindest einige Wissensbegriffe muß KA → [B]KA richtig sein. Denn wenn jemand weiß, daß A, dann k¨onnen weitere Orakelansagen dieses Wissen nicht untergraben.

NB: Diese Aspekte sind harmlos oder sogar geboten unter der selbstauferlegten Be- schränkung das (monotone) Wachsen von Wissen unter dem Einfluß eines Orakels zu modellieren. Die AGM-Theorie modelliert jedoch die (nichtmonotone) Dynamik falli- bler Überzeugungen unter dem Einfluß beliebiger, auch unzuverlässiger Stimuli. Die Annahmen sind also sehr verschieden.

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Reduktion

Sp¨atestens an diesem Punkt ergeben sich zwei Verdachtsmomente zur selben Konklu- sion.

◦ Wir wissen aus der AGM-Theorie, daß Expansionen mit elementaren logischen Mit- teln darstellbar sind. Erinnerung: K + A = Cn(K ∪ {A}), d.h.

B ∈ K + A gdw K, A ` B gdw K ` A → B.

◦ Die beiden Schemata ¬A → [A]B und KA → [B]KA bzw. F → [B]F erinnern an Schl¨usseleigenschaften der materialen Implikation:

¬A → (A → B) und A → (B → A).

• Könnte es sein, daß sich Aussagen der Form [A]B immer auf solche der Form A → B reduzieren lassen? In diesem Fall wäre DEL eine bloß definitorische Erweiterung einer epistemischen Logik für K.

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Beobachtung. (Plaza 1989, Gerbrandy 1999.) DEL, wie bisher beschrieben kann ax- iomatisiert werden durch die Postulate einer epistemischen Logik (EL) (f¨ur K) zusam- men mit den folgenen induktiven Reduktionsaxiomen:

[A]p ↔ (A → p), ∀p ∈ ATM [A]¬B ↔ (A → ¬[A]B) [A]B ∧ C ↔ ([A]B ∧ [A]C)

[A]KB ↔ (A → K[A]B)

Durch Anwendung der Reduktionsaxiome l¨aßt sich also jede DEL-Formel in eine logische

¨

aquivalente EL-Formel umformen.

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Gemeinwissen

Jeder Operator K_i zeigt das Wissen eines Subjektes i an. Betrachten wir zwei Subjekte, a und b. Wenn eine Karte ♥ aufgedeckt wird, dann weiß a das und b weiß es auch; also

K_a♥ ∧ K_b♥. (∗)

Wir können auch sagen: Die Gruppe {a, b} weiß, daß ♥. Allgemein können wir eine Modalität für Gruppenwissen (group oder general knowledge) so einführen: Für jede endliche Teilmenge G der Indexmenge I sei

E_GA := ^

i∈G

K_iA.

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In unserem Beispiel ist nicht nur (*) der Fall. Vielmehr weiß a, daß b weiß, daß ♥. Und das wiederum wissen beide ebenfalls usw.:

· · ·K_bK_aK_b♥.

Unsere Sprache erlaubt es, die verschieden indizierten Operatoren beliebig (endlich) zu verketten. Eine Formel, die im Skopus einer beliebigen solchen Verkettung steht, nennen wir Gemeinwissen (common knowledge). Wenn unsere Sprache unendliche Konjunkti- onen erlauben w¨urde, k¨onnten wir Gemeinwissen zB so definieren:

C_{a,b}♥ := K_a♥ ∧ K_b♥ ∧ K_aK_a♥ ∧ K_aK_b♥ ∧ K_bK_b♥ ∧ K_bK_a♥ ∧ K_aK_aK_a♥ ∧ · · · Einfacher ist es, Gemeinwissen als einen primitiven Operator hinzuzunehmen und den Aspekt der unendlichen Verschachtelung in die Interpretation zu verlagern. Das geht wie folgt.

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Betrachten wir zun¨achst:

s |= K_aK_bA. (1)

(1) ist gd wahr, wenn

∀t : wenn s ∼_a t, dann t |= K_bA. (2) (2) wiederum ist gd wahr, wenn

∀t∀u : wenn s ∼_a t und t ∼_b u, dann u |= A. (3) Wenn wir jetzt die Frage stellen, ob A im Skopus beliebiger (endlicher) K-Verkettungen am Punkt s wahr ist, dann fragen wir danach, ob A an jedem Punkt, der mit Verket- tungen von ∼_a oder ∼_b von s aus (endlich) erreichbar ist, wahr ist.

Um das kurz und allgemein auszudr¨ucken, sei ∼_G der transitive Abschluß der Relation {(u, v) : ∃i ∈ G mit u ∼_i v}. Dann

M, s |= C_GA gdw ∀t : wenn s ∼_G t, dann M, t |= A.

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Beobachtung. (Baltag, Moss und Solecki 1998.) In DEL mit Gemeinwissen funk- tioniert die Reduktion von DEL- auf EL-Formeln nicht mehr.

(Siehe “Playing cards ...”, Ende von Abschn. 5 f¨ur ein Gegenbeispiel zum Reduktions- schema [A]CB ↔ (A → C[A]B).)

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Erfolglose Ansagen

In DEL kommen die Ansagen von einem Orakel. Das Subjekt weiß das. Also w¨urde man erwarten, daß nach Ansage A das Subjekt weiß, daß A der Fall ist, d.h. daß das folgende Schema g¨ultig ist:

[A]KA. (?)

(Ebenso w¨urden wir erwarten, daß [A]A g¨ultig ist.) Sei A nun die sogenannte Fitch- Formel

p ∧ ¬Kp f

Dann ...

1 (1) [f]K(p ∧ ¬Kp) (?)

1 (2) [f](Kp ∧ K¬Kp) (1), Verteilung vorw¨arts 1 (3) [f](KKp ∧ K¬Kp) (2), K → KK

1 (4) [f]K(Kp ∧ ¬Kp) (3), Verteilung r¨uckw¨arts

1 (5) [f]K⊥ (4), Def. ⊥

1 (6) [f]⊥ (5), T-Schema

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Diagnose: Eine Fitch-Formel kann durchaus wahr sein. Aber Ihre Ansage f¨uhrt zu keinem konsistenten Wissen. Schlimmer noch, die Fitch-Formel ist ein Beispiel einer (wahren) Formel, die durch Ihre Ansage falsch wird, d.h. ein Gegenbeispiel zum Schema [A]A!

Denn angenommen es gilt [f]f . Dann gilt auch K[f]f.

G¨ultig ist jedoch das Schema K[A]B → [A]KB.

Also h¨atten wir [f]Kf

woraus (s.o.) [f]⊥ und also ¬[f]f (¬f?) folgen w¨urde.

(Den letzten Schritt aufr¨aumen!)

Van Ditmarsch: f ist ein Beispiel einer erfolglosen Formel.

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Definitionen (van Ditmarsch):

• A ist erfolgreich (successful formula): [A]A ist g¨ultig; anderenfalls ist A erfolglos.

• Die Ansage A ist in (M, s) erfolgreich (successful update): M, s |= hAiA;

... erfolglos: M, s |= hAi¬A.

M, s |= hAiB gdw M, s |= A und M_A, s |= B.

(Für die Def. erfolgreicher Ansagen brauchen wir die h−i-Version. Denn angenommen A ist falsch in (M, s), d.h. M, s 6|= A. Dann wäre sowohl [A]¬A als auch [A]A wahr in (M, s) und also müßten wir sagen, daß falsche Ansagen zugleich erfolglos und erfolgreich sein können.)

· Erfolgreiche Formeln werden an jedem Punkt (M, s) erfolgreich angesagt.

· Eine in (M, s) erfolgreich angesagte Formel kann jedoch erfolglos sein.

Aufgabe: Axiomatisiere die Menge der erfolgreichen Formeln!

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Anhang: Bisimulation

In PAL/DEL wird manchmal die Relation der Bisimulation zwischen zwei Modellen benutzt. Die Definition ist wie folgt.

Seien M₁ = (W₁, R₁, V₁) und M₂ = (W₁, R₂, V₂) (Kripke-) Modelle. Eine (nichtleere) Relation ' ⊆ W₁ × W₂ ist eine Bisimulation zwischen M₁ und M₂, wenn die folgenden Bedingungen erf¨ullt sind. F¨ur alle x₁ ∈ W₁ und x₂ ∈ W₂:

1. wenn x₁ ' x₂, dann x₁ ∈ V₁(p) gdw x₂ ∈ V₂(p) (∀p ∈ ATM);

2. wenn x₁ ' x₂ und R₁x₁y₁, dann ∃y₂ ∈ W₂ mit y₁ ' y₂ und R₂x₂y₂; 3. wenn x₁ ' x₂ und R₂x₂y₂, dann ∃y₁ ∈ W₁ mit y₁ ' y₂ und R₁x₁y₁;

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Bisimulation ist in erster Linie eine Beziehung zwischen Punkten von Modellen. Dabei muß weder der Bereich des einen noch des anderen Modells ganz ausgesch¨opft werden.

Auch m¨ussen die beiden Modelle nicht voneinander verschieden sein.

Bisimilare Punkte bewerten Atome gleich (erste Bedingung) und sie stehen in einem strukturell gleichen Beziehungsnetz zu Punkten, die ebenfalls bisimilar sind (zweite und dritte Bedingung). Daher beweist eine einfache Induktion ¨uber den Formelaufbau das folgende zentrale

Lemma. Wenn ' eine Bisimulation zwischen M₁ und M₂ ist und x₁ ' x₂ dann gilt f¨ur jede Formel A,

M₁, x₁ |= A gdw M₂, x₂ |= A.

Das Lemma zeigt an, weshalb Bisimulation nützlich sein kann: Wenn der Status einer Formel in einem Modell geprüft werden soll, dann können bisimilare Punkte identifiziert werden. Das macht die Sache (manchmal) einfacher.

(Im Vortrag von Hans van Ditmarsch ¨uber Awareness Logic werden wir eine weitere Anwendung von Bisimulation kennenlernen.)