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f¨u r M at h em at ik P ro f. D r. B .H of m an n
11.Mai2016 HereMathematikII(MB)¨oh
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21.1DieEntfernungzwischenzweiPunktenAundBkannwegenHindernissenim Gel¨andenichtdirektgemessenwerden.ZusammenmiteinemHilfspunktCbildenA undBeinDreieck,f¨urdasdieSeitenl¨angenaundbmiteinerGenauigkeitvon±5cm gemessenwurden:a=364.76m,b=402.35m.
◦WeiterwurdederWinkelγ=BCA=6814’±1’ermittelt. BerechnenSiedieSeitenl¨angecsowieSchrankenf¨urderenabsolutenundrelativen Fehler. 21.2ZurErmittlungderDichte̺einesWerkstoffswirdeinProbew¨urfelvermessen. WiegenaukanndieDichteberechnetwerden(relativerFehler),wenndie
1Kantenl¨angeamit%GenauigkeitunddieMassemmit1%Genauigkeit
2 gemessenwerden? 21.3EineFliegebewegtsichdurcheinenRaummitdemTemperaturfeldT=f(x,y,z).
⊤−2IneinemPunktPgiltdabeigradf|=(328)·10K/m.
P dT¨ AWelchezeitlichenderungsratederTemperaturerlebtdieFliegeimPunktP,
dt wenndortihrex-KoordinatemiteinerRatevon2m/szunimmt,diey-Koordinate miteinerRatevon1m/sabnimmtunddieGeschwindigkeitinz-Richtung0.25m/s betr¨agt? 21.4DieFunktionf(r,ϕ)gehtbeiKoordinatentransformationr=g(x,y),ϕ=g(x,y)
12 ¨uberindieFunktionF(x,y):=f(g(x,y),g(x,y)).
12 BestimmenSieg,gf¨urdenFallvonkartesischenKoordinatenx,yund
12 Polarkoordinatenr,ϕ.FindenSiedenZusammenhangzwischendenpartiellen
⊤AbleitungenvonfunddenenvonF.GebenSiedieJacobimatrixJvon(g,g)an
12 sowiedieFunktionaldeterminantedetJ.
1321321.5F¨urdieFunktionf(x,y)=x+xy−5x+y−5ykanndieNiveauliniedurch
33 denPunktP(1;−1)ineinerUmgebungvonPdurcheineFunktiony=g(x) beschriebenwerden.ErmittelnSieunterNutzungdesSatzesberdieimplizite¨u FunktiondieTangentengleichungandieNiveaulinieinP.
y−xy−2y−x21.6GegebensinddieFunktionenf(x,y)=x+e−e,g(x,y)=e−e−1. (a)DasnichtlineareGleichungssystem f(x,y)=0,g(x,y)=0
∗∗∗⊤⊤hateineL¨osungx=(xy)nahebeib=(00).
∗FindenSieeinebessereN¨aherungf¨urx,indemSiefundganderStelleb linearisieren(d.h.durchihreTaylorpolynomeerstenGradesersetzen)unddas entstehendelineareGleichungssysteml¨osen. (b)Zusatz.DurchabermaligeAnwendungdiesesPrinzipsl¨asstsichdieN¨aherung
∗f¨urxweiterverbessern(Newton-Verfahrenf¨urnichtlineareSysteme). F¨uhrenSiemindestenseinenweiterenIterationsschrittaus. AufgabenundL¨osungenimWeb:www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
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24.Mai2016 HereMathematikII(MB)¨oh
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22.1ErmittelnSiedieTaylorpolynomezweitenGradesvonfanderStelle(x,y).
00 x (a)f(x,y)=arctan,x=2,y=1
00 y (b)f(x,y)=yln(y−3x),x=0,y=1
00 22.2BestimmenSieallelokalenExtremstellenvonf(x,y).
22(a)f(x,y)=2x+2y+3xy−5x−2y+5 11
323(b)f(x,y)=x+xy−5x+y−5y 33
xy(c)f(x,y)=e−xe
33(d)f(x,y)=x−y+3axymita≥0
22(e)f(x,y)=x−2xy+ylny+y 22.3BestimmenSiemitderMethodederkleinstenQuadratezudenPunktenP(x,y)
iii auseinerMessreihef¨ureinenfunktionalenZusammenhangy=y(x) (a)dieAusgleichsgeradey=ax+b,
2(b)dieAusgleichsparabely=ax+bx+c. P(0;1),P(1;4),P(2;6),P(3;8),P(4;9)
12345 Zusatz.FindenSiedieAusgleichsgeradef¨urdieUmkehrfunktionx=x(y). VertauschenSiehierzudieWertexundy,undbestimmenSiesodanneine
ii ˜Geradengleichungx=˜ay+b.VergleichenSiemitderGeradeaus(a).
2222.4BerechnenSiedieExtremwertederFunktionf(x,y)=x+yunterder Nebenbedingungg(x,y)=x+y+1=0 (a)durchEinsetzenund(b)nachderMethodederLagrange-Multiplikatoren. 22.5BenutzenSiedieMethodederLagrange-Multiplikatoren,umdieExtrema
322vonf(x,y)=3−x−yunterderNebenbedingungg(x,y)=4x+4y−9=0zu
4 bestimmen.ObessichumMaxima/Minimahandelt,entscheidenSiemittels geometrischerInterpretationvonz=f(x,y)undg(x,y)=0.
322.6Essolleinequaderf¨ormigeHallemiteinemVolumenvon1000mprojektiertwerden, wobeiderW¨armeverlustineinemgewissenZeitraumw¨ahrendderHeizperiode minimalseinsoll. WiesinddieKantenl¨angendesQuaderszuwlen,wenninbesagtemZeitraumber¨ah¨u
2dieverglastenSeitenwde5EinheitenWmepromverlorengehen,undder¨an¨ar
22WmeverlustberDachundFußboden3Einheitenprombzw.1Einheitprom¨ar¨u betr¨agt? AufgabenundL¨osungenimWeb:www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
